有限元-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础课件

第2讲矩阵算法及弹性力学基础2.1矩阵算法线性方程组的表示行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵矩阵行列式矩阵求逆矩阵的微分和积分正定矩阵（正定二次型）线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法矩阵加、减、乘法运算对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)矩阵的微分和积分二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则利用矩阵及其运算，二次型可表示为A:对称矩阵正定二次型：设为实二次型，如果对于任意的非零实向量X，都有A:正定矩阵二次型的微商对向量x各元素的偏导数2.2弹性力学基础关于弹性力学五个基本假定外力和内力应力、应变、位移指标记法和求和约定张量及Voigt标记平面问题基本方程及边界条件三维问题基本方程及边界条件关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科研究对象特征中学力学质点无变形理论力学质点系及刚体无变形材料力学简单变形体(构件)小变形结构力学数量众多的简单变形体小变形弹性力学任意变形体小变形弹塑性力学任意变形体任意变形力学学科各分支的关系外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力—分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的作用面积很小时的简化内力—外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移——物体变形后的形状应力——物体的受力状态应变——物体的变形程度位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。应力分量的方向定义：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。dL+dudL与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：或张量及Voigt标记大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如u,σ,ε张量通常采用指标记法表示0阶张量(标量)：无自由指标的量1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui2阶张量：有2个自由指标的量，如σij,εijn阶张量：有n个自由指标的量一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为σij和εij，是二阶张量对张量的理解张量不随坐标系的改变而改变例如位移矢量ui

：无论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。再如应力张量σij和应变张量εij

，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。Voigt标记含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。转换规则：应力张量（动力学量）的转换应变张量（运动学量）的转换应力张量的Voigt标记应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。弹性系数矩阵的Voigt标记平面问题及其基本方程弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。三大类基本方程

在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程：内力和外力的关系几何方程：应变和位移的关系物理方程（本构方程）：应力和应变的关系平衡方程ab=dx

ad=dy习惯上张量指标形式：单位体积力几何方程张量指标形式：物理方程平面应力问题：平面应变问题：张量指标形式：边界条件oxyds外法线n的方向余弦

l=dy/ds

m=dx/ds位移BC力BC张量指标形式：三维问题基本方程及边界条件

可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。基本变量如下：位移：应变：应力：平衡方程几何方程物理方程边界条件三维问题基本方程的张量