第14讲巧解百分数问题

第14讲巧解百分数问题（二）百分数有着十分广泛的用途，本节我们将列出不同类型的百数分数。“整数化”常常能产生简单明了的解法，而且是一种很好的思维训练。例1、有一堆糖果，其中奶糖占45﹪，再放入16颗水果糖后，奶糖就只占25﹪。那么，这堆糖果中有奶糖多少颗？分析与解我们先画一张示意图：奶糖与其他糖之比是45﹪：（1-45﹪）=9:11设奶糖有9份，其他糖有11份。现在奶糖与其他糖之比是25﹪：（1-25﹪）=1:3=9:27也就是11+16=27（份），1份就是1颗，奶糖占9份，就9颗。答：这堆糖中有奶糖9颗。小结本题还可以用“抓不变量”来解决。做一做：有一堆糖果，其中奶糖占45﹪，再放入32颗水果糖后，奶糖就只占25﹪。那么，这堆糖中有奶糖多少颗？例2、把一个正方形的一边减少20﹪，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少？分析与解：设正方形边长为1个单位长度，正方形就是1个单位面积。长方形与正方形面积相等，也是1个单位面积。长方形的宽是1-20﹪=80﹪单位长度，长方形的面积是1=80﹪×长，长方形的长是1÷80﹪=1单位长度。长方形的长比正方形的边长多了1-1=单位长度，或者说，正方形的一边增加了=25﹪。正方形的边长是2÷=8（米），正方形的面积是8×8=64（米2）答：正方形的面积是64（米2）做一做：一个长方形的周长是66厘米，如果它的长增加25﹪，宽减少，周长仍和原来一样多，那么，原长方形的面积是多少？例3、某次会议，昨天参加会议的男代表比女代表多700人；今天男代表减少了10﹪，女代表增加5﹪，今天共有1995人出席会议。那么，昨天参加会议的有多少人？解法1、设昨天参加会议的女代表有x人，则昨天参加会议的男代表有（x+700）人，根据题意有x×105﹪+(x+700)×90﹪=1995x=700所以，昨天参加会议的共有700×2+700=2100（人）。解法21995-700×（1-10﹪）是昨天代表人数的（1+15﹪）+（1-10﹪），因此昨天参加会议的有［1995-700×（1-10﹪）］÷［（1-10﹪）+（1+5﹪）］×2+700=700×2+700=2100（人）答：昨天参加会议的有2100人。做一做：某学校上一年度男生与女生的人数之比是3:1.问：若本年度男生减少12﹪，女生增加20﹪，则本年度全体学生中男生占几分之几？例4、已知甲校学生人数是乙校学生人数的40﹪，甲校女生人数是甲校学生人数的30﹪，乙校男生人数是乙校学生人数的42﹪。那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比等于多少？分析与解1甲校学生人数占乙校的40﹪，设甲校学生2份，乙校为5份。甲校女生为2×30﹪=0.6；乙校女生为（1-42﹪）×5=2.9；总女生数占总数的百分比为（0.6+2.9）÷（2+5）=50﹪。分析与解2我们把乙校学生数看做“1”，两校女生总数占学生总数的百分比为［40﹪×30﹪+（1-42﹪）］÷（1+40﹪）=50﹪答：两校女生总数占两校学生总数的50﹪.做一做：某学校男生人数占学生总数的45﹪，会游泳的学生占学生总数的54﹪。已知男生中会游泳的占72﹪，问：在全校学生中不会游泳的女生占百分之几？例5、有两堆棋子，A堆有黑子350颗和白子500颗，B堆有黑子400颗和白子100颗。问：为了使A堆中黑子占50﹪，B堆中黑子占75﹪，要从B堆中拿多少颗黑子和多少颗白子到A堆？解法1：先使A堆中黑子占50﹪，为此，从B堆中取黑子（500-350）=150（颗）给A堆；这时B堆还剩黑子（400-150）=250（颗），白子是100颗。其次，考虑到在A堆中黑子占50﹪的条件下，使B堆中黑子占75﹪，为此，只要从B堆中取出同样多的黑、白棋子给A堆即可。设各取出a颗，这样B堆中黑、白两种棋子之差为（250-a）-(100-a)=250-100=150(颗)，由（250-a）=(100-a)×3，得a=25.即再从B堆中拿出黑、白棋子各25颗放入A堆，可使A堆、B堆的黑子分别占50﹪和75﹪。解法2：要使B堆黑子刚好占75﹪，当做浓度问题来解决。根据题意，B堆黑子占75﹪（），A堆原黑子占=，现在A堆黑子占50﹪（），列出如下配比图：（所需数量与浓度比成反比）B堆应剩下：850÷17×6=300（颗）则从B堆拿到A堆的黑子为400-300×=175（颗）从B堆拿到A堆的白子为100-300×=25（颗）做一做：有甲、乙两个盒子，甲盒中放着2700颗围棋子，其中30﹪是黑子；乙盒中放着1200颗围棋子，其中90﹪是黑子。现在从乙盒中取若干颗棋子放到盒子中，结果甲盒中黑子占40﹪，乙盒中黑子仍占90﹪。问：从乙盒中拿了多少颗棋子到甲盒？例6、某校四年级原来有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班人数的与原二班人数的组成新一班；将原一班人数的与原二班人数的组成新二班；余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新一班的人数多10﹪，那么，原一班有多少人？分析与解抽出原一班的+，也抽出原二班的+，即共抽出整体“1”的+原来原班总人数是30÷（1--）=72（人）新一班与新二班人数总和是72-30=42（人）现在再把新二班人数算做1份，则新一班人数是42×?=22(人)新二班人数是42-22=20（人）原一班人数减去原二班人数是（22-20）÷（-）=2×12=24（人）原一班人数是（72+24）÷2=48（人）答：原一班有48人。做一做：有一块菜地和一块麦蒂，菜地的一半和麦地的共有13公顷，麦地的一半和菜地的共有12公顷，那么，菜地有多少公顷？例7、有两包糖，每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克力糖。①第一包糖的粒数是第二包糖的②第一包糖中，奶糖占25﹪，第二包糖中，水果糖占50﹪。③巧克力糖在第一包糖中占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28﹪。问：水果糖所占百分比是多少？第一包第二包总数（粒）4060奶糖10水果糖1430巧克力糖16分析与解①设第一包有40粒糖，第二包有60粒糖，根据题意列表：①第一包奶糖占25﹪，有40×25﹪=10（粒），第2包中水果糖占50﹪，有60×50﹪=30（粒）②设巧克力糖在第二包糖中占x﹪，则在第一包中占2x﹪，有40﹪×2x+60×x﹪=28﹪×100,解得x=20。③第一包中巧克力糖占40﹪，有40×40﹪=16（粒）④第一包中有水果糖40-10-16=14（粒），两包糖合在一起，水果糖占（14+30）÷100﹪=44﹪。做一做：某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6。③甲、乙两校获二等奖人数的总和占两校获奖人数总和的20﹪.④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50﹪。⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍.那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数是多少？巧练习——温故知新（十四）1、小明训练3000米赛跑，如果速度提高5﹪，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数）2、小芳采了10千克蘑菇，它们的含水量为99﹪。经晾晒后，含水量下降到98﹪。问：晾晒后蘑菇质量是多少千克？3、有盐水若干升，加入一定量水后，盐水质量分数降到3﹪；又加入同样多的水后，盐水质量分数降到2﹪；再加入同样多的水，此时盐水质量分数是多少呢？又问：未加水时盐水质量分数是多少？4、把正方形的一边减少20﹪，另一边增加2米，得到一个长方形。它与原来的正方形面积相等。问：正方形的面积是多少？5、有两包糖果，第一包的粒数与第二包的粒数之比是2:5.在第一包中奶糖占30﹪，在第二包中其他糖占42﹪，如果把两包糖合在一起，那么奶糖所占的百分数是多少？6、李强训练10000米赛跑，如果速度提高10﹪，那么所需时间缩短百分之几？（百分数保留小数后一位，四舍五入）7、某学校上一年度男生与女生的人数之比是3:1，本年度男生减少12﹪，女生增加20﹪，问：本年度全体学生中，男生占百分之几？8、一个长方形周长是88厘米，如果它的宽增加25﹪，长减少，周长仍和原来一样，那么原长方形的面积是多少？9、某次数学考试，得90分的有8人，在参加考试的人中，占12.5﹪。这8人的得分之和占全体总分的15﹪。求这次考试的平均成绩。10、某中学上年度高中男、女生共有290人。这一年度男生增加4﹪，女生增加5﹪，共增加13人。问：本年度该校有男、女生各有多少人？11、李明家用分期付款方式购买一套住房，价格为115000元，购买当天首付5000元，以后每年的这一天都交付10000元，并加付欠款利息，年利率为1﹪。若交付5000元后的第一年开始算分期付款第一年，问：分期付款的10年应付多少钱？全部贷款付清后买这套房子实际花了多少钱？12、甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40﹪，二队的工作效率要下降10﹪。结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有＿＿＿天。13、某城市青菜价格在六、七月两个月中起伏较大，每日的平均菜价与前一日不是上涨10﹪，就是下降10﹪。如果7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有＿＿＿天的平均菜价高于前一日的平均菜价。14甲、乙两箱都只有黑、白两种珠子，且两箱黑珠子数量相同。现从两箱中各取23个白珠子后，甲箱白珠子占甲箱总数