第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质第一页，共二十六页，2022年，8月28日定义1

设函数

y=f(x)在某区间上有定义，如果存在函数

F(x)，对于该区间上任一点

x，使F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数

F(x)是已知函数

f

(x)在该区间上的一个原函数.一、原函数与不定积分第二页，共二十六页，2022年，8月28日(x3+C)=3x2(C为任意常数)，所以x3

+1，

x3+

C都是3x2在区间(,)内的原函数.例如，因为在区间(,)内有(x3)=3x2，所以x3是3x2在区间(,)内一个原函数，又因为(x3+1)=3x2，一般地，若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，则函数族F(x)+

C

(C为任意常数)都是f(x)在该区间上的原函数.第三页，共二十六页，2022年，8月28日移项得(x)=

F(x)+

C.因为(x)是

f(x)的任一个原函数，因为[(x)-

F(x)]=(x)–F(x)=f(x)-

f(x)=0，

由微分中值定理的推论得(x)-F(x)=C

(C为常数)，设F(x)是f(x)在区间I上的一个确定的原函数，

(x)是f(x)在区间I上的任一个原函数，F(x)=f(x)，(x)=f(x).所以

F(x)+

C是f(x)在区间I上的全体原函数的一般表达式.

即第四页，共二十六页，2022年，8月28日其中符号称为积分号，f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，x称为积分变量，

定义2

若

F(x)是

f(x)在区间

I上的一个原函数，即则

F(x)+C(C为任意常数)称为

f(x)在该区间上的不定积分，记为f(x)称为被积函数，C称为积分常数.第五页，共二十六页，2022年，8月28日例1求下列不定积分第六页，共二十六页，2022年，8月28日解根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数C即可.(1)被积函数f(x)=2x，因为(x2)=2x，即x2是2x的一个原函数，所以，不定积分(2)被积函数f(x)=sinx，因为(-cosx)=sinx，即-cosx是sinx的一个原函数，所以，不定积分第七页，共二十六页，2022年，8月28日所以得所以得第八页，共二十六页，2022年，8月28日当x<0时，所以当x>0时，所以合并以上两种情况，当x0时，得例2求不定积分解第九页，共二十六页，2022年，8月28日(2)或二、不定积分的基本性质(1)第十页，共二十六页，2022年，8月28日基本积分表第十一页，共二十六页，2022年，8月28日第十二页，共二十六页，2022年，8月28日第十三页，共二十六页，2022年，8月28日例3求不定积分

解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，(1)(2)得第十四页，共二十六页，2022年，8月28日例4求不定积分解第十五页，共二十六页，2022年，8月28日

性质1

两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，三、不定积分的性质即第十六页，共二十六页，2022年，8月28日性质1可推广到有限多个函数代数和的情况，即性质1称为分项积分.

证根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.第十七页，共二十六页，2022年，8月28日

性质2

被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，(k为不等于零的常数)证类似性质1的证法，有即第十八页，共二十六页，2022年，8月28日例5求不定积分即各积分常数可以合并.其中C=C1-2C2+2C3，因此，求代数和的不定积分时，解只需在最后写出一个积分常数C即可.第十九页，共二十六页，2022年，8月28日例6求解第二十页，共二十六页，2022年，8月28日例7求解第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日四、不定积分的几何意义若y=F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图形是f(x)的积分曲线.因为不定积分是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日积分曲线族y=F(x)+

C的特点是：当

C>0时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线

y=F(x))沿

y轴平行移动|C|单位而得到.当

C<0时，向下移动；(2)由于[F(x)+

C]=F

(x)=

f(x)，即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于f(x)，从而使相应点的切线相互平行(如图)．第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日xyOy=f(x)y=f(x)+C第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日

例8已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，且过点(0,1)，求此曲线方程.按题意，得得由条件y|x=0=1得C=1，y=x3+1.解设所求曲线为y=f(x).于是所求曲线为第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日例9设一质点以速度v

=2cost作直线运动，开始时，质点的位移为s0，求质点的运动规律.

解质点的运动规律是指位移s是时间t的函数s=