对空间和平面力系平衡条件的认识

PAGEPAGE6对空间与平面力系平衡条件的认识（北京科技大学土木与环境工程学院，100083）作者简介：赵福垚（1985-），男，辽宁丹东人，北京科技大学土木工程04级4班本科在读。E-mail：zhaofuyao@163.com摘要：作者在理论力学课程学习过程中，对空间与平面力系平衡条件的多种形式及其限制条件的产生了兴趣，经过一段时间的文献学习和研讨，已初步了解到了前人的一些研究成果，也对此问题进行过一些探讨。本文将介绍作者从学生角度对空间和平面力系平衡条件的一些认识，期望它会对理论力学的课程教学有所帮助。关键词：静力学；空间和平面力系；平衡；限制条件，理论力学教学1问题的引出在理论力学课程里静力学内容的学习过程中，作者对空间与平面力系平衡条件的多种形式及其限制条件的产生了兴趣。例如，空间任意力系的六矩式的限制条件是什么？而在教科书中并没有给出明确的限制条件来。作者带着这些问题经过一段时间的查阅文献和理论探讨，初步了解到了一些已有的研究成果[1-6]。受启发教深的是参考文献[1]中有关空间任意力系平衡判定的多矩式存在性和限制条件的研究。作者在参考文献[1]的基础上，进一步讨论了空间和平面力系多矩式形式下平衡判定的限制条件。力系平衡的限制条件：2．1空间任意力系平衡的限制条件记、、表示力分别在x、y和z轴上的投影，、、分别表示力对x、y、z轴的矩。已知直线的方向失量为，并且它经过空间一点的坐标为。设一空间任意力系有n个力组成，记力在直线轴上的投影为，对轴的矩为。整个力系对轴的矩为[2]：(1)整个力系在直线轴上的投影为(2)设在空间任意力系的6个平衡条件中，有k个力矩式，个力的投影式。记直线，，…，为取矩轴，直线，，…，作为投影轴。并且引入列向量：和矩阵则表达式（1）和（2）可写成如下形式：（3）若的行列式不等于0，则有。因此，等价于。即在的行列式不等于0的条件下，如果计算所得到的合力矩与合力列向量为零向量（合力矩与合力共6个量均为零），则可判定此空间力系平衡。同时由矩阵的形式也可知，空间力系平衡判定最少要有三个取矩轴，即，否则矩阵不可逆（不满秩）。2．2平面任意力系平衡的限制条件3平面力系平衡条件：将(1)，(2)式退化至平面力系，用表示力对原点O的矩，用、表示力分别在x轴、y轴和z轴上的投影。用表示力对的矩，用表示其在方向向量为的直线上的投影，则有：令：3.1针对点和直线，的一矩二力式：令：，则有，若平面力系的平衡判定合理，则可逆，即的行列式不为0，解得：，此即直线，不平行的等价条件。3.2针对点，和直线的二矩一力式：令：，则有，若平面力系的平衡判定合理，同上解得：，此即过两点的直线与直线不垂直的等价条件。3.3针对点，和的三矩式：令：，则有，若平面力系的平衡判定合理，同上解得：，此即三点不共线的等价条件。空间力系平衡的一个必要条件的几何表述：将空间力系向原点化简，得到一个合矩与一个合力，设与x轴的方向向量夹角为，则，如果与x轴垂直，显然无论是否为0，都将为0。同理，求对于任意直线的矩的分量，如果与垂直，无论是否为0，都将为0。如果与在空间中共面，显然对于的矩也是0。对于，设与x轴的方向向量夹角为，则，如果与x轴垂直，显然无论是否为0，都将为0。同理，求在任意直线上的分量，如果与垂直，无论是否为0，都将为0。因此，如果对于空间力系的平衡判定中，如果存在一条直线垂直于所有的取矩轴（此条件等价于存在一个平面平行于所有的取矩轴），空间力系向此直线上的一点化简，若得到的合矩位于此直线上，则不论其是否为0，在所有的取矩轴上的分量均为0，此条件下的空间力系平衡判定不合理。同理，如果对于空间力系的平衡判定中，如果存在一条直线与所有的取矩轴分别共面，且与所有的所求力的投影方向均垂直时，空间力系向此直线上的一点化简，若得到的合力位于此直线上，则不论其是否为0，对所有的取矩轴求矩均为0，在所要求的投影方向上的力的分量也为0，此条件下的平衡判定不合理。故空间力系的平衡判定若合理，则有如下必要条件：空间中不存在一条垂直于所有的取矩轴的直线（或存在某一个平面平行于所有的取矩轴），且空间中不存在一条与所有取矩轴均共面且与所有投影方向均垂直的直线。否则空间力系的平衡判定不合理。空间力系平衡判定中，当有四条（至）及以上共点的矩轴时（设交点为O），根据此四条矩轴列出的方程必线性相关，独立方程不足6个，平衡判定不合理。下面利用以上的必要条件证明此结论。对于四矩式，过点O分别作与力的投影所在直线，垂直的平面。由于两平面有公共点，显然至少有一条交线，当空间力系的合力在此直线上时，对所有矩轴取矩和对所有投影方向的合力分量均为0。对于五矩式，点O与确定平面，过点O作与所求力的投影所在直线垂直的平面。由于两平面有公共点，显然至少有一条交线。结论同上面的四矩式。对于六矩式，点O与确定平面，无论与此平面平行还是相交，都能在平面找到一条内过点O的直线与共面。当空间力系的合力在此直线上时，对所有矩轴取矩结果均为0。显然共点矩轴多于四个时，证明过程类似。故当空间力系平衡判定中有四条及以上共点的矩轴时，平衡判定不合理。利用上面的必要条件和本文第2部分中的结论可得到文献中部分结论的等价结论而相互印证。参考文献：[1]余辉，王晓军。静力平衡方程的独立性。常州工学院学报，2006年第19期第2期：31~35。[2]李越铭，李丰良。空间任意力系平衡方程的独立性。2002年第20卷第2期：66~71。[3]赵永刚，李世荣。空间力系矩式平衡方程相互独立的几何条件。甘肃工业大学学报，1994年第20卷第4期：97~101。[4]李珠，梁成。空间力系三、四、五、六力矩平衡方程最简形式与矩阵判据。太原工业大学学报，1993年第24卷第3期：95~99。[5]于仁财。空间力系其他形式平衡方程。辽宁省交通高等专科学校学报，2002年第4卷第3期：3~4。[6]HYPERLINK"javascript:selectSubmit3('作者:余熙莹')"余熙莹。HYPERLINK"/login/utfskip/utf-8skip.aspx?url=/grid20/detail.aspx?filename=GXMZ200202019&dbname=CJFD2002&filetitle=%e5%b9%b3%e8%a1%a1%e6%96%b9%e7%a8%8b%e7%9a%84%e5%90%84%e7%a7%8d%e5%bd%a2%e5%bc%8f%e5%8f%8a%e5%85%b6%e9%99%90%e5%88%b6%e6%9d%a1%e4%bb%b6"平衡方程的各种形式及其限制条件。HYPERLINK"/login/utfskip/utf-8skip.aspx?url=/GRID20/Navi/Bridge.aspx?LinkType=BaseLink&DBCode=cjfd&TableName=cjfdbaseinfo&Field=BaseID&Value=GXMZ&NaviLink=%e5%b9%bf%e8%a5%bf%e6%b0%91%e6%97%8f%e5%ad%a6%e9%99%a2%e5%ad%a6%e6%8a%a5(%e8%87%aa%e7%84%b6%e7%a7%91%e5%ad%a6%e7%89%88)"广西民族学院学报(自然科学版)

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