测量误差基本概念

测量误差基本概念第一页，共七十八页，2022年，8月28日第一节误差及其产生的原因1、误差公理2、测量误差基本术语3、系统误差和随机误差第二页，共七十八页，2022年，8月28日第一节误差及其产生的原因

一、误差公理

一切测量结果都有误差，误差存在于检定与测试的全过程之中。如果我们在给出一项测量结果的时候，没有指出其误差，那这个测量结果将没有实际意义。第三页，共七十八页，2022年，8月28日

二、测量误差定义及表达测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差。即测量误差=测量结果-被测量的真值

真值：被测量的真值是指一个量在被观测瞬间的条件下，被测的量本身所具有的真实大小，真值是客观存在的，测量也不可能完全没有误差，因此也就无法求得瞬息变化的被测的量的真值。第四页，共七十八页，2022年，8月28日

真值所以量的真值仅是一个理想的概念，在实际运用中的真值是指以下几种情况：

理论真值、约定真值。第五页，共七十八页，2022年，8月28日

理论真值：由定义和公式给出如平面三角形内角之和为180º，一整圆的圆周角为360º等。第六页，共七十八页，2022年，8月28日约定真值：约定采用的值，有：

1）被测量的实际值。

2）已修正过的算术平均值。

3）计量标准所复现的量值

4）计量学约定真值：

国际计量大会定义的各物理量的单位量值。如米的长度定义为光在真空中，在1/299792458秒的时间间隔内所经路径的长度。第七页，共七十八页，2022年，8月28日（一）绝对误差δ1、定义：所获得的结果减去其真值；

δ=×-×0

δ——绝对误差

×——测量结果

×0——真值（理论真值、约定真值、实际值）第八页，共七十八页，2022年，8月28日

2、举例

[举例1]标称值为10g的二等砝码，经过检定其实际值为10.003g，该砝码的标称值的绝对误差为多少?

解：

δ=×-×0=10（标称值）-10.003（实际值）

=-0.003g=-3mg(标称值的绝对误差)第九页，共七十八页，2022年，8月28日

[举例2]用2.5级的压力表测量得出某压力值为1.60MPa，用另一只0.4级精密压力表测得压力值为1.593MPa，求该压力值的绝对误差。

解：

δ=×-×0=+0.093MPa（绝对误差）第十页，共七十八页，2022年，8月28日

3、特点：从以上举例及说明中可见：

(1)绝对误差有单位，其单位与测得结果相同；

(2)绝对误差有大小(值)和符号(±)，表示测量结果偏离真值的程度。

(3)绝对误差不是对某一被测量而言，而是对该量的某一给出值来讲。如：说砝码的误差为+0.003g(错误)；而说10g砝码的误差(或示值误差)为+0003g(正确)。第十一页，共七十八页，2022年，8月28日

4、其他相关概念

(1)误差绝对值(︱δ︱)

误差绝对值——不考虑正、负号的误差值。误差绝对值不等于绝对误差，它与绝对误差是两个不同的概念，绝对误差有符号(±)，而误差绝对值是误差的模。

如在例1中，绝对误差为△=-3mg，误差绝对值为I△I=3mg。第十二页，共七十八页，2022年，8月28日

(2)偏差(d)

偏差——某值减去其标称值。即某值与其参考值之差。某值可以是计量器具的测得值、实际值等。

如：用户需要一个准确值为lkg的砝码，并将此应有的值标示在砝码上，而工厂加工时由于诸多因素的影响，所得的实际值为1.002kg，此时的偏差为+0.002kg。为了描述这个差异，引入“偏差”的概念：偏差=实际值-标称值

=1.002-1.000=+0.002kg

第十三页，共七十八页，2022年，8月28日

由此可见：

(1)偏差与绝对误差的绝对值相等而符号相反。

(2)偏差、误差各指的对象不同。所以在分析误差时，首先要分清所研究的对象是什么，即要表示的是哪个量值的误差。第十四页，共七十八页，2022年，8月28日

(二)相对误差：测量误差除以被测量的真值。

对于同种量，如果给出量值相同，用绝对误差就足以评定其准确度的高低。如两个标准值均为l00g的砝码，其示值误差一个是+0.001g，另一个是+0.002g，显然，前者绝对误差小，准确度高；后者绝对误差大，准确度低。第十五页，共七十八页，2022年，8月28日

(二)相对误差：测量误差除以被测量的真值。

对于不同给出量值，用绝对误差难以比较它们准确度的高低。如两个砝码，其示值误差都是+0.1g，若其标称值分别为100g，200g，则尽管示值误差都是+0.1g，但对100g砝码而言，该绝对误差占给出值的+0.l％；对200g砝码而言，仅占了+0.05％。很明显，后者的准确度高。因此，为反映其测量品质的优劣，有必要引入误差率即相对误差的概念。

第十六页，共七十八页，2022年，8月28日

1、定义

相对误差(△r)：绝对误差与被测量的[约定]真值之比即：△r=△/×0即△/×(14-2)

式中，×0或×不为零，且△与×0(或×)的单位相同，故相对误差△，呈无量纲形式。相对误差一般用百分数(％)表示。第十七页，共七十八页，2022年，8月28日

[例3]有一标称范围为0～300V的电压表，在示值为100V处，其实际值为100.50V，则该电压表示值100V处的相对误差为：△r=[（）/100.50V]×100%≈[（）/100V]×100%=0.5％第十八页，共七十八页，2022年，8月28日

2、特点相对误差与绝对误差相比，有如下特点：

(1)相对误差表示的是给出值所含有的误差率；绝对误差表示的是给出值减去真值所得的量值；

(2)相对误差只有大小和正负号，而无计量单位(无量纲量)；而绝对误差不仅有大小、正负号，还有计量单位。第十九页，共七十八页，2022年，8月28日

三、[测量]误差的来源和分类

(一)测量误差的来源任何检定、测试都是在某一环境条件下，由测量人员使用符合要求的计量器具和测量方法来完成的。然而，由于测量方法、测量器具、测量人员、测量环境等因素的不同造成误差因此，误差的来源，主要根据引起误差的原因来分析。第二十页，共七十八页，2022年，8月28日（二）测量误差的分类：系统误差和随机误差

1、系统误差

系统误差是由某种固定的原因引起的误差。系统误差对分析结果的影响比较固定，使测定结果系统偏高或系统偏低，当重复测定时重复出现。分为：（1）方法误差（2）设备误差（3）附件误差（4）人员误差（5）量值传递误差第二十一页，共七十八页，2022年，8月28日

1、系统误差（1）方法误差：方法误差是由于分析方法本身不够完善而引起的。（2）设备误差（仪器误差）：仪器误差是由于所用仪器不够精确所引起的误差。（3）附件误差（试剂误差）：试剂误差是由于测定时所用试剂或蒸馏水不纯所引起的误差。（4）人员误差（操作误差）：操作误差是由于分析操作人员所掌握的分析操作，与正确的分析操作有差别所引起的。（5）量值传递误差：标准传递时引起的误差。第二十二页，共七十八页，2022年，8月28日

2、随机误差

随机误差也称偶然误差，它是由某些无法控制和无法避免的偶然因素造成的。由于随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的，其大小和正负都是不固定的，因此无法测定，也不可能加以校正。第二十三页，共七十八页，2022年，8月28日

随机误差的分布也存在一定规律：

（1）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（2）小误差出现的机会多，大误差出现的机会少，绝对值特别大的正、负误差出现的机会非常小。第二十四页，共七十八页，2022年，8月28日第二节误差的表示方法一、准确度与误差二、精密度与偏差三、准确度与精密度的关系第二十五页，共七十八页，2022年，8月28日一、准确度与误差

分析结果的准确度是指实际测定结果与真实值的接近程度。准确度的高低用误差来衡量，误差又可分为绝对误差和相对误差。绝对误差定义为：

相对误差定义为：

第二十六页，共七十八页，2022年，8月28日

相对误差能反映出误差在真实值中所占比例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确度更为方便。绝对误差和相对误差都有正负，正值表示测定值比真实值偏高，负值表示测定值比真实值偏低。第二十七页，共七十八页，2022年，8月28日

二、精密度与偏差

精密度是几次平行测定结果之间相互接近的程度，它反映了测定结果再现性的好坏，其大小决定于随机误差的大小。精密度可以用偏差、平均偏差或相对偏差来衡量。偏差定义为：

偏差越大，精密度就越低，测定结果的再现性就越差。第二十八页，共七十八页，2022年，8月28日

平均偏差定义为：

相对平均偏差定义：

利用平均偏差或相对平均偏差表示精密度比较简单，但大偏差得不到应有的反映。第二十九页，共七十八页，2022年，8月28日例如，下列两组测定结果：

×1－×：+0.11－0.72+0.24+0.51

－0.140.00+0.30－0.21N1＝8d1＝0.28

×2－×:+0.18+0.26－0.25－0.37+0.32－0.28+0.31－0.27

N2=8d2=0.28虽然两组测定结果的平均偏差相同，但是实际上第一组的数值中出现三个大偏差，测定结果的精密度较差。第三十页，共七十八页，2022年，8月28日用数理统计方法处理数据时，常用标准偏差和相对标准偏差来衡量测定结果的精密度。当测量次数N<20时，单次测量的标准偏差定义为：

相对标准偏差定义为:例题第三十一页，共七十八页，2022年，8月28日例1

测定某铁矿石试样中Fe2O3的质量分数，5次平行测定结果分别为62.48％，62.37％，62.47％62.43％，62.40％。求测定结果的算术平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差解：测定结果的算术平均值为：

，。

第三十二页，共七十八页，2022年，8月28日测定结果的相对平均偏差为：

测定结果的平均偏差为：第三十三页，共七十八页，2022年，8月28日测定结果的相对标准偏差为：测定结果的标准偏差为：第三十四页，共七十八页，2022年，8月28日

计算标准偏差和相对标准偏差时把单次测定值的偏差平方后再求和，不仅能避免单次测定偏差相加时正负抵消，更重要的是大偏差能显著地反映出来。标准偏差和相对标准偏差能更好地反映出一组平行测定数据的精密度。例：用碘量法测定某铜合金中铜的质量分数如下：第一组：10.3％，9.8％，9.6％，10.2％，

10.1％，10.4％，10.0％，9.7％；第二组：10.0％，10.1％，9.3％，10.2％，

9.9％，9.8％，10.5％，9.9％。比较两组数据的精密度，分别以平均偏差和标准偏差表示。第三十五页，共七十八页，2022年，8月28日解：第一组测定值：第三十六页，共七十八页，2022年，8月28日第二组测定值：第三十七页，共七十八页，2022年，8月28日

三、准确度与精密度的关系准确度是指测定值与真实值的符合程度，用误差来度量。而误差的大小与系统误差和随机误差有关，反映了测定结果的正确性。精密度是指一系列平行测定值之间相符合的程度，用偏差来量度。偏差的大小不能反映出测定值与真实值的相符合程度，只能反映测定结果的重现性。准确度与精密度的关系可利用下图进行说明。第三十八页，共七十八页，2022年，8月28日准确度与精密度的关系示意图第三十九页，共七十八页，2022年，8月28日

高精密度是获得高准确度的必要条件，准确度高一定要求精密度高。但是，精密度高不一定能保证准确度也高，精密度高只反映了随机误差小，并不能保证消除了系统误差。若精密度低，说明测定结果不可靠，当然其准确度也就不可能高。第四十页，共七十八页，2022年，8月28日

第三节提高分析结果准确度的

方法一、选择适当的分析方法二、减小测定误差三、减小系统误差四、减小随机误差

第四十一页，共七十八页，2022年，8月28日

一、选择适当的分析方法

各种分析方法的准确度和灵敏度是不相同的，必须根据被测组分的质量分数来选择合适的分析方法。滴定分析法的准确度较高，但灵敏度较低，适用于常量组分的测定；而吸光光度法等仪器分析方法灵敏度较高，但准确度较低，适用于微量组分的测定。第四十二页，共七十八页，2022年，8月28日二、减小测定误差

为了保证分析结果的准确度，必须尽量减小测定误差。在用分析天平称量时，应设法减小称量误差。为了把称量的相对误差控制在±0.1％以内，试样质量必须在0.2g以上。在滴定分析中，为使测定的相对误差不超过±0.1％，消耗滴定剂的体积必须在20mL以上。

不同的分析方法要求有不同的准确度，测定时应根据具体要求控制测定误差。第四十三页，共七十八页，2022年，8月28日

三、减小系统误差

（1）对照试验：常用已知分析结果的标准试样,与被测试样一起进行对照试验，或用公认可靠的分析方法与所采用的分析方法进行对照试验。（2）空白试验：在不加试样的情况下，按照试样分析同样的操作步骤和条件进行试验，所得到的结果称为空白值。从试样的分析结果中扣除空白值，就可得到比较可靠的分析结果。采用下列方法来检验和消除系统误差：第四十四页，共七十八页，2022年，8月28日

（3）仪器校准：根据分析方法所要求的允许误差，对测定仪器(如砝码、滴定管、移液管、容量瓶等)进行校准，以消除由仪器不准确带来的误差。（4）方法校正：某些分析方法造成的系统误差，可用适当的方法进行校正。第四十五页，共七十八页，2022年，8月28日四、减小随机误差

增加平行测定的次数，可以减小随机误差。必须注意的是，过多的增加平行测定次数，收效并不大，却消耗了更多的试剂和时间。在一般化学分析中，平行测定4~6次已经足够，学生的验证性教学实验，平行测定2~3次即可。第四十六页，共七十八页，2022年，8月28日第四节不确定度的基本概念1、不确定度2、测量不确定度的来源3、不确定度与测量误差的区别第四十七页，共七十八页，2022年，8月28日第四节不确定度的基本概念

1、不确定度：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。称为测量的不确定度。由于测量条件的不完善及人们的认识不足使被测量的值不能被确切地知道，测量值以一定的概率分布在某个区域内。所以说表征被测量分散性的参数就是测量不确定度。第四十八页，共七十八页，2022年，8月28日第四节不确定度的基本概念

不确定度与测量误差是不一样的，测量不确定度是表明赋予被测量之值的分散性，它与人们对被测量的认识程度有关，是通过分析和评定得到的一个区间。而测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值，它客观存在但人们无法准确得到。第四十九页，共七十八页，2022年，8月28日

2、测量不确定度可能来源：

1）对被测量的定义不完整或不完善；

2）实现被测量的定义的方法不理想；

3）取样的代表性不够，即被测量的样本不能定义的被测量；

4）对被测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；

5）对模拟仪器的读数存在人为偏差；

6）测量仪器的分辨力或鉴别力不够；

7）赋予计量标准的值和标准物质的值不准；

8）引用于数据计算的常量和其他参量不准；

9）在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。第五十页，共七十八页，2022年，8月28日

由此可见，不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。第五十一页，共七十八页，2022年，8月28日

3、不确定度与测量误差的区别

1）测量误差是指测量结果减去的真值，是一个有确定正或负号的量值，而不确定度则是一个无符号的参数，用标准差或其倍数，或置信区间的半宽表示。

2）误差表明测量结果偏离真值的程度，而不确定度表明测量值的分散性。第五十二页，共七十八页，2022年，8月28日

3、不确定度与测量误差的区别

3）误差是客观存在的，不以人的认识程度而异；而不确定度与人们对被测量影响量及测量过程的认识有关。

4）由于真值不可知，则误差往往不能准确得出，但在用约定真值代替真值时，可得其估计值；而不确定度可由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，评定方法有A、B两类。第五十三页，共七十八页，2022年，8月28日

3、不确定度与测量误差的区别

5）误差按其性质可分为随机和系统误差两类，按定义，这两类误差均为无穷多次测量情况下的理想值；不确定度在评定时，可分为由随机效应或系统效应引入的不确定度分量。

6）已知系统误差的估计值可对测量结果进行修正，得出修正的测量结果；而不确定度不能对测量结果进行修正，在已作修正的测量结果中，应考虑修正不完善所引入的不确定度。第五十四页，共七十八页，2022年，8月28日第五节有效数字及数字修约规则一、有效数字二、有效数字修约方法三、有效数字的运算规则第五十五页，共七十八页，2022年，8月28日

一、有效数字

有效数字就是指在分析工作中实际上能测定到的数字，就是包括最后一位估计的不确定的数字。可能有绝对误差，而其余各位数字都是确定的。第五十六页，共七十八页，2022年，8月28日

一、有效数字

一个近似数据的有效位数是该数中有效数字的个数，是指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，叫做有效数字。有效数字不取决于小数点的位置。例如

0.005有1位有效数字。

0.0050有2位有效数字。第五十七页，共七十八页，2022年，8月28日二、数字修约规则（GB/T8170-2008）

在进行具体的数字运算前，按照一定的规则确定一致的位数，然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程被称为数字修约，指导数字修约的具体规则被称为数字修约规则。

工作中测定和计算得到的各种数值，修约时应按照国家标准《数值修约规则》进行。第五十八页，共七十八页，2022年，8月28日

数字修约时应首先确定“修约间隔”、“有效位数”，即保留位数。一经确定，修约值必须是“修约间隔”的整数倍，保留至“有效位数”。然后指定表达方式，即选择根据“修约间隔”保留到指定位数，或将数值修约成n位“有效位数”。第五十九页，共七十八页，2022年，8月28日

术语修约间隔系确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。

例1：如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到1位小数。例2：如指定修约间隔为100，修约值即应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。第六十页，共七十八页，2022年，8月28日

有效位数

从最左位起第一个非零数字向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数；

例1：整数，35000，若为三位有效数，则有两个无效零,应写为350×102；

若为两位有效数，则有三个无效零，35000应写为35×103。第六十一页，共七十八页，2022年，8月28日

对其他十进位数，从非零数字最左位向右数而得到的位数，就是有效位数(没有无效零)。

例2：小数，3.2、0.32、0.032、0.0032均为两位有效位数；0.0320为三位有效位数。例3：12.490为五位有效位数；10.00为四位有效位数。第六十二页，共七十八页，2022年，8月28日

数值修约规则

“1”间隔修约规则拟修约数值按1间隔进行修约时的规则如下:(1)拟舍弃的数字的最左一位数字小于5时,则舍去,即保留的各位数字不变;

例如：修约3.1414999到小数点后第三位（修约间隔为0.001或保留4位有效数字），

则拟舍弃的数字“4999”最左面的数字是4小于5，则舍去，保留3.141。

3.1414999——3.141。第六十三页，共七十八页，2022年，8月28日

（2）拟舍弃的数字的最左一位数字大于5时,或是等于5，且其后跟有并非全部为0的数字时,则进1,即保留的末位数字加1;

例1：修约12689，修约间隔为100，拟舍弃的数字“89”最左面的数字是8大于5，则进1。则为

12689—12700。保留三位有效数字：12689—1.27×104

第六十四页，共七十八页，2022年，8月28日

例2：修约3.1425001，修约到小数点后第三位（修约间隔为0.001或保留4位有效数字）。

3.1415001，拟舍弃的数字“5001”最左面的数字是5，且其后跟有并非全部为0的数字时,则进1,即保留的末位数字加1;3.1415001——3.142第六十五页，共七十八页，2022年，8月28日

(3)拟舍弃的数字的最左一位数字为5

而其后无数字或皆为0时，且保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9)，则进；为偶数(0,2,4,6,8),则舍去。这一规则即“4舍6入5不定，“5前奇进偶舍去”法则”。

第六十六页，共七十八页，2022年，8月28日

例：修约0.00945，修约间隔为0.0001。拟舍弃的数字为“5”最左面的数字是5，而其后无数字或皆为0时,而保留的末位数字为偶数4，根据遇5“5前奇进偶舍去”规则，5舍去。即，修约间隔为0.0001：0.00945—0.0094（或94×10-4）（因为5后面没有数字）。第六十七页，共七十八页，2022年，8月28日

[例1]将下列数修约到小数点后第三位（修约间隔为0.001或保留4位有效数字）。

3.1415001——3.142（5001,5前面为奇数，5进位）

3.1414999——3.141（4999，4舍去）

3.1415————3.142（5前面为奇数，5进位）第六十八页，共七十八页，2022年，8月28日

3.1425——3.142（5前面为偶数，5舍）

3.141329——3.141（3小于5，3舍）

3.1405000001——3.141（5000001，5虽然前面是偶数0，但后面有非0的数字，故5进位）。所以，遇5先看5前奇偶,再看5后非0第六十九页，共七十八页，2022年，8月28日

3.1

拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，（4舍去）即保留的各位数字不变。例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。

3.2

拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。

3进舍规则第七十页，共七十八页，2022年，8月28日

例1：将1268修约到“百”数位，得13×102（特定时可写为1300）。例2：将1268修约成三位有效位数，得127×10（特定时可写为1270）。例3：将10.502修约到个数位，得11。注：本标准示例中，“特定时”的涵义系指修约间隔或有效位数明确时。第七十一页，共七十八页，2022年，8月28日

3.3

拟舍弃数字的最左一位数字为5，而5右面无数字或皆为0时，或若所保留的末位数字为偶数（2,4,6,8,0）则舍弃。若所保留的末位数字为奇数（1,3,5,7,9）则进一。例1：修约间隔为0.1

拟修约数值修约值

1.050——