第三节常数项级数的审敛法

第三节常数项级数的审敛法第一页，共十九页，2022年，8月28日定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数满足条件：则交错级数收敛，其和余项满足说明：1.莱布尼兹定理的条件（1）不是必要条件（条件（2）是必要的）。2.定理同时给出了级数的和与余项的估计式。3.定理应用的关键是条件1的验证。第二页，共十九页，2022年，8月28日定理7（莱布尼兹定理）如果交错级数满足条件：则交错级数收敛，其和余项满足4.检验条件（1）常用的方法（1）比值法：考察是否成立？（2）差值法：考察是否成立？（3）导数法：找一函数f(x),使且当x充分大时，是否成立？第三页，共十九页，2022年，8月28日例1：解所以级数收敛，其和小于1，第四页，共十九页，2022年，8月28日例2：判别下列交错级数的收敛性解由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。第五页，共十九页，2022年，8月28日例2：判别下列交错级数的收敛性解

f(x)单调下降所以当n

3时，必有由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。第六页，共十九页，2022年，8月28日例2：判别下列交错级数的收敛性解这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。将原级数相邻两项加括号发散，性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛所以原级数发散.第七页，共十九页，2022年，8月28日（二）绝对收敛与条件收敛考虑任意项级数一般项取绝对值后所得级数记为（1）若收敛，则称原级数绝对收敛（2）若发散，而收敛，则称原级数条件收敛。问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？第八页，共十九页，2022年，8月28日定理8:若级数绝对收敛，则原级数即收敛，必定收敛。（1）该结论的逆命题不成立。（2）定理提供了检验一般级数是否收敛的一种有效方法。（3）若发散，不能断定也发散，但若是用比值或根值判别法判断发散，则可断定原级数一定发散。第九页，共十九页，2022年，8月28日任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。第十页，共十九页，2022年，8月28日例1：判别级数的收敛性。解：记而级数因此原级数所以由比较判别法知，级数是p=2的p级数，收敛，收敛。绝对收敛，从而收敛。则第十一页，共十九页，2022年，8月28日例2：判定级数的敛散性。解：这里x可正可负，故它是一个任意项级数所以，原级数对一切都绝对收敛考察正项级数第十二页，共十九页，2022年，8月28日例3：判定级数的敛散性。解：当|x|<1时，原级数绝对收敛，|x|>1时，从而收敛，考察正项级数发散，且是用比值法判别的，所以原级数发散。第十三页，共十九页，2022年，8月28日例3：判定级数的敛散性。解：考察正项级数当x=1时，级数为调和级数，发散当x=1时，级数为交错级数，且满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。第十四页，共十九页，2022年，8月28日例3：判定级数的敛散性。解：考察正项级数当|x|<1时，原级数收敛，且为绝对收敛。当|x|>1，或x=1时，原级数发散。当x=1时，原级数为交错级数，且满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。结论：第十五页，共十九页，2022年，8月28日解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为所以故原级数绝对收敛。收敛，例4：判定下列级数是否收敛，如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。第十六页，共十九页，2022年，8月28日解：这是交错级数，但其对应的绝对值级数为所以故原级数发散。发散，且是用根值判别法判别的，第十七页，共十九页，2022年，8月28日解：这是交错级数，且满足由莱布尼兹定理知，原级数是收敛的发散，故原级数是条件收敛