点到直线的距离公式的七种推导方法

A2y°—ABx°-A2y°—ABx°-BC'A2+B2x)2+(A2%一哗一BC0 A2+B2y0)2+C)2在l上取任意点<(x—状+(y—y°)q当且仅当A(y-y0)=B\/A2+B2点到直线的距离公式的七种推导方法湖南省黄爱民赵长春已知点P（x,y）直线l:Ax+By+C=0（A主0,B主0）求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求湍离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图1B设点P到直线l的垂线为l-，垂足为Q，由l」l可知l，的斜率为Ag— B, …、，、、一l，的万程：y—yo=^(x—xo)与l联立万程组解得交点q(B2xo—ABy>—MA2+B2I尸Q|2=(B2xo—AB%—M—A2+B2-A2x—ABy—AC -B2y—ABx—BC、=( 0 )2+( 0 )2A2+B2 A2+B2A2(Ax+By+C)2B2(Ax+By+C)2(Ax+By— (A2+B2)2 (A2+B2)2 一 A2+B2...pq|=IAx0+By0+CIVA2+B2二、函数法证：点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。Q(x,y)用两点的距离公式有为了利用条件Ax+By+C=0上式变形一下，配凑系数处理，得：(A2+B2)[(x—x)2+(y—y)2]=A2(x—x)2+B2(y—y)2+A2(y—y)2+B2(x—x)20000=[A(x—x)+B(y—y)]2+[A(y—y)+B(x—x)]20 0 0 0>[A(x—x)+B(y—y)]2=(Ax+By+C)2(・.・Ax+By+C=0)IAx.+By.+CI<A2+B2(x—x0)时取等号所以最小值就是d=IAx0+By0+C】三、不等式法证：点P到直线l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式.(A2+B2)[(x—x)2+(y—y)2]>[A(x—x)+B(y—y)]2=(Ax+By+C)20 0 0 0 00Ax+By+C=0,.•.、；(x—x)2+(y—y)2>'人七+—y。+—'0 0 "2+B2当且仅当A(y—y0)=B(x-x°)时取等号所以最小值就是d=弋+By+CI四、转化法 y」证：设直线l的倾斜角为a过点P作PM〃y轴交l于M

（气,七）显然%易得ZMPQ=a=x所以y=-Ax。+Co（图2）...IPMI=（气,七）显然%易得ZMPQ=a=x所以y=-Ax。+Co（图2）A2tan2ZMPQ=tan2aB2所以cos/MPQ=IPQI=IPMIcos/MPQ=IIBI侦1+tan2aA2tan2ZMPQ=tan2aB2所以cos/MPQ=IPQI=IPMIcos/MPQ=IIBI侦1+tan2a\''A2+B2Axo+Byo+CIB A2+B2IAx0:By0,CI

v'A2+B2五、 三角形法证：P作PM〃y轴交l于M,由解法三知IPMI=IAxo+ByoB在RtAMPN中，PQ是斜边上的高过点P作PN〃x轴交l于N（图4）+CI；同理得\PNI=IAXo+Byo+CIA.IPQI=」pm^PNL=]Axo:By+C]V;IPMI2+1PNI2 <'A2+B2六、 参数方程法ypNx图4证：过点P（x,y）作直线l■:J%=Xo+'C0S?交直线l于点Q。（如图1）oo [y=y+1sin6由直线参数方程的几何意义知11I=IPQI,将-Ax+Atcos6+By+Btsin6+C=o整理后得11I=IAxo+Byo+CI ⑴一Acos6一Bsin6当l'11时，我们讨论6与l的倾斜角a的关系：A当a为锐角时（tana=->o,不妨令A>0,B<0）有6=9oo+aB（图2）cos6=-sina=tana B A~r —=—~j ——~=—―— ——<1+tan2a A2+B2 A2+B21 IBI —Bsin6=cosa— =一，一=, -v1+tan2a A2+B2 vA2+B2A当a为钝角时（tana=——<o,不妨令A>0,B>0）有6=a—90oB（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得I,i= IAx+By+CI =IAx+By+CIIA2 +B2 | "2+B2•、；A+B2寸A2+B2七、向量法证：如图五，设直线l:Ax+By+C=0（A^0,B^0）的一个法向量-―B、n=（^二），Q直线上任意一点，则PQ=（x一x,y一y）。从而点P到直A 1 01线的距离为:In-PQIIA(x-x)+B(In-PQIIA(x-x)+B(y-y)I 10 斗o—P点在直线l上,Ax^+By+C=0,从而d=IAx+By-Ax-ByIIAx+By+CI附：万案一：设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQB±l可知，直线PQ的斜率为；（AN0），根据点斜式A写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出IPQI,得到点P到直线l的距离为d方案二：设AN0,BN0,这时l与x轴、y轴都相交,过点胃乍x轴的平行线’交1于点R（x「yo）；作y轴的平行线’交1于点s队,y2）,JA1x1+By+C=0,曰_-B*-C_-Ax-C_由|Ax1+Byo+C=0得xi=A，y2=Bl0 2所以,|PH|=|x0―气Ax+By+C

0~~A^|PS