第三节 曲面方程

第三节曲面方程第一页，共二十三页，2022年，8月28日一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

第二页，共二十三页，2022年，8月28日定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).第三页，共二十三页，2022年，8月28日故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.第四页，共二十三页，2022年，8月28日例2.

研究方程解:配方得可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点,或虚轨迹.第五页，共二十三页，2022年，8月28日定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴，旋转曲线称为此旋转曲面的母线。例如:第六页，共二十三页，2022年，8月28日建立yOz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yOz

面上曲线

C:则有则有该点转到第七页，共二十三页，2022年，8月28日思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？第八页，共二十三页，2022年，8月28日例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yOz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第九页，共二十三页，2022年，8月28日例4.求坐标面zOx

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第十页，共二十三页，2022年，8月28日三、柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在

xOy面上，表示圆C,沿圆周C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,第十一页，共二十三页，2022年，8月28日定义3.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xOy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.第十二页，共二十三页，2022年，8月28日一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线xOz

面上的曲线l3.母线柱面,准线xOy

面上的曲线l1.母线准线yOz面上的曲线l2.母线第十三页，共二十三页，2022年，8月28日四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)第十四页，共二十三页，2022年，8月28日1.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①第十五页，共二十三页，2022年，8月28日2.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆第十六页，共二十三页，2022年，8月28日与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)第十七页，共二十三页，2022年，8月28日3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:第十八页，共二十三页，2022年，8月28日虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:第十九页，共二十三页，2022年，8月28日(2)双叶双曲面双曲线椭圆双曲线P18第二十页，共二十三页，2022年，8月28日4.抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（马鞍面）特别,当a=b时为绕

z轴的旋转抛物面.第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yOz面的平面圆心在(0,0)半径为3