第九节常系数非齐次方程

第九节常系数非齐次方程第一页，共二十五页，2022年，8月28日二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束第二页，共二十五页，2022年，8月28日一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束第三页，共二十五页，2022年，8月28日(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束第四页，共二十五页，2022年，8月28日例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束第五页，共二十五页，2022年，8月28日例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束第六页，共二十五页，2022年，8月28日例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束第七页，共二十五页，2022年，8月28日于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束第八页，共二十五页，2022年，8月28日二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第九页，共二十五页，2022年，8月28日第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束第十页，共二十五页，2022年，8月28日

第二步求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束第十一页，共二十五页，2022年，8月28日第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.机动目录上页下页返回结束第十二页，共二十五页，2022年，8月28日第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束第十三页，共二十五页，2022年，8月28日小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束第十四页，共二十五页，2022年，8月28日例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束第十五页，共二十五页，2022年，8月28日例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束第十六页，共二十五页，2022年，8月28日例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束第十七页，共二十五页，2022年，8月28日例7.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p≠k

时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为第七节例1(P294)中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④机动目录上页下页返回结束第十八页，共二十五页，2022年，8月28日当干扰力的角频率p≈固有频率k

时,自由振动强迫振动

当

p=k

时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为机动目录上页下页返回结束第十九页，共二十五页，2022年，8月28日若要利用共振现象,应使p

与k

尽量靠近,或使随着

t

的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p

远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动目录上页下页返回结束第二十页，共二十五页，2022年，8月28日内容小结

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.

(填空)

设机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:

特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束