积分求导顺序可换

积分求导顺序可换第一页，共三十五页，2022年，8月28日本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。第二页，共三十五页，2022年，8月28日设是定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为称为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称为含参量反常积分.第三页，共三十五页，2022年，8月28日对于含参量反常积分和函数则称含参量反常积分在上一致收敛于.第四页，共三十五页，2022年，8月28日

一致收敛的柯西准则:含参量反常积分在上一致收敛的充要第五页，共三十五页，2022年，8月28日

一致收敛的充要条件;含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.第六页，共三十五页，2022年，8月28日

魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数,使得第七页，共三十五页，2022年，8月28日魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于第八页，共三十五页，2022年，8月28日从而所以关于一致收敛。第九页，共三十五页，2022年，8月28日魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于第十页，共三十五页，2022年，8月28日从而所以关于一致收敛。第十一页，共三十五页，2022年，8月28日例1在内一致收敛解因为而积分收敛，所以在内一致收敛第十二页，共三十五页，2022年，8月28日

狄利克雷判别法;第十三页，共三十五页，2022年，8月28日

阿贝耳判别法:第十四页，共三十五页，2022年，8月28日二、一致收敛积分的性质1.连续性定理因为在内一致收敛，所以证明因此，当时，设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。第十五页，共三十五页，2022年，8月28日又在上连续，所以作为的函数在连续，于是从而，当时，有定理证毕。第十六页，共三十五页，2022年，8月28日2.积分顺序交换定理设在上连续，关于在上一致收敛，则在可积，并且第十七页，共三十五页，2022年，8月28日3.积分号下求导的定理设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则在可导，且第十八页，共三十五页，2022年，8月28日证明因为在连续，由连续性定理在连续，

沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对求导，得定理证毕。第十九页，共三十五页，2022年，8月28日

连续性即:第二十页，共三十五页，2022年，8月28日

可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日

可积性第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日含参量反常积分在上一致收敛.证明反常积分在上一致收敛.第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日证明含参量反常积分在上一致收敛.在上一致收敛.第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日证明含参量反常积分在上一致收敛.含参量反常积分在上一致收敛.第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日例4证明证（1）用分段处理的方法.

第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日因为

第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日例4计算积分

解

第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日例5利用积分号下求导求积分

解因为

因为

故

第三十页，共三十五页，2022年，8月28日由数学归纳法易证于是

第三十一页，共三十五页，2022年，8月28日例6计算积分

解

令

第三十二页，共三十五页，2022年，8月28日在第二项积分中令

得故

第三十三页，共三十五页，2022年，8月28日(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;