2023高考数学必考公式大汇总

2023高考数学必考公式大汇总，高中三年都有用！

小编老师整理2023高考数学必考公式，和大家分享，为您的高考助一

臂之力。

基本初等函数I

一、概念与符号

1.函数的概念

一般地，我们有：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系/■，使对于集合4中的任意一个数无，在集合B中都有唯一确定的

数和它对应，那么就称八4-8为从集合4到集合B的一个函数

(function),记作：y=/(%),xEA.

2.映射的概念

一般地，我们有：设48是两个非空的集合，如果按某一个确定的

对应关系/，使对于集合4中的任意一个元素无，在集合B中都有唯一

确定的元素y与之对应，那么就称对应广4-B为从集合4到集合B的

一个映射(mapping)。

3.函数的最值

一般地，设函数y=/a)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)对于任意的尤GI,都有/(%)<M(/(%)>M)；

(2)存在无使得7

那么称M是函数y=/(£)的最大(小)值，通常记为：

'max="或fOOmax="。仆加=M或/'(X)min=M).

4.奇偶函数等式的等价形式：

奇函数O/(-%)=-/(%)=/(-%)+/(%)=0

09rY=-I(/WHO)；

偶函数=r(-x)=/(%)=/,(-%)-/(%)=o

f(—

Q今Y=l(f"O).

/(%)

二、常用公式

1.幕指数运算法则

mar-as=cT+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.(a>0,r,seQ)

(2)当n为奇数时，府=Q；

当九为偶数时，后=|可=卜'Q'°'

(—a,a<0.

(3)规定：aG=VH"(a>0,m,nEN*,且n>l)；

a~n=-m(a>0,m,nEN",且九>1)；

an,

a°=l(a彳0).

2.对数恒等式

a】ogaN=N,logaa=1,loga1=0.(其中N>0,a>0,且aH1)

3.对数运算法则

设a>0,且awl,M>0,N>0,贝！］

loga(MN)=log。M+logaN,

lOga⑥=』gaM-10gaN,

n

logaN=71logaN

4.对数换底公式

logcb--

logab=-----(a>0且aW1；c>0且cW1：b>0)

logc«

函数的应用

一、概念与符号

1.函数的零点

对于函数y=f(x),我们把使f(%)=0的实数%叫做函数y=f(W的零

点(zero)

2.二分法

对于在区间［a,b］上的连续不断且f(a)-f(b)<0的函数y=f(%),

通过不断地把函数f。)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端

点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)0

二、常用公式

1.二次函数式：

22

/(%)=ax+bx+c=a(%—%!)(%—%2)=a(%—/i)+k(其中a丰

0,h=,，k=型今

2a4a'

2.二次函数图象在%轴上两点间的距离：

r--------------y/b2-4ac

优i_%21=+x2)~=---------

3.方程a久2+bx+c=0(a0)：

(1)判别式A=b2-4ac；

(2)求根公式2=z^(A>0)；

Xi+.Xob，

(3)根与系数的关系,a

51X2=--

三、常用定理

1.零点存在定理

一般地，我们有：如果函数旷=f。)在区间［a，可上的图象是连续不

空间几何体

点、直线和平面位置关系

一、常用公式

S圆柱全=2?rr(r4-1),，柱=S/i；

S图椎=7rr(r+Z),“=：S九；

S图台^n(r，2+r2-hr'l+rl),%=：(S++S')九；

S球=4兀R2,P球=：7TR3.

二、常用定理

(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系：

r=yjR2-d2.

(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截

面截得的圆叫做小圆.

(5)在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在

这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离.

一、概念与符号

平面a、6、y,

直线a、b、c,

点4、B、C.

AEa---点力在直线a上或直线a经过点4

aua----直线a在平面a内.

aCB=a——平面a、0的交线是a.

alp----平面a、0平行.

B1y---平面0与平面y垂直.

二、常用定理

1.异面直线判断定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面

直线.

2.线与线平行的判定定理

(1)平行于同一直线的两条直线平行.

(2)垂直于同一平面的两条直线平行.

(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行.

(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平

行.

(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个

平面的交线.

空间向量与立体几何

二、常用定理

1.异面直线判断定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面

直线.

2.线与线平行的判定定理

(1)平行于同一直线的两条直线平行.

(2)垂直于同一平面的两条直线平行.

(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行.

(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平

行.

(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个

平面的交线.

一、常用公式

1.设a=（a］，a2，a?），b=（b1,b2,匕3），力（％1，Vi，^1）、

y,z）,贝!J

B（X2,22

2

a

⑴|a|=y/al3

々1万工+a2b2+g，

⑵cos〈a,b>=

Jai+a2+a3-Jbl+b2+b3

222

⑶画=V（%!-%2）+（71-y2）+（Zi-Z2）.

2.中点坐标公式

已知4（%1，%,zj,Z2）,若z）是线段的中

B（X2,y2,M（x,y,48

点，则有％=红3,y=红当，z玉+%

222

3.异面直线所成的角

设异面直绳48、CD所成角为仇则

cos6=|cos懑硒|=器篙

4.直线与平面所成的角

如图，已知P4为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作

平面a的垂线P。，连接。4则NPA。为斜线PA和平面a所成的角，记

为6,易得：sin6=sin-(n,AP))|=|COS(TI,AP)\=-^=.

5.二面角的向量求法

直线与方程

一、概念与符号

L倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与％轴相交的直线，如果把刀轴绕着交

点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a

就叫做直线的倾斜角，当直线和支轴平行或重合时，规定其倾斜角为0’,

因此，倾斜角的取值范围是0,<a<180'.

2.斜率

倾斜角不是90’的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常

用上表示,即k=tana,常用斜率表示倾斜角不等于90,的直线对于%轴

的倾斜程度.

到%的角

k依逆时针方向旋转到与％重合时所转的角.

44和4所成的角

I1和U相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，

简称夹角.

圆与方程

2.圆的一般方程

方程％2+y2+D%+Ey+F=0,当。2+£2-4尸>0时，称为圆的

一般方程其中圆心为(一?,一胃半径r=W"+E2-4F

3.圆的参数方程

设C(a,b),半径为R,则其参数方程为

{:二为参数，0工”26

4.直线与圆的位置关系

设直线E：Ax+By+C=0,圆C：(无一+(y—b)2=产.圆心

C(a,匕)到1的距离为d=区湍f,

则d>r=1与圆C相离；

d=r=，与圆。相切；

d<r=［与圆C相交.

5.圆与圆的位置关系

22

设圆C1：(无一仰)2+6，—瓦)2="，圆。2：(x-a2)+(y-b2)=

R2.设两圆的圆心距为d,

则当d>R+r时，两圆外离；

当4=夫+了时，两圆外切；

当|R一厂|VdVR+r时，两圆相交；

当d=|R—r|时，两圆内切；

当d<|R-r|时，两圆内含.

圆锥曲线与方程

一、椭圆

1.椭圆马+4=l(a>h>0),c2=a2-b2(c>0),焦距|产出1=2c.

a2bz

椭圆1■+氤=l（a＞匕＞0）的离心率有：e=：=Jl—・•.

二、双曲线

1.双曲线1一差=1（。＞0,b＞0）,有/=。2+炉，焦距

azb,

|FIF2I=2c.

统计

一、常用符号

%——平均数,S2——方差,S——标准差,E——求和符号

二、常用公式

2

元=+%2++S=；£之式。-%）2

s=庐卮二豆，】寰笨署，左=》一.

回归方程

y=a+bx

其中

（r（7i一歹）Ek无仇一位了

-£口式占一追2E之1片-位2

Ia=y—bx.

相关系数

「________Z/_________

一九产）：。％2一九）2）

概率

一、常用公式

1.随机事件4的概率：P(/)满足0式PQ4)M1.

2.互斥事件的概率加法公式：

(1)如果4B是互斥事件，贝!JPQ4uB)=P(/)+P(B).

⑵如果4、8是相互独立事件,则P(4B)=P(4)P(B).

(3)如果事件4,A2>'•->4两两相斥，则

P(4U-2Uu…u4)=PG4J+P(4)+-+P(4).

3.互为对立事件概率加法公式：P(m+PQ4)=1.

4.古典概型：

p⑷=事件」包含的基本事件数

产⑷=试蛉的基本事件总数•

5.几何概型：

尸⑷=构成事件A的区域长度(面积或体积)

"=试蛉的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)°

离散型随机变量的分布列

三角函数

3.三角函数的定义

22

如图，在a的终边上取一点P。，y),\OP\=r=y/x+y>0,

定义：sina=cosa=-,tana=-

rrx

二、常用公式

L孤长公式：l=\a\R,R为圆弧所在圆的半径，a为圆弧所对圆心角

的弧度数，1为弧长.

2.扇形的面积公式：S=-IR,R为圆的半径，1为弧长.

2

3.同角三角函数的关系式

(1)商数关系：tana=*,

cosa

(2)平方关系：siMa+cos2a=1

(3)诱导公式:

X硒

sinxCOSTUnr

a+k•2n[k6Z)sinacosaUna

jr+a-sina-cosatana

-a-sinacosa-tana

zr-asina-cosa-tana

产

2~acosasina

肝

2+ccosa-sina

三角函数的图象与性质

一、常用图形

二、常用性质

函数名称正弦函数余弦函数正切函数

解析式y=sin%y=cosxy=tanx

\x\x6R且x0k/r+g>k6z]

定义域RR

值域[T，1]H,i]R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

有界性有界函数有界函数

周期性T=2nT=2nT=7T

熠区间增区间增区间

rnTTi[2kn—ir,2kn\

[2/CTT——>2kJr+-](fcir-p新+乡

(kcZ)

单调性减区间减区间(AeZ)

rJT37rl[2kn,2kn+w]

^2kji+2,2kjr+-J

(keZ)

(fceZ)

三角恒等变换

解三角形

一、常用公式

1.三角形面积公式

Ss=；底X高=-absinC=-besinA=-acsinS=-

ABC22224R

其中R为A4BC的外接圆半径.

二、常用定理

1.正弦定理：

—^―=—^―=—^―=2R.

sinAsinBsinC

2.余弦定理：

a2=b2+c2—2becos4

b2=a2+c2—2accosB,

c2=a2+b2—2abcosC.

平面向量

一、常用公式

设a、b表示向量，且a=（%i，%）,8=（%2，纥），人表示实数.

1.加法原理：

a+b=（%1+不，％+”）•

2.减法原理：

a-b=（%1-%2,%_"）•

3.数乘：Aa=（Axx,AVi）.

4.数量积:

a-b=xrx2+yxy2-ab=|a||b|cos0（其中6为Q与b的夹角）

5.平行关系：

r

aIIb。%1%2—yi}2=0.

数列

2.在等差数列｛册｝中:

（l）an=m,am=n,m^n,贝!Jam+n=°；

⑵若Sn=m,Sm=n,mHn,贝（JSm+/=~（m+n）；

⑶若S”=Sm,m^n,贝（JSm+n=0.

3.若｛册｝与｛履｝均为等差数列,且前九项和分别为S”与〃，则詈=旦口.

bmT2m-i

4.项数为2九（九CN"）偶数的等差数列｛册｝有：

S2n=九Si+a2n)=…=n(an+an+1)(an,0Tl+1为中间的两项);

S偶-s奇=讪耳=舒

演an+i

项数为奇数2九-l（neN"）的等差数列｛册｝有:

^2n-l=（2九一1）0n（册为中间项）；

S奇n

S奇―5偶=。n；彳=工.

S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.

5.常见数列的前九项和的公式

1+2+3+-+n=还巨；

2

1+3+5+…+(2n-1)=n2；

l2+22+32+-+n2="(—)；

6

l3+23+33+-+n3=[^y^]2.

二、常用结论

1.4是a,。的等差中项的充要条件幽="之

2

2.G是a,b的等比中项的充要条件是G?=ab,其中ab>0.

不等式

常用逻辑用语

一、常用符号

pVq----P或q,PAq----p且q,—>p-----非p

V——任意,m——存在

A=B一一力是B成立的充分条件

BnA——4是B成立的必要条件

A=B——4是B成立的充要条件

二、常用结论

1.

导数及其应用

一、常用公式

1.常用函数导数公式

(1)C'=O(C为常数)；

(2)(xny=MT(其中”eR)；

(3)(sinx)z=cos%；

(4)(cosx)z=—sinx；

(5)(ln%y=-；

X

(6)(loga=-i-；

xlna

(7)("=e，

(8)(ax)f=axIna.

(9)复合函数y=f(g(X))的导数和函数y=(Q),u=g。)的导数

间的关系为：

3.一般地，求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如

下：

①求函数y=〃%)在(a,b)的极值；

②将函数y=的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中

最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

4.微积分基本定理

如果=且ra)在［a,b］上可积，则

J^/(x)dx=F(%)^=F(b)-F(a),其中FQ)叫做fQ)的一个原函

数.

复数

一、常用公式

1.(a4-bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a4-bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i,

(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

a+biac+bd

i(c+diHO)(以上a、b、c、dER).

c+dic2+d2

2•Z1±Z2=Z1±Z2，

e)=gw。),

z'