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文档简介

2.2变分法模型2.2.1最速降线问题分析与建模

评注

历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似乎不相干的光学问题开始的，借助于史奈尔折射定律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微积分等知识）得到了前面的（2.2.2）式。我们也称（2.2.2）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。比较两个模型的的建模过程，我们可以看到，伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用分析方法。2.2.2机器设备的保养和更新优化模型

问题与背景在各类企业中，每天都有大量的机器设备不停地运转。为保证其正常工作，需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中就更是如此，各种设备运行的连续监测，小到阀门的更换，大到停产检修，不仅直接关系到企业的经济效益，同时也关系到国家财产和人民生命的安全问题，这显然是一个既十分重大又非常复杂的系统工程问题。这里仅考虑如下的简单情形：当机器设备经过长期使用，失去保养价值时，及时更换新的机器设备，而换下来的旧设备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖时间（或称寿命期，设在寿命期内，机器设备一直投入运转），从而使机器设备的经济效益最高。假设与建模

模型求解

数值例子

2.2.3生产与贮存的控制

问题与背景一个集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上。如果销售量可以准确地预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。假设与建模

模型求解

2.2.4变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍，需要深入了解的读者可阅读有关专著。变分法的基本概念泛函极值的必要条件—欧拉方程

条件极值哈密尔顿（）函数

习题

参考文献叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社，1997姜启源.数学模型.北京：高等教育出版社，1993任善强.数学模型.重庆：重庆大学出版社，1998（美）G.F.赛蒙斯.微分方程.北京：人民教育出版社，1981E.A.本德.数学模型引论.北京：科学普及出版社，1982

湛安琦.科技工程中的数学模型.北京：中国铁道出版社，1988李心灿.高等数学应用205例.北京：高等教育出版社，1997陈义华.数学模型.重庆：重庆大学出版社，1995林珍.变分法与最优控制.

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