极限运算法则两个重要极限

极限运算法则两个重要极限演示文稿当前1页，总共44页。时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束当前2页，总共44页。说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.当前3页，总共44页。定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束当前4页，总共44页。例1.求解:由定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束当前5页，总共44页。二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.可推广到有限个.定理3.

若机动目录上页下页返回结束当前6页，总共44页。定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束当前7页，总共44页。为无穷小(详见P44)定理5.

若且B≠0,则有证:

因有其中设因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束当前8页，总共44页。定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束当前9页，总共44页。例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若机动目录上页下页返回结束当前10页，总共44页。例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束当前11页，总共44页。例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束当前12页，总共44页。一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束当前13页，总共44页。三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且

x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束当前14页，总共44页。定理7.

设且x

满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束当前15页，总共44页。例7.求解:

令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束当前16页，总共44页。例8.求解:机动目录上页下页返回结束当前17页，总共44页。内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件！2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束当前18页，总共44页。思考题当前19页，总共44页。思考题解答不能保证.例有当前20页，总共44页。作业P20.A:1,3，5,7,9B:2当前21页，总共44页。二、两个重要极限一、极限存在准则第七节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限当前22页，总共44页。一、极限存在准则1.夹逼准则证当前23页，总共44页。上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限当前24页，总共44页。注意:准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则.当前25页，总共44页。例1解由夹逼定理得当前26页，总共44页。2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:当前27页，总共44页。例2证(舍去)当前28页，总共44页。二、两个重要极限(1)当前29页，总共44页。当前30页，总共44页。例3解当前31页，总共44页。(2)定义当前32页，总共44页。类似地,当前33页，总共44页。当前34页，总共44页。当前35页，总共44页。例4解例5解当前36页，总共44页。例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束当前37页，总共44页。三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则