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第三节Cramer法则一、余子式与代数余子式二、Cramer法则三、Laplace定理例如一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如记行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式。定理1

一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如定理2

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证行列式按行（列）展开法则例１计算行列式解按第一行展开，得例２定理3

行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即关于代数余子式的重要性质二、Cramer法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明:再把n个方程依次相加，得用D中第j列元素的代数余子式依次乘方程组（1）的n个方程，得由代数余子式的性质可知,上式中的系数等于D,而其余的系数均为0；又等式右端为于是当时,方程组有唯一的一个解由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.例４用Cramer法则解方程组解1.用Cramer法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用Cramer法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.三、Laplace定理定义１

在一个n阶行列式D中，任意选定k行和k列，把这些行和列相交处的元素按其原有的相对位置排成一个k阶行列式M，称M为D的一个k阶子式．在D中把构成子式M的k行k列划去，D中余下来的元素按其原有的相对位置，又排成一个

阶子式N，称N为M余子式．若M是由D

的第行、第行、、第行与第列、第列、、第列相交处的元素所排成，N为M的余子式，令则称为M的代数余子式。例如，在４阶行列式子式的余子式为而M的代数余子式为子式的余子式为Laplace定理在n阶行列式D中，任意选定k列（行）后，则含于此k列（行）中的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和等于D

例６解利用Laplace定理，把D按前两列展开，由于前两列中只有一个２阶子式不为０，故

证用数学归纳法例７证明范德蒙德(Vandermonde)行列式当时

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