2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析试题

人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，〃是J3C边四上一点，过点〃作。3c交然于点反若">:£>B=2:3,则山叱世杵的

值（）

A.2：3B.4：9C.2：5D.4：25

2、如图，把一张矩形纸片4时沿着4〃和加边的中点连线）对折，对折后所得的矩形正好与原来的

矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（）

A.4：1B.72:1C.1:72D.2：1

3、如图，在正方形月6口中，△〃牝是等边三角形，BP、次的延长线分别交力〃于点6、F,连接加、

DP,BD与CF交于点、H.下列结论：QCF=2AE；②XDFPsXBPH；③DP=PH，PC；Q)PE：BC=(26-

3）：3.正确的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上，则与△/a'相似的三角

形所在的网格图形是（）

A.菱形都相似；

B.等腰三角形都相似；

C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似；

D.两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形相似.

DF

6、如图，4人人，BC=2,-=3,则四的长为（)

A.6B.5C.4D.3

7、如图，尸是直角△力比斜边居上任意一点（43两点除外）,过点?作一条直线，使截得的三角形

与△?1比相似，这样的直线可以作（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

8、如图，点E是正方形ABCD的边A8边上的黄金分割点，且S1表示AE为边长的正方形面

积，邑表示以8c为长，BE为宽的矩形面积，53表示正方形ABCD除去加和其剩余的面积，S,：邑的

值为（）

D.1

a与

9、在小孔成像问题中，如图所示，若点。到AB的距离是18cm,点。到CQ的距离是6cm,则像8的

长与物体A8长的比是（）

A.1:2B.1:3C.2:1D.3:1

10、下面两个图形中一定相似的是（）

A.两个长方形B.两个等腰三角形

C.有一组对应角是50。的两个直角三角形D.两个菱形

第H卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

ATOAP0

1、在腼中，后是42上一点，三=3连接质心相交于凡则下列结论：①左=［；②

DE3DC3

10

=—.③9=工.④一%.4J石，正确的是

S&CBF25EF2S四边形CDEF

2、如图，已知四边形ABC。内接于。。，半径AO=6,对角线/C、劭交于£点，且他=Q,EC=2,

则AZ>=.

D

3、如图，以点。为位似中心，将放大后得到△。切，若勿=3,AC=1,则不

4、如图，正方形40的边长为4,点£为边/〃上一个动点，点6在边切上，且线段用=4,点G为

线段"的中点，连接阴、3,则的最小值为.

5、如图，在平面直角坐标系中，点R4的坐标分别为（1,0）,（2,4）,点6是y轴上一动点，过点

A作优1_46交x轴于点C,点"为线段比1的中点，则QV的最小值为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知。是坐标原点，A,8两点的坐标分别为（2,1）,（3,-1）,

（1）以点。为位似中心，将△016放大为原来的两倍，画出图形；

（2）力点的对应点4'的坐标是；8点的对应点夕的坐标是

（3）在4?上有一点?（x,y）,按（1）的方式得到的对应点〃的坐标是

2、在等边三角形力比中,点〃是边4?的中点,过点〃作应〃比■交力。于点£,点少在6。边上，连接

DF,EF.

图1

(1)如图1,当加,是/初的平分线时，若4?=2,求)的长；

(2)如图2,当力注应时，设/£=a,则防的长为(用含a的式子表示).

3、已知：如图，为锐角三角形.

(1)求作菱形力如；使得4为菱形的一个内角，点〃E,6分别边比；AB,AC1.(要求：尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若4?刃C=10,B(=8.求菱形/右如的面积.

4、如图，在出△46。中，NC=90°,BCSN/=60°,四边形6是△4%,的内接矩形，顶点

D、G分别在边作、BC上，点、E、尸在边四上，设熊=x,DG=y.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当矩形㈤&的面积S取得最大值时，求△<W与△价'G的相似比.

5、(1)基本模型：如图1,AO与BC交于点。，且A8〃CD,求证：△AOBs^DOC；

(2)模型应用：如图2,在AABC中，点。为BC边上一点，连接A。，点E为线段A£>上一点，连接

CE,若算丹，NBAD=NCED,求黑的值.

CE2CD

(3)综合应用：在(2)的条件下，若AC=5C,CE平分N8CA,ZBAD=45°,AC=A，求AO的

长.

---------参考答案

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

由题意易得4D:AB=2:5,AADE^AABC,然后根据相似三角形的性质可求解.

【详解】

解：'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

"：ADiDB=2:3,

：.AO:43=2:5,

•«.<一包Y」.

••.ADE-A4BC-|^—J-石；

故选D.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

2、B

【解析】

【分析】

根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得.

【详解】

根据条件可知：矩形矩形ABCD,

.AEAB

•‘丽一茄’

为4〃中点

AE=-AD

2

AD

：.^=AB,

AB一AD

ADr=2AB1,

/.AD=6AB,

，原矩形纸片长与宽的比为a:1

故选B

【点睛】

本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分

清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键.

3、D

【解析】

【分析】

由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论.

【详解】

解：•.•△6/个是等边三角形，

：.BP=PC=BC,APBC=APCB=ZBPC=QO°,

在正方形ABCD中，

'：AB=BC=CD,/A=/ADC=/BCD=9G,

：.4ABE=/DCF=3Q°,

：.BE=2AE,

'：AD//BC,

AAFEP=APBC,NEFP=/PCB,

■:4EPF=4BPC,

：.AFEP=AEFP=AEPF=^°,

△夕V是等边三角形，

：.BE=CF,

：.CF=2AE,

故①正确；

'：PC=CD,ZPCD='30°,

：.ZPDC=75°,

:"FDP=15°,

'：ZDBA=45°,

:./PBD=\5°,

4FDP=£PBD,

，：NDFP=NBPC=6b°,

故②正确；

,：ZPDH=ZPCD=3Q°,ZDPH=ZDPC,

:ZPHsACPD,

.DPPH

"'~PC~~DP'

：.DFf=PH*PC,

故③正确；

■：ZABE=30°,ZA=90°,

：.AE=^AB=^BC,

33

■:/DCF=30°,

：.DP=2!LDC=—BC,

33

EF=AE+DF-BC=巫BC-BC,

3

:.FE：BC=(2x/3-3)：3,

'：EF=PE,

:.PE：BC=(26-3)：3,

故④正确，

综上，四个选项都正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌

握性质和定理.

4、C

【解析】

【分析】

可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长

度即可解题.

【详解】

解：根据勾股定理，人€=庐力=26,BC=&,

所以，夹直角的两边的比为母=2,

观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似.

故选：C.

【点睛】

此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中

根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键.

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形相似和相似多边形的判定解答.

【详解】

解：A、菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，本选项说法错误;

B、等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；

C、两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似，故本选项正确；

D、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键.

6、C

【解析】

【分析】

由平行线分线段成比例，可得比例式：芸=能，代入值，利用线段间的关系，直接求解答案.

【详解】

解：••・4〃，2〃4且表=3,

EF

.DFAC

EFBC

•;BC=2,

**-AC=6,

:.AB=AC-BC=6-2=4,

故选：c.

【点睛】

本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案.

【详解】

解：如图，过点P可作阳〃及7或%”//AC,

CE"B

JXAPESXABC、△蹴"sXABC；

过点。还可作必UB,可得：NEPA=NC=9G°,

：./\APE^/\ACB^

满足这样条件的直线的作法共有3种.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理从是解题的关键.

8、C

【解析】

【分析】

设正方形4腼的边长为a,关键黄金分割点的性质得到空=叵」和更=叵【，用

表不出S］、S2

AB2AE2

和其的面积，再求比例.

【详解】

解：设正方形4腼的边长为a,

:点E是上的黄金分割点，

.AE_45-\BEV5-1

••-------,---------

AB2AE2

・AU乖-1Ary—1

・.AE=-----AB=--------a,

22

・23-623-62/£2

・・S3=〃------------a---------a=（45-2ja,

S3:S2=（逐一2）c『:3f02=立21・

故选C.

【点睛】

本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质.

9、B

【解析】

【分析】

由题意可知"80与AOCO是相似三角形，相似比为1：3,故5AB=1：3.

【详解】

由小孔成像的定义与原理可知△450~A£>C。

：ADCO与AABO高的比为6：18=1：3

ADCO与4ABO相似比为1：3

:.CD：AB=1：3

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒

像，我们把这样的现象叫小孔成像.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高

的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.

10、C

【解析】

【分析】

根据相似图形定义，相似三角形的判定定理逐项判断即可求解.

【详解】

解：A、因为长方形的大小，形状不确定，所以两个长方形不一定相似，故本选项不符合题意；

B、因为等腰三角形的大小，形状不确定，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意；

C、因为直角相等，所以有一组对应角是50。的两个直角三角形中有两对相等的角，所以有一组对应角

是50。的两个直角三角形一定相似，故本选项符合题意；

D、因为两个菱形的大小，形状不确定，所以两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了相似图形定义，相似三角形的判定定理，熟练掌握形状相同的图形是相似图形是解题

的关键.

二、填空题

1、②③④

【解析】

【分析】

AP0

根据平行四边形的性质可得AD〃BC,4。=3。进而可得44砂648/，根据痣=：,即可求得

DE3

4^=1.2=2，条='进而判断①②③，根据三角形的面积和平行四边形的面积可得，分别用

BC5'&CBF2〉EF2

SQABCD表Z5出A"与S四边形CDEF，进而求得其比值

【详解】

解：•・・四边形ABC。是平行四边形

..AD//BC9AD=BC

•.AA£FsMBF

.AFAEEF

*CF-BC-BF

AE2

---=—

DE3

AE2

/.---=—

AD5

.AE_2

~BC~~AD~~5

,BF_AD

,~EF~~AE~2

则①不正确，②③正确；

过点A/作AM1BC,FN1BC

CFBC5

,~AF~~AE~2

.CF=5

**AC~7

qs

.八BFC_二

^△ABC7

・・Q-lc

,8c-/^aABCD

••S〉BFC=RSoABCD

X

「•S/^EF=石S&CBF~石RSOABCD二芯aABCD

,•AE=一2

•AD5

设平行四边形4?CQ,BC边上的高为〃，

x

.S^J^\lxAE=lx2=l

SADxh2AD255

OrAtDRvCLrzi

S^AEB=^^cABCD

°SAAEF—35S°ABCD353oABCD_—lyc3oAfiCD

1531

S四边形c/郎=^oAHCI)S/\ABE_SgFC=SoAEC，＞(1_M—R)=7QSOAHCD

±q

Sn°oABCDIO

,4&AHF_/_1V

S四边形CDEF—S31

70°oABCD

故④正确

故答案为：②③④

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

2、3715

【解析】

【分析】

连接6。并延长交/〃于点E连接切，然后根据三角形的相似可以求得必的长，然后根据勾股定理可

以求得力〃的长.

【详解】

解：连接6。交4。于点E连接。〃，

'：BA=BD,OA=OD,

.•.跖是线段的垂直平分线,

：.BFVAD,

•.3C是。。的直径,

.•.乙4a=90°,

即AD上DC,

：.BF//CD,

：./\BOEs丛DCE,

.OBEO

•・诟一正’

'：AO=&,EC=2,

：.OB=6,%=6,

：.OE=4,

.64

..---=—,

CD2

解得，CD=3,

在RtA4Z右中，N4r=90°,47=12,33,

AD=4AC2-cur=X/122-32=3715，

故答案为：3715.

B

///\\、

///\\\

,[z°!AN-

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答.

3

3、

10

【解析】

【分析】

根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可.

【详解】

解：•••以点。为位似中心，AOAB放大后得到AOCD,

,AB_OA_Q4_3_3

"CD_OC-OA+AC-3+7-lo'

,3

故答案为：

【点睛】

本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质.

4、5

【解析】

【分析】

因为%=3必三2,所以G在以〃为圆心，2为半径圆上运动，取〃7=1,可证△GD/S^COG,从而得

出然后根据三角形三边关系，得出8,是其最小值

【详解】

解：如图,

在Rt△颂中，G是斯的中点,

：.DG=^EF=2,

.•.点G在以〃为圆心，2为半径的圆上运动,

在CD上截取DI=1,连接GI,

.D1--1

**DG-CD-

：.ZGDI=ZCDG,

：./\GDI^/\CDG,

.IG=DI__i

：.IG=-CG,

2

：.BG+-CG=BG+IG^BI,

2

.•.当6、G、/共线时，BG+^CG最4、=BI,

在入△6C7中，CI=3,BC=4,

:.BI=5,

故答案是：5.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键.

5、州

【解析】

【分析】

连接AM,OM,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：AM=OM,则点M在线段4。的垂直平

分线上，作线段40的垂直平分线交x轴，轴于点E,。则当时，PM最小，再利用相似三

角形的判定和性质，结合勾股定理解答即可.

【详解】

如图：过点A作于点/，连接AM,OM

ABAC=NBOC=90°,M为8c中点，

AM=OM

点M在线段AO的垂直平分线上

作线段力。的垂直平分线交)'轴，》轴于点O,E,当PMLDE,PM最小

连接AO,则相＞=0。

•.•A(2,4)

.\AF=2,OF=4

设。£>=A£)=r,IjllJFD=4-t,

222

■­1FD+AF=AD

.-.(4-r)2+22=?

5

t=一

2

/.0D=-

2

vZFa4+ZAOE=90°,ZAOE+AOED=90°

ZFOA=ZOED

-,•ZAFO=ZDOE=90°

:./\FAO^/\ODE

ApQP

-------即AF•OE=OD・OF,

ODOEf

:.OE=5

・・・P(1,0)

:.PE=4

•­,在Rt/\AFO中04=yj0F2+AF2=代十寸=2也

当时，PM最小

:.ZPME=ZAFO=9Q°

,PMPE

"'AF-OA

PM_4

FF

PM=1>/5

故答案为：—>/5

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线

的距离，勾股定理等知识，能够综合熟练运用这些性质和判定是解题关键.

三、解答题

1、⑴图见解析；(2)(-4,-2)或(4,2),(-6⑵或(6,-2)；(3)(-2M-2>)或(2x,2y).

【解析】

【分析】

(1)分①放大后的图形△OA9在y左侧，②放大后的图形在y右侧两种情况，先分别将点A8

的横纵坐标乘以2或_2得到点A,力,再顺次连接点即可得；

(2)结合(1)的两种情况，根据位似图形的性质即可得；

(3)结合(1)的两种情况，根据位似图形的性质即可得.

【详解】

解：(1)①当放大后的图形△OA®在y左侧时，画图如下：

②当放大后的图形△on®在y右侧时•，画图如下:

(2)vA(2,l),B(3,-l),

/.A\-2x2,-2xl),B'(-2x3,—2x(-1))或A(2x2,2x1),8'(2x3,-1x2),

即AX-4-2),*(-6,2)或A'(4,2),B'(6,-2),

故答案为：(T-2)或(4,2),(-6,2)或(6,-2)；

(3)•••P(x,y),

.•.P(-2x,—2y)或P'(2x,2y),

故答案为：(-2x,-2y)或(2x,2y).

【点睛】

本题考查了画位似图形、点坐标与位似图形，正确分两种情况讨论是解题关键.

2、(1)ER2(2)

2

【解析】

【分析】

(1)根据以77%证明△力应是等边三角形，再根据〃是4?中点，可证明△6/0是等边三角形，在证明

△因是等边三角形，从而求得上2,

(2)过点A作4"垂直优于点M,可证△颇心△力嬲由相似可求出D启昱a,在利用勾股定理即可求

2

出EF.

【详解】

解：(1)；是等边三角形，

：.ZA=ZB=ZOQO°,

'：DE//BC,

：.ZADB=ZABO6Q°,

.•.N4=N4旌60°,

，△4应是等边三角形，

:.AD-D扶2,

•.•〃是4?中点，

.•.盼仍2,

■:DF平■分乙BDE,

：.4BD用4ED2三4B限三(180°-60°)=60°,

又斤60°,

△版是等边三角形，

六吩2,

■:D户DE=2,4ED后6Q°,

...△板是等边三角形，

:.E用D扶D用21

(2)过点4作4材垂直8c于点M,

A

'：DE//BC,DF1DE,

："BFD=NFD&gG°,

,：4DFB=4AMB=90°,

又庐/8,

△DBFs△ABM,

:〃为48中点,

.DB__DF_]_

AB~AM_2'

:.D吟AM,

•••4"是等边三角形6c边上的高,

.•."是弘的中点，

，4沪yjAB2-BM2=J(2a>-/=、

.,.止"沪旦，

2?

222

在Rt^DEF中，E户y/DE+DF=Ja+(1〃>=五”.

V22

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本

题的关键.

3、（1）见解析；（2）4421

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的对角线互相垂直平分和菱形的对角线平分内角进行作图即可；

（2）先根据菱形的性质和三线合一定理得到BD=CD^2=4,即可利用勾股定理求出力〃的

长，然后证明△/如△/切，得到一=—=（求出=-,=2则止4,再根据

菱形=1,求解即可.

【详解】

解：（1）如图所示，菱形如为所作.

（2）•.•四边形力曲'是菱形，

.•.4。是“1C的平分线，AO=DO,ADLEF,E广2E0,

又,：A斤AC,

SBC,BD=CD=-„=4,

在RtAABD中，AD=7~②=J7原=7=酒,

,:EFLAD,

:.NAO夕NADB=9G°,

又YNEAS/BAD,

：./\AEO^/\ABD,

・____/

・・一--"y

•L=2

**=2

H,

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，尺规作图一作角

平分线，作线段垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

4、⑴y=8-4筋(2)逆

3

【解析】

【分析】

(1)依据比中，/=90°,=4N=60,即可得到4>4,AF2A后2x,=

L

2=3，再根据。力华/〃，可得g=4-2，进而得出y与x之间的函数关系式；

(2)依据令龙x(8-4)=-4/3{-7)2+么万，可得当户1时，S最灯灯,再根据

△DCGs△GFB,即可得到一=点=(，进而得出△G%与△狼的相似比.

【详解】

解：(1)中，ZC=90°,BC=4y/3,ZJ=60°,

：.AC=\,AD=2AE=2x,=g=

"：CD=AC-AD,

=4—2,

即y与x之间的函数关系式为y=8-4%；

(2)•:DE=6AE=丛x,

：.S=DEXDG=^3xX(8-4x)=-(x-1)2+473,

当x—1时，S最大=4,

此时，GF=DE=0,

:.BG=2GF=20,%=8-4=4,

■:4C=NBFG=9G°,ZDGC=AB,

:.