2022-2023学年山西省忻州市代县八年级（下）段考数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年山西省忻州市代县八年级（下）段考数学试卷（一）一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+62．化简的结果是（）A．1 B． C．2 D．3．下列计算中，正确的是（）A．＝﹣2 B．5＝5 C．＝2 D．＝34．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（）A．5或 B． C．5 D．2或55．若△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．57．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或148．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（）A．0.3ab B．0.6ab C．2ab D．2a2b9．如图所示，CD＝1，∠BCD＝90°，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+10．如图，△ABD和△CBD，∠ADB＝90°，∠ABD＝∠DBC，AD＝DC＝1，若AB＝4，则BC的长为（）A． B．2 C．3 D．二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11．计算：（）2023•（）2022＝．12．一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程为cm．13．若是整数，则正整数n的最小值为．14．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为．15．将一列数，2，，2，，…，10按如图的数表排列，按照该方法进行排列，3的位置可记为（2，4），2的位置可记为（3，2），那么这列数中的最大有理数按此排法的位置可记为（m，n），则m+n的值为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．17．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？18．如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积．19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）．（1）在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；（2）在图2中，画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB＝、BC＝、AC＝，并计算AC边上的高为．（直接写出结果）20．观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．（2）写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．21．某校的九（1）班教室A位于工地B处的正东方向，且AB＝320米，一辆大型货车卸货后从B处出发，沿北偏东60°方向的公路上行驶，试问：（1）若大型货车的噪声污染半径为150米，教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？试说明理由；（2）若大型货车的噪声污染半径为200米，为了不干扰九年级同学的学习，计划在货车行驶的公路一侧安装隔音板，则至少需隔音板多少米？22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32，1+2，5+52．（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要m．23．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝．

参考答案一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．【点评】本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a﹣2与a﹣4的正负情况．2．化简的结果是（）A．1 B． C．2 D．【分析】根据二次根式的性质化成最简二次根式即可．解：＝＝．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的化简能力．3．下列计算中，正确的是（）A．＝﹣2 B．5＝5 C．＝2 D．＝3【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．解：A.＝，故A错误；B.5﹣＝4，故B错误；C.＝＝，故C错误；D.＝3，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．4．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（）A．5或 B． C．5 D．2或5【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42＝x2，所以x＝5．（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2＝42，所以x＝所以第三边的长为5或．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．5．若△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，可找到这三边的数量关系．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2．当只有a＝b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即可得出结论．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝2.4，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或14【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．综上可得BC的长为14或4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．8．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（）A．0.3ab B．0.6ab C．2ab D．2a2b【分析】根据已知求出ab的值，再把要求的式子化成，即可求出答案．解：∵a＝，b＝，∴ab＝．∴＝＝2＝2×0.1×＝0.2××＝0.6＝0.6ab；故选：B．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，把化成是本题的关键，是一道基础题．9．如图所示，CD＝1，∠BCD＝90°，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+【分析】先运用勾股定理求得线段BD的长度，再列式、计算求得此题结果即可．解：由题意得，BD＝＝＝，∴数轴上点A所表示的数为a为：﹣1﹣，故选：C．【点评】此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．10．如图，△ABD和△CBD，∠ADB＝90°，∠ABD＝∠DBC，AD＝DC＝1，若AB＝4，则BC的长为（）A． B．2 C．3 D．【分析】延长BC，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，根据勾股定理求出BD＝，根据等积法求出DF＝，根据角平分线的性质求出DE＝DF＝，根据勾股定理分别求出CE＝，BE＝，即可得出答案．解：延长BC，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，如图所示：∵∠ADB＝90°，AD＝DC＝1，AB＝4，∴BD＝，∴DF＝，∵∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF＝，CE＝，BE＝，∴BC＝，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理，求出DE＝DF＝．二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11．计算：（）2023•（）2022＝+．【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法计算即可．解：（）2023•（）2022＝[（+）×（﹣）]2022×（+）＝（3﹣2）2022×（+）＝12022×（+）＝1×（+）＝+；故答案为：+．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程为10cm．【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．解：如图所示：如图1所示：4+4＝8（cm），AB＝＝10（cm），如图2所示：4+6＝10（cm），AB＝＝2（cm）．∵10＜2，∴爬行的最短路程是10cm，故答案为：10．【点评】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．13．若是整数，则正整数n的最小值为5．【分析】是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，n的最小值即可．解：∵20n＝22×5n．∴整数n的最小值为5．故答案是：5．【点评】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键．14．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为53．【分析】根据全等三角形的性质可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根据四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积，列出算式计算即可求解．解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，∴四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积＝×9×9+×5×5＝53．故答案为：53．【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由图形得到四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积．15．将一列数，2，，2，，…，10按如图的数表排列，按照该方法进行排列，3的位置可记为（2，4），2的位置可记为（3，2），那么这列数中的最大有理数按此排法的位置可记为（m，n），则m+n的值为23．【分析】根据题目中的数据，可知这列数为：，从而可以得到这列数中的最大有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得m+n的值．解：∵，200÷10＝20，∴10的位置记为（20，5），∴这列数中的最大有理数是，∴这列数中的最大有理数记为（20，3），∵这列数中的最大有理数的位置可记为（m，n），∴m＝20，n＝3，∴m+n＝23，故答案为：23．【点评】本题考查二次根式的应用、数字的变化类、算术平方根，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（3）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（4）直接利用乘法公式化简，再计算得出答案．解：（1）原式＝2×2+×3﹣×4＝4+﹣3＝2；（2）原式＝2（4﹣4×）﹣（3×﹣2×）＝8﹣2﹣+＝7﹣；（3）原式＝5×2﹣3＝10×2﹣3＝17；（4）原式＝3﹣2﹣（5+1﹣2）＝3﹣2﹣6+2＝﹣5+2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？【分析】首先由勾股定理求得AB＝10，然后由翻折的性质求得BE＝4，设DC＝x，则BD＝8﹣x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．设DC＝x，则BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．【点评】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．18．如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积．【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．解：∵AD⊥CD，∴在Rt△ADC中，CD＝3，AD＝4，由勾股定理得AC＝＝＝5，∵在△ABC中，AC2+BC2＝25+144＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴需要绿化部分的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝24，答：需要绿化部分的面积为24．【点评】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积计算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）．（1）在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；（2）在图2中，画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB＝、BC＝、AC＝，并计算AC边上的高为．（直接写出结果）【分析】（1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中，画一个正方形，使它的面积是10；（2）在图2中，根据网格即可画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB＝、BC＝、AC＝，进而可以计算出AC边上的高．解：如图，（1）在图1中的正方形即为所求，它的面积是10；（2）在图2中，三角形ABC即为所求，它的三边长分别为：AB＝、BC＝、AC＝，∵（）2+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，设AC边上的高为h，∴S△ABC＝AC×h＝AB•BC即h＝×2，解得h＝．答：AC边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、二次根式的应用、勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．20．观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．（2）写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可；（2）根据题中式子的验证过程找出规律即可．解：（1）猜想：，验证：；（2）（n为任意自然数，且n≥2），证明如下：＝（n为任意自然数，且n≥2）．【点评】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式．21．某校的九（1）班教室A位于工地B处的正东方向，且AB＝320米，一辆大型货车卸货后从B处出发，沿北偏东60°方向的公路上行驶，试问：（1）若大型货车的噪声污染半径为150米，教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？试说明理由；（2）若大型货车的噪声污染半径为200米，为了不干扰九年级同学的学习，计划在货车行驶的公路一侧安装隔音板，则至少需隔音板多少米？【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据三角形的内角和定理得到∠ABD＝90°﹣60°＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝AB＝160米＞150米，于是得到结论；（2）根据题意，在BC上取M，N两点，连接AM，AN，使AN＝AM＝200m，根据勾股定理得到DN＝＝＝120（米），于是得到结论．解：（1）教室A不在大型货车的噪声污染范围内，理由：过A作AD⊥BC于D，由题意得，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝320米，∴AD＝AB＝160米＞150米，∴教室A不在大型货车的噪声污染范围内；（2）根据题意，在BC上取M，N两点，连接AM，AN，使AN＝AM＝200m，∵AD⊥BC，∴D为MN的中点，即DN＝DM，∴DN＝＝＝120（米），∴MN＝2DN＝240（m）．答：至少需隔音板240米．【点评】本题考查了解直角三角形应用﹣方向角问题，正确的理解题意，把实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3＞2，1+＞2，5+5＝2．（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要40m．【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2；比较大小，可以作差，m+n﹣2，联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要