第三章 复变积分

第三章复变积分第一页，共五十页，2022年，8月28日3.1复变积分

定义

设曲线复平面，函数在l上有意义，将曲线l任意分割为n段，分点为，是段上任意一点，作和数1Az0Bz2z1znzn-12nl当，时，此和数的极限存在，且与的选取无关，则称此极限值为函数沿曲线l的积分，记为第二页，共五十页，2022年，8月28日一个复变积分是两个实变积分的有序组合。定理

是分段光滑曲线l上的连续函数，的复变积分一定存在。第三页，共五十页，2022年，8月28日复变积分的基本性质若，，……，，则若，则若是的逆向，则对常数a，有

，M

为在l上的上界，L为l的长度。

第四页，共五十页，2022年，8月28日

例题解求，l为沿实轴01，在平行于虚轴11+i；沿虚轴0i，在平行于实轴i1+i；沿直线01+i。对于

01z=xz=1+iy1+i第五页，共五十页，2022年，8月28日对于

0iz=x+iz=iy1+i对于

0z=(1+i)t1+i第六页，共五十页，2022年，8月28日当时，令，则试证，l是以a为圆心，为半径的圆周。

例题解当的整数时，

第七页，共五十页，2022年，8月28日单连通区域单连通区域在区域内作任何简单的闭合围道，围道内的点都属于该区域。反之，为复连通区域（多连通区域）3.2单连通区域的柯西定理积分值与积分路径之间的关系——柯西定理定义

复连通区域第八页，共五十页，2022年，8月28日单连通区域的柯西定理定理

若函数在单连通区域内解析，则沿内任何一个分段光滑的闭合围道l有，l可以是的边界。

证明现仅在在中连续的前提下证明这个定理。

利用格林定理（stokes公式）（，且有连续偏导数）于是

第九页，共五十页，2022年，8月28日由C-R条件因为连续，连续在单连通区域中，解析函数的积分值与积分路径无关。可知第十页，共五十页，2022年，8月28日推论

若函数在单连通区域内解析，则也在内解析，且证明对求导即可。设内一点，为邻点，则，∵积分与路径无关

∴zz0z+DzDz第十一页，共五十页，2022年，8月28日可得

（复变积分性质）

∵连续，，，使当时，

∴

即

定义

原函数若，为

的原函数。

原函数不唯一，任意两个原函数相差一个常数。第十二页，共五十页，2022年，8月28日

例题计算积分，n为整数。

解①当n为自然数时，在C上解析，是它的一个原函数，

对于任意C上的积分路线，有

②当时，在C/0上解析，原函数仍可取为

在不包含的任一单连通区域内，有

③当时，在C/0上解析，原函数为

故在不包含的任一单连通区域内，第十三页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分

令，可知，第十四页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分

令，得，即被积函数有奇点，，均不在积分围道内，在中，被积函数仍解析，由单连通区域的柯西定理可知如果所求积分的围道是，也就是说，被积函数在围道包围的区域内有奇点，这时单连通区域的柯西定理不再适用。第十五页，共五十页，2022年，8月28日3.3复连通区域的柯西定理Gc0c1c2cn定理

复连通区域的柯西定理

若是复连通区域内的单值解析函数，则

其中，是构成复连通区域的边界的各个分段光滑闭合曲线，都包含在的内部，所有积分路经走向相同。

第十六页，共五十页，2022年，8月28日证明G’a1a2anb1b2bn如图，取均为逆时针方向，作割线将与连接起来，得到单连通区域，应用单连通区域的柯西定理即第十七页，共五十页，2022年，8月28日∵在内单值

即

∴∴第十八页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算，n为整数，l为逆时针方向。①当n为自然数时，显然，在整个复平面解析，l围道包含的区域是单连通区域，由单连通区域柯西定理可知

②当n为负整数时，在C/0内解析，若l围道内不包含则也有若l围道内含有，由复连通区域的柯西定理可知

第十九页，共五十页，2022年，8月28日综上，即

一般地，

第二十页，共五十页，2022年，8月28日3.4两个有用的引理引理一

若函数f(z)在z=a

点的空心邻域内连续，且当1arg(za)

2，

za0

时，(za)f(z)一致地趋近于k，则其中C

是以a

为圆心，

为半径，夹角为21

的圆弧，za=，1arg(za)

2。

第二十一页，共五十页，2022年，8月28日证明因为所以

当1arg(za)

2，

za0

时，(za)f(z)一致地趋近于k

，这意味着，>0，（与arg(za)无关的）r()>0，使当

za=<r

时(za)f(z)-k<。即axCz21第二十二页，共五十页，2022年，8月28日引理二

设函数f(z)在∞点的邻域内连续，当1argz

2，z∞

时，zf(z)一致地趋近于K，则其中CR

是以原点为圆心，R

为半径，夹角为21

的圆弧，z=R，1arg

z

2。

第二十三页，共五十页，2022年，8月28日证明因为所以

当1argz

2，

z∞

时，zf(z)一致地趋近于K

，这意味着，>0，（与argz无关的）M()>0，使当

z=R>M

时

zf(z)－K<

成立。即第二十四页，共五十页，2022年，8月28日3.5柯西积分公式柯西定理从一个侧面反映了解析函数的基本特性：解析函数在它的解析区域内各点的函数值是密切相关的——处处可导

C-R方程是这种关联的微分形式

柯西定理是这种关联的积分形式同样，下面的柯西积分公式也清楚地表现出这种关联性。第二十五页，共五十页，2022年，8月28日有界区域的柯西积分公式定理设f(z)

的单值函数，的边界C是分段光滑曲线，点a∈G，则积分路线沿C

的正向（逆时针方向）。证明在G

内作圆

，保持，积分路线沿C的正向（逆时针方向）。第二十六页，共五十页，2022年，8月28日由复连通区域的柯西定理，有此结果与r的大小无关，故令r→0，因为令则（一致趋近）由引理一（）可得所以第二十七页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分

有界区域柯西积分公式第二十八页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分

有界区域柯西积分公式（复连通区域柯西定理）第二十九页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分，C为闭合曲线

周期为4pq0p/2p3p/22p5p/23p7p/24pr32.852.52.1522.152.52.853第三十页，共五十页，2022年，8月28日有界区域柯西积分公式（复连通区域柯西定理）第三十一页，共五十页，2022年，8月28日则f(z)在以

a为圆心R为半径的区域内解析，由单连通区域的柯西积分公式，得柯西积分公式的特殊形式——均值定理解析函数f(z)在解析区域G内任意一点a的函数值f(a)，等于（完全位于G

内的）以a为圆心的任一圆周上的函数值的平均。定理证明令第三十二页，共五十页，2022年，8月28日在C

外作一个以原点为圆心，R为半径的圆CR，对于C

和

CR包围的复连通区域，根据单连通区域的柯西积分公式，有

CR的走向是逆时针方向，只要R

足够大，结果与R

无关，令R→∞，

若对无界区域，需要假设f(z)在简单闭合围道C上及C

外（包括无穷远点）单值解析。

a为

C

外一点，积分路线C的走向是绕无穷远点的正向，即顺时针方向（左侧法则）。（#）第三十三页，共五十页，2022年，8月28日由引理二知，代入（#）式，所以当

K=0

时，即得无界区域的柯西积分公式。定理无界区域的柯西积分公式若f(z)在简单闭合围道C

上及C

外解析，且当z→∞

时，一致地趋于0，则a

为C外一点，积分路线为顺时针方向。第三十四页，共五十页，2022年，8月28日证明令由引理二知：由单连通区域的柯西定理知：所以即第三十五页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算围道积分

（复连通区域柯西定理）无界区域柯西积分公式第三十六页，共五十页，2022年，8月28日第三十七页，共五十页，2022年，8月28日3.6解析函数的高阶导数柯西积分公式

f(z)

解析，在G内f(z)的任何阶导数

均存在，且C是的正向边界，第三十八页，共五十页，2022年，8月28日证明①第三十九页，共五十页，2022年，8月28日②以此类推，可得一个复变函数，在一个区域内只要一阶导数存在，则它的任何阶导数都存在，且都是这个区域的解析函数。第四十页，共五十页，2022年，8月28日

例题解计算积分

（柯西型积分）第四十一页，共五十页，2022年，8月28日3.7柯西型积分和含参量积分的解析性定义

在一段分段光滑的（闭合或不闭合）曲线

C

上连续的函数F(x)

所构成的积分称为柯西型积分。它是曲线外点z的函数，且可通过积分号下求导得到。第四十二页，共五十页，2022年，8月28日

例题计算积分所求积分为柯西型积分，且在︱x︱=1上，解故当（在外）时，积分围道为顺时针方向无界区域的柯西公式第四十三页，共五十页，2022年，8月28日当（在内）时，应用复连通区域的柯西定理所以第四十四页，共五十页，2022年，8月28日

例题计算积分解因为