2022-2023学年福建省泉州市永春县侨中片区学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市永春县侨中片区学校联考九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣5x+7＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+13．已知x＝1是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（）A．0 B．﹣1 C． D．4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米5．如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，原方程应变为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+1）2＝9 C．（x﹣1）2＝9 D．（x﹣1）2＝67．如图，一块矩形ABDC绸布的长AC＝a，宽AB＝1，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A． B． C．2 D．8．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝19．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3，设△ABC的面积为64，则S1+S2+S3＝（）A．21 B．24 C．27 D．3210．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝5，则DF的长为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．当x时，二次根式有意义．12．若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13．若，则＝．14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是3，则四边形DBCE的面积是．15．若实数a是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则的值为．16．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③∠CPB＝45°；④2CB2＝CP•CM．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．18．解方程：（x﹣5）2＝5﹣x．19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）若FC＝3AF，BC＝12，求线段BE的长．20．已知．（1）化简A；（2）若，求A的值．21．如图，AD平分∠BAC，且∠C＝∠D，点E为AD上一点．（1）求证：△ABD∽△AEC．（2）若AC∥BD，AB＝5，AC＝6，CE＝4，求AD的长．22．永春某小商品市场以每副60元的价格购进1000副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了300副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出300副，小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：月份九月十月清仓销售单价（元）10050销售量（件）300（2）如果永春某小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利15200元，那么十月份的销售单价应是多少元？23．已知关于x的方程．（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|+2，求m的值及相应的x1，x2．24．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到线段AN，连接DN、MN、AC，MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC•AE；（3）当CM＝（n﹣1）BM时，求的值．25．如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OA＝OB＝8，点P为AB中点，点N在线段OA上运动（点N不与O，A重合），过P作PM⊥PN交OB于点M，连结MN交OP于点D．（1）求证：PM＝PN；（2）设线段OM的长为x．①记△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出y的最小值；②当＝时，求OM的长．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．解：A.＝，因此不是最简二次根式，所以选项A不符合题意；B.＝3，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；C.是最简二次根式，因此选项C符合题意；D.＝2，因此不是最简二次根式，所以选项D不符合题意；故选：C．2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣5x+7＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1【分析】利用一元二次方程的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．解：∵方程2x2﹣5x+7＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，∴A选项符合题意；∵若a＝0，则方程ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，∴B选项不符合题意；∵方程2y2﹣x﹣3＝0，含有两个未知数，∴方程2y2﹣x﹣3＝0是二元二次方程，∴C选项不符合题意；∵当m＝1时，是一元一次方程，∴D选项不符合题意，故选：A．3．已知x＝1是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（）A．0 B．﹣1 C． D．【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2﹣mx﹣2＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．解：把x＝1代入x2﹣mx﹣2＝0得：12﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1．故选：B．4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．5．如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断．解：∵∠EAD＝∠BAC，∴当∠AED＝∠C时，△AED∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△AED∽△ABC；当＝时，△AED∽△ABC；当＝时，△AED∽△ACB．故选：C．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，原方程应变为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+1）2＝9 C．（x﹣1）2＝9 D．（x﹣1）2＝6【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：D．7．如图，一块矩形ABDC绸布的长AC＝a，宽AB＝1，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A． B． C．2 D．【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．解：由题意知，AE＝CE＝AC＝a，∵裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，∴，∵AB＝1，∴，∴a＝﹣（舍去）或a＝，故选：B．8．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故选：B．9．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3，设△ABC的面积为64，则S1+S2+S3＝（）A．21 B．24 C．27 D．32【分析】由三角形中位线定理得到AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，再证△ADF≌△DBE（SSS），同理△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），则S1＝S△FEC＝S△ABC＝16，同理S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，即可求解．解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，在△ADF和△DBE中，，∴△ADF≌△DBE（SSS），同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），∴S1＝S△FEC＝S△ABC＝16，同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，故选：A．10．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝5，则DF的长为（）A． B． C． D．【分析】过点E作EH⊥AD，交延长线于H，再根据正方形的性质，推出∠H＝∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1＝∠3，证明△DEH∽△DGC，推出，AC是正方形ABCD对角线，推出∠EAH＝∠DAC＝45°，求出EH＝HA＝，进而求出DF＝．解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，∴∠H＝90°，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，∵DE⊥DG，∴∠EDG＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，∴△DEH∽△DGC，∴，∵，∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x，∴，∴DH＝3EH，∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠DAC＝45°，∵∠EAH＝∠DAC＝45°，∴∠HEA＝45°，∴EH＝HA，∴EH2+HA2＝25，∴EH＝HA＝，∴DH＝，∴AD＝5，∴GC＝，∴DG＝＝，在正方形ABCD中，AD∥BC，∴，∴DF＝3GF，∴DF＝，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．当x≥1时，二次根式有意义．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解：根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1．故填x≥1．12．若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜1．【分析】利用根的判别式进行计算，令Δ＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案为：k＜1．13．若，则＝．【分析】根据比例的性质得出＝，再把要求的式子化成1﹣，然后代值计算即可得出答案．解：∵，∴＝，∴＝1﹣＝1﹣＝．故答案为：．14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是3，则四边形DBCE的面积是9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．∵△ADE的面积是3，∴四边形DBCE的面积是9．故答案为：9．15．若实数a是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则的值为33．【分析】将a代入方程可得a2﹣3a﹣1＝0，a2＝3a+1，a2﹣1＝3a，1＝a2﹣3a，可得＝a（3a+1）﹣＝3a2+a﹣＝3（3a+1）+a﹣＝9a+3+a﹣10a+30＝33．解：∵实数a是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣1＝0，a2＝3a+1，a2﹣1＝3a，1＝a2﹣3a，∴＝a（3a+1）﹣＝3a2+a﹣＝3（3a+1）+a﹣＝9a+3+a﹣10a+30＝33．故答案为：33．16．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③∠CPB＝45°；④2CB2＝CP•CM．其中正确的结论有①②③④．（填写所有正确结论的序号）【分析】①由相似三角形的判定方法可证；②通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．解：由已知：AC＝AB，AD＝AE，∴，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP•MD＝MA•ME，所以②正确；设BE与AC相交于O，则∠AOB＝∠POC，∵△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠BPC＝∠BAC＝45°，所以③正确，由②MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP•CM，∵AC＝BC，∴2CB2＝CP•CM，所以④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．解：原式＝2+2﹣＝2+．18．解方程：（x﹣5）2＝5﹣x．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（x﹣5）2＝5﹣x，（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5+1）＝0，x﹣5＝0，x﹣5+1＝0，x1＝5，x2＝4．19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）若FC＝3AF，BC＝12，求线段BE的长．【分析】（1）由平行线性质可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，则△BDE∽△EFC；（2）①由EF∥AB，根据平行线分线段对应成比例可得＝，故可求得BE的长．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C，又∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：∵EF∥AB，∴＝，，∵BC＝12，∴，∴BE＝3．20．已知．（1）化简A；（2）若，求A的值．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可；（2）把m+n的值代入计算即可确定出A的值．解：（1）A＝•＝•＝（m+n）；（2）∵m+n﹣3＝0，∴m+n＝3，则A＝（m+n）＝×3＝9．21．如图，AD平分∠BAC，且∠C＝∠D，点E为AD上一点．（1）求证：△ABD∽△AEC．（2）若AC∥BD，AB＝5，AC＝6，CE＝4，求AD的长．【分析】（1）根据两角相等，即可证明△ABD∽△AEC；（2）先证明△ACE是等腰三角形，再根据相似三角形列出比例式即可求解．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，又∠C＝∠D，∴△ABD∽△AEC．（2）∵AC∥BD，∴∠CAE＝∠D，∵∠C＝∠D，∴∠CAE＝∠C．∵△ACE是等腰三角形，∴AE＝CE＝4，∵△ABD∽△AEC，∴＝．故＝．∴AD＝．22．永春某小商品市场以每副60元的价格购进1000副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了300副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出300副，小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：月份九月十月清仓销售单价（元）100100﹣x50销售量（件）300300+2x400﹣2x（2）如果永春某小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利15200元，那么十月份的销售单价应是多少元？【分析】（1）根据十月份销售单价降低x元，可得十月份的销售单价，再根据销售单价每降低5元，可多售出10副，可表示出销售量，再根据总销售量﹣9月份销售量﹣10月份销售量即可求出清仓时销售量；（2）根据永春某小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利15200元，列一元二次方程，求解即可．解：（1）根据题意，十月份销售单价为（100﹣x）元，销售量为（300+2x）件，清仓销售量为1000﹣300﹣（300+2x）＝400﹣2x（件），故答案为：100﹣x，300+2x，400﹣2x；（2）根据题意，得100×300+（100﹣x）（300+2x）+50（400﹣2x）﹣60×1000＝15200，解得x1＝20或x2＝﹣120（不合题意，舍去），100﹣20＝80（元），答：十月份的销售单价应为80元．23．已知关于x的方程．（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|+2，求m的值及相应的x1，x2．【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣），再配方得到Δ＝2（m﹣1）2+2，再根据非负数的性质得Δ＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝m﹣2，x1•x2＝﹣≥0，再去绝对值得到x2＝﹣x1+2或﹣x2＝x1+2，然后分类解方程．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣）＝2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2，∵2（m﹣1）2≥0，∴2（m﹣1）2+2＞0，即Δ＞0，∴无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）解：根据题意得x1+x2＝m﹣2，x1•x2＝﹣≤0，∵|x2|＝|x1|+2，∴x2＝﹣x1+2或﹣x2＝x1+2，当x2＝﹣x1+2时，而x1+x2＝m﹣2＝2，解得m＝4，原方程变形为x2﹣2x﹣4＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣；当﹣x2＝x1+2时，而x1+x2＝m﹣2＝﹣2，解得m＝0，原方程变形为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．24．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到线段AN，连接DN、MN、AC，MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC•AE；（3）当CM＝（n﹣1）BM时，求的值．【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN；（2）通过证明△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC；（3）由相似三角形的性质可求AE的长，通过证明△CMO∽△AEO，由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠MAD＝90°，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，∴∠MAN＝90°，AM＝AN，∴∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，∴△ABM≌△ADN（ASA）；（2）证明：∵△ABM≌△ADN，∵AM＝AN，∵∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∴∠BCA＝∠MNA，∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝22.5°，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∴∠CAM＝∠NAD，∴△AMC∽△AEN，∴＝