第九章能量法

第九章能量法第一页，共六十页，2022年，8月28日同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第九章能量法

材料力学第二页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法第三页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法外力功变形能利用功能原理计算位移四求位移的卡氏定理第四页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法外力功第五页，共六十页，2022年，8月28日定义:任何弹性体在外力作用下都要发生变形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线方向所作的功,称为外力功。第九章能量法/一外力功

第六页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功

计算1、常力作功若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移,则该力所作的功为式中的P为广义力,为广义位移.第七页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

２、变力作功结构上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为第八页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

3、多个力作用下的外力功若弹性体上作用着几个外力(P1,P2……,Pn)时,则所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半;第九页，共六十页，2022年，8月28日3、多个力作用下的外力功外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关,而与各个力的施加次序无关第九章能量法/一外力功·计算

第十页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

例题:计算图示简支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo第十一页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

解:(1)位移计算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的转角：BCAL/2L/2Pmo第十二页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

解:(2)外力功的计算第十三页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加P，后加mo，则外力功为第十四页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加mo，后加P

，则外力功为第十五页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论比较计算结果，说明：即作用在弹性体上的所有外力作的总功W,等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半。而与各个力的施加次序无关。第十六页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法变形能第十七页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

1变形能、功能原理定义：变形能当弹性体受到外力作用而发生变形时，外力在相应的位移上所作的功全部以能量的形式储存在弹性体内，这种因变形而储存的能量称为变形能。第十八页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

1变形能、功能原理定义：功能原理外力功等于变形能（能量守恒及转换原理）第十九页，共六十页，2022年，8月28日2、杆件产生基本变形时的变形能（1）轴向拉伸或压缩PLLoBLPA式中——轴力，A——截面面积第九章能量法/二变形能

第二十页，共六十页，2022年，8月28日

由拉压杆件组成的杆系的变形能：P12345受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能qLxdx第九章能量法/二变形能第二十一页，共六十页，2022年，8月28日（2）圆截面杆的扭转mLmoBmA圆截面杆的变形能式中Mn——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

第九章能量法/二变形能第二十二页，共六十页，2022年，8月28日受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB第九章能量法/二变形能

第二十三页，共六十页，2022年，8月28日（3）平面弯曲纯弯曲梁的变形能：式中M－梁横截面上的弯矩；I－梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm第九章能量法/二变形能

第二十四页，共六十页，2022年，8月28日横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的变形能Pm=PaACBaa第九章能量法/二变形能

第二十五页，共六十页，2022年，8月28日式中一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。

k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2。（4）剪切第九章能量法/二变形能

第二十六页，共六十页，2022年，8月28日L3产生组合变形时的变形能注意：变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。第九章能量法/二变形能

第二十七页，共六十页，2022年，8月28日4关于变形能计算的讨论以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。第九章能量法/二变形能

第二十八页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

BlAmoEIx例题计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能(a)第二十九页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

BlAPEIx例题计算图示梁在集中力P作用下的变形能(b)第三十页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

BlAPEIx例题计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能(c)第三十一页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

分析与讨论(1)从上述变形能计算结果可知：这是因为即变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的叠加第三十二页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/二变形能

分析与讨论(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功.例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲引起的转角上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角上也不作功.第三十三页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法利用功能原理计算位移第三十四页，共六十页，2022年，8月28日利用可以计算荷载作用点的位移,但是只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点(或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。第九章能量法/三利用功能原理计算位移

第三十五页，共六十页，2022年，8月28日blaP例题图示变截面受拉杆，E、A为已知，求加力点C的水平位移第九章能量法/三利用功能原理计算位移

lc2AA第三十六页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/三利用功能原理计算位移

解：（1）变形能计算整根杆的变形能第三十七页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/三利用功能原理计算位移

（2）位移计算即得第三十八页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/三利用功能原理计算位移

分析和讨论1若需要位移处无外力作用,如求b截面,外力功表达式中无需求的位移项,因此无法求。2若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不能求位移的大小。第三十九页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法四求位移的卡氏定理第四十页，共六十页，2022年，8月28日1卡式定理若弹性体上作用着多个外力(广义力),则该弹性体的变形能,对于任一外力的偏导数,就等于该力作用处沿其作用方向的位移(广义位移),即第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十一页，共六十页，2022年，8月28日1卡式定理的证明设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。

可以证明：第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十二页，共六十页，2022年，8月28日证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(a)考虑两种不同的加载次序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十三页，共六十页，2022年，8月28日(2)先加，然后再加，此时弹性体的变形能由三部分组成：梁的总变形能为：(b)(a)在相应的位移上所作的功

(b)在相应位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的对位移所作的功第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十四页，共六十页，2022年，8月28日根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(a)(b)两式相等：略去二阶微量，化简后得：证毕。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十五页，共六十页，2022年，8月28日3卡氏定理的应用应用卡氏定理计算位移时应注意:（1）卡氏定理中的应理解为广义力，应理解为广义位移。（2）只有当弹性系统为线性，即其位移与荷载成线性关系时，才能应用卡氏定理。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十六页，共六十页，2022年，8月28日应用卡氏定理计算位移时应注意:（3）当需利用卡氏定理来计算没有外力作用处的位移（或所需要的位移与加力方向不一致）时，可在需要位移处沿着所需求位移的方向任设一个力（等于零），写出所有力（包括）作用下的变形能U的表达式，并将其对求偏导数，然后再令等于零，便得所求位移。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十七页，共六十页，2022年，8月28日（4）先偏导后积分利用卡氏定理解位移时，一般遵循“先偏导后积分”的原则：①列出内力方程②先偏导，即求出的结果；③后积分，完成上述偏导后，再将其代入下列式中进行积分，从而求得需求位移。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第四十八页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/四求位移的卡氏定理

卡氏定理在各种受力情况下的表达式拉（压）杆：扭转杆：弯曲变形杆：组合变形杆：桁架：第四十九页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/四求位移的卡氏定理

应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用方向一致；若为负值，则表示方向相反。第五十页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/四求位移的卡氏定理

例题试求图示梁自由端A截面的挠度和转角。BA解：1求：（1）列方程及对P的偏导数：第五十一页，共六十页，2022年，8月28日（2）计算：结果为正，说明与P方向一致。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第五十二页，共六十页，2022年，8月28日第九章能量法/四求位移的卡氏定理

2求：求，可A处无力偶作用，因此需在A处暂时加一个虚拟的力偶矩，如图所示：第五十三页，共六十页，2022年，8月28日BA第九章