考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷75(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷75(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．一种零件的加工由相互独立的两道工序组成，第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为()A．1－p1－p2B．1－p1p2C．1－p1－p2+p1p2D．(1－p1)+(1－p2)正确答案：C解析：设A={成品零件}，Ai={第i道工序为成品}，i=1，2．依题意有P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，则P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2，故选C．知识模块：概率论与数理统计2．现有10张奖券，其中18张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为()A．6B．7．8C．9D．11．2正确答案：B解析：记奖金为X，则X全部可能取值为6，9，12，并且因此本题选B．知识模块：概率论与数理统计3．设x1，x2，…，xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为()A．B．C．D．正确答案：B解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为因此本题选B．知识模块：概率论与数理统计4．以下结论，错误的是()A．若0＜P(B)＜1，P(A｜B)+=1，则A，B相互独立B．若A，B满足P(B｜A)=1，则P(A－B)=0C．设A，B，C是三个事件，则(A－B)∪B=A∪BD．若当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则P(C)＜P(A)+P(B)－1正确答案：D解析：对于A，即P(B)－P(B)P(B)=P(AB)+P(B)－P(A)P(B)－P(B)P(B)，则P(AB)=P(A)P(B)，故A正确．对于B，P(B｜A)==1=>P(AB)=P(A)=>P(A)－P(AB)=0=>P(A－B)=0，故B正确．对于C，(A－B)∪B==A∪B，C正确．对于D，ABC=>P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=>P(A)+P(B)－1，D错误，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜P＜1)，则X+Y的分布函数()A．为连续函数B．恰有n+1个间断点C．恰有1个间断点D．有无穷多个间断点正确答案：A解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选A．知识模块：概率论与数理统计6．设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则=()A．B．C．D．正确答案：D解析：应用t分布的典型模式．由于U与V相互独立，由t分布的典型模式有知识模块：概率论与数理统计7．设总体X～N(μ，σ2)，来自X的一个样本为X1，X2，…，X2n记当μ已知时，基于T构造估计σ2的置信水平为1－α的置信区间为()A．B．C．D．正确答案：D解析：因相互独立，则知识模块：概率论与数理统计填空题8．设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度fX(z)在点x=e处的值为______．正确答案：解析：区域D如图3—1阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为知识模块：概率论与数理统计9．设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=max(X，Y)的分布律为______．正确答案：解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0)=P{Z=1}=1－P{Z=0}=故Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计10．设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=______．正确答案：解析：因记A={X＞2}，y={对X作三次独立重复观察A发生的次数}，则Y～B(3，p)，p=P{X＞2}=∫2+∞λe－λxdx=ee－2λ，由题意有知识模块：概率论与数理统计11．若X1，X2，X3两两不相关，且DXi=1(i=1，2，3)，则D(X1+X2+X3)=______．正确答案：3解析：因为X1，X1，X3两两不相关，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本值，则参数η的最大似然估计值为______．正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13．某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的．某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?正确答案：令Ai={第i次中奖}(i=1，2，…，520)，p=P{在一次购买彩票中中奖)．又事件A1，A1，…，A520相互独立，且p=10－5．所以P{连续购买十年从未中奖}=(1－p)520=(1－10－5)520≈0．9948．涉及知识点：概率论与数理统计设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，求：14．使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；正确答案：设y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，则Y～B(3，p)，其中所求概率为P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}涉及知识点：概率论与数理统计15．在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；正确答案：Y的分布律为k=0，1，2，3，即涉及知识点：概率论与数理统计16．Y的分布函数．正确答案：Y的分布函数为涉及知识点：概率论与数理统计17．设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为正确答案：(X，Y)的概率密度为如图3—3所示，则涉及知识点：概率论与数理统计18．用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．9．正确答案：设需掷n次，正面出现的次数为Yn，则依题意应有所以n≥250．涉及知识点：概率论与数理统计19．设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ2，，试确定常数C，使－CS2为μ2的无偏估计．正确答案：由涉及知识点：概率论与数理统计20．设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X－Y的概率密度fZ(z)．正确答案：由于X，y不是相互独立的，所以记V=－Y时，(X，V)的概率密度不易计算．此时应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)．记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X－Y≤z)=其中Dz={(x，y)｜x－y≤z}(直线x－y=z的上方部分)，由Dz与D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x)(如图3—10中带阴影的△OSC)的相对位置可得：当z＜0时，Dx与D不相交，所以当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x－zx3xdy=∫0zx2dx+∫z13xzdx当z≥1时，Dz∩D=△OSC，由此得到涉及知识点：概率论与数理统计21．设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计△ABC边AB上的高CD长度为h．向△ABC中随机投掷一点P，求22．点P到边AB的距离X的概率密度；正确答案：设X的分布函数为F(x)，则当x＜0时，有F(x)=0；当x≥h时，有F(x)=1；当0≤x＜h时，为了求概率．P{X≤x)，作EF∥AB，使EF与AB间的距离为x(如图3—15)，利用几何方法，可得综上可得由此得X的概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计23．X的期望与方差．正确答案：由上一小题知X与X2的数学期望分别为从而得X的方差涉及知识点：概率论与数理统计24．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X－2Y)．正确答案：(1)因D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2，其中(2)Cov(3X+y，X一2y)一3DlX一5Cov(X，Y)一2Dy(2)Cov(3X+Y，X－2Y)=3DX－5Cov(X，Y)－2DY=3DX－5E(XY)+5EXEY－2DY又(X，Y)关于X的边缘概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计25．设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X1，…，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．正确答案：由所以N和p的矩估计为涉及知识点：概率论与数理统计26．经测定某批矿砂的5个样品中镍含量为X(％)：3．25，3．27，3．24，3．26，3．24，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3．25(α=0．01)?正确答案：问题是在σ2未知的条件下检验假设H0：μ=3．25．H0的拒绝域为｜t｜＞tα／2(4)．由因为｜t｜=0．344＜4．6041=t0．005(4)，所以接受H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．25．涉及知识点：概率论与数理统计27．假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．正确答案：设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而a=Rb，不合格品率为设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0－1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为lnL(R)=vlnR－nln(1+R)．令由条件知vn=X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．涉及知识点：概率论与数理统计28．设随机变量X，Y相互独立，且P{X=0)=P{X=1)=，P{Y≤x)=x，0＜x≤1．求Z=XY的分布函数．正确答案：由FZ(z)=P{Z≤z}，得：当z＜0时，FZ(z)=0；当z≥1时，FZ(z)=1；当0≤z＜1时，FZ(z)=P{Z≤z}=P{X=0}P{Z≤z｜X=0}+P{X=1}P{Z≤z}X=1}涉及知识点：概率论与数理统计设随机变量X的概率密度为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量y的概率密度为f(－y)，且X与Y的相关系数为记Z=X+Y．29．求EZ，DZ；正确答案：EZ=E(X+Y)=EX+EY=∫－∞+∞xf(x)dx+∫－∞+∞yf(－y)dy∫－∞+∞xf(x)dx+∫－∞+∞(－u)f(u)(－du)=∫－∞+∞xf(x)dx－∫－∞+∞uf(u)du=0，DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+又DY=E(Y2)－(EY)2，其中EY=－EX，E(Y2)=∫－∞+∞y2(－y)dy=∫－∞+∞(－u)2F(u)(－du)=∫－∞+∞u2f(u)du=E(x2)，所以DY=E(X2)－(－EX)2=E(X2)－(EX)2=DX=1，故涉及知识点：概率论与数理统计30．用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．正确答案：由切比雪夫不等式得P{｜Z｜≥2}=P{｜Z－