传热与流体流动的数值计算(13章)课件

传热与流体流动的数值计算[美]S.V.帕坦卡著本课程学习内容物理现象的数学描述离散化方法扩散项处理对流与扩散流场的计算湍流数学模型Fluent基础知识介绍参考书目传热与流体流动的数值计算——[美]S.V.帕坦卡湍流——是勋刚湍流计算模型——陈义良数值传热学——陶文铨实验研究全比例实验模型实验结果外推测量仪表精度理论计算理论预测出自于数学模型的结果数学模型主要由一组微分方程组成解析解和数值解1-2预测的方法1-2预测的方法理论计算的优点成本低、速度快、资料完备、具有模拟真实条件的能力、具有模拟理想条件的能力理论计算的缺点 实际问题分为

A类：能够用合适的数学模型描述

B类：与A类相反的问题－湍流、多相流、NOX生成、非牛顿流体流动预测方法的选择2-1控制微分方程微分方程的意义

各个微分方程都代表着一定的守恒原理。每一个方程以一定的物理量做为它的因变量，方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因素之间必定存在着的某种平衡。通常以单位质量为基础来表示各因变量。例如：质量分量、速度（单位质量的动量）、比焓等。第二章物理现象的数学描述以单位容积为基础来表达一项——变化速率代表在单位容积内所包含的相应广延性质的大小表示单位容积内有关性质的变化率—化学组分的守恒令ml代表一种化学组分l的质量分量。当存在速度场u是，守恒表示为：单位容积内化学组分l的质量变化率组分l的对流流量密度扩散流量密度单位容积化学组分l的生成率如果用菲克扩散定律表示Jl，扩散系数得到：—能量方程对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流：

其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率对理想气体以及固体和液体，将cgradT=gradh代入，得到

其中c是定压比热。假设c为常数，即h=cT。若u=0，则得到稳态热传导方程：—紊流的时间平均方程人们假设：紊流中存在有相对平均值的快速而随机的脉动。由Reynold时均运算所产生的附加项是：雷诺应力，紊流热流密度，紊流扩散流量密度等。许多紊流模型采用紊流粘度或紊流扩散系数的概念来表示紊流应力以及流量密度。结果，紊流的时间平均方程就具有了与层流流动方程完全相同的形式。诸如粘度、扩散系数以及导热系数这样一些层流交换系数需要用相应的有效（即层流加紊流）交换系数取代。相当于具有一个相当复杂的粘度表达式的层流流动方程。—紊流的动能方程紊流“双方程模型”：把紊流脉动动能k的方程作为其中的方程之一。K的扩散系数紊流能量的生成率动能的耗散率—通用微分方程

其中因变量可以代表各种不同的物理量质量守恒或连续性方程：扩散系数源项扩散项对流项不稳态项直角坐标的张量表达形式：自变量一般来说，因变量φ是三个空间坐标与时间的函数φ=φ（x，y，z，t）其中x，y，z以及t都是自变量。当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。另一种写法：z=z（x，y，T）

z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温面高度。2-2坐标的性质恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都是可以采用的。例子：1.在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机上的移动坐标系而言，流动是稳态的。2.在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。3.坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。4.改变因变量可能导致自变量数目的减少。坐标的合适选择如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，要受该位置两侧条件变化的影响的话，那么这个坐标就是一个双向的坐标。如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件只受该位置一侧条件变化的影响，这样的坐标就是一个单向的坐标。空间坐标是双向坐标，但如果在一个坐标方向上有很强的单向流动，也可以近似作为单向坐标。对流——单向，扩散——双向时间坐标是单向坐标。抛物型表示一种单向的状态；椭圆型表示双向的概念。非稳态导热问题实际上是时间坐标上的抛物型和空间坐标上的椭圆型问题；稳态导热对所有的坐标都是椭圆型的。讨论单向双向坐标的动机：如果可以用一个单向的坐标来规定一个给定的状态，就有可能大大节省计算机的存储量和时间。单向与双向的坐标离散化的概念把注意力集中在网格结点处的值，用离散的值取代包含在微分方程精确解中的连续信息。网格结点上未知φ值的代数方程（离散化方程）是由支配φ的微分方程推导而得。推导过程中，必须对网格结点之间φ如何变化做某种假设。采用分段分布：一定的段仅仅用一个小区域的内部及边界上的网格结点上的φ值来描述该区间内φ的变化。一般将计算域分成一定数量的子域或单元。每个子域可以有一个独立的分布假设。这种对空间和因变量所作的系统的离散化使得我们有可能用比较容易求解的简单的代数方程取代控制微分方程。离散化方程的结构一个离散化方程是连接一组网格结点处φ值的代数关系式。由支配φ的微分方程推导而得，表示与该微分方程相同的物理信息。一定的离散化方程只与少数的几个网格结点有关。在一个网格结点处的φ值只影响与其紧相邻的一些点上φ的分布。结点数目变化很大时离散化方程的解趋近于相应微分方程的精确解。当网格结点紧挨在一起时，在相邻点之间的φ变化就变得很小，有关分布假设的实际细节就不重要了。对于一个已知的微分方程，可能的离散化方程不是唯一的。不同形式起因于分布假设以及推导方法的不同。有限差分法和有限元法之间的区别来自选择分布和推导离散化方程的方法不同。泰勒级数公式如图中网格结点。结点2为结点1，3的中点，在2周围展开泰勒级数：3-2推导离散化方程的方法恰好在第三项之后截断级数，两方程相加相减得到：代入微分方程就推出有限差分方程。假设：φ的变化多少有点像x的一个多项式，从而高阶导数项不那么重要。-加权余数法令微分方程由L(φ)=0表示。假设一个包含有若干不确定参数的近似解，如：其中a都是参数。上式代入微分方程留下一个余数：假设：W是加权函数，选择不同种类的加权函数就可以得到不同类型的方法。最简单的加权函数取W=1。即，对每一个控制容积，余数的积分必须为0控制容积公式控制容积公式可以看成是加权余数法的一种特殊形式。把计算域分成许多互不重叠的控制容积，并使每一个网格结点都由一个控制容积所包围。对每一个控制容积积分微分方程。应用表示网格结点之间φ变化的分段分布关系来计算所要求的积分。——得到了一个包含有一组网格结点处的φ值的离散化方程。按照这个原则所得到的离散化方程表示关于有限控制容积的φ的守恒原理，这就象微分方程表示关于无穷小控制容积内的φ的守恒原理一样。两种分布假设：阶梯形分布——斜率在控制容积面上是不确定的；线性分布——网格结点之间采用线性的内插函数。分布曲线的假设TxPWEweTpTwTE用分段线性分布计算方程（3.11）中的dT/dx，所得方程：离散化方程缩写为：比较方便的可把方程（3.13）看作：没有必要对所有的量都采用同样的分布函数。上述有关选择分布函数的自由度，最终导致不同变型的离散化方程形式。当网格结点的数目增加时，所有这些不同形式的方程都会给出相同的解。附加要求（可大大减少可以接受的公式的数目）：即便是采用很粗的网格，解也总应该满足：物理上真实的性状一个真实的变化应当具有与准确变化相同的定性倾向，如图。总的平衡对整个计算域应当满足积分守恒。热流密度、质量流量以及动量通量必须准确地同相应的源、汇建立平衡，这种平衡对于任何数目的网格结点都应得到满足。物理上的真实性和总的平衡两个约束条件将用来指导选择分布假设以及所采用的有关措施。指导原则一般来说，源项是因变量T本身的函数由于离散化方程需要用线性代数的技术来求解，只能考虑一种线性的函数关系。源项的处理SC是常数部分，Sp是Tp的系数。假设：Tp值代表整个控制容积内的值，即采用了阶梯式分布。新的方程组：3-4四项基本法则法则1：在控制容积面上的连续性当一个面作为两个相邻控制容积的公共面时，在这两个控制容积的离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。如：用二次曲线计算截面上的热流密度如：热流密度有控制容积中心结点的导热系数kp所控制为了避免出现不连续性，必须把通过界面上的热流密度看成是属于界面本身，而不是属于一定的控制容积。法则2：正系数某个网格结点处的因变量值只是通过对流以及扩散的过程才受到相邻网格结点值的影响。故在其它条件不变的情况下，在一个网格结点处该因变量值的增加应当导致相邻网格结点上该值的增加。所有的系数（ap以及各相邻结点系数anb）必须总是正的。经常遇到公式违反这一法则，我们只接受那些确保在所有情况下系数为正的公