2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

一.选择题（共8小题）

1.（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

4.（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后

得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

5.(2019•河南)如图，在4。43中，顶点O(0,0),A(-3,4),fi(3,4),将△048

与正方形ABC。组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋转结束时,

点。的坐标为（)

(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

6.（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（）

①②

A.图①的主视图和图②的主视图相同

B.图①的主视图与图②的左视图相同

C.图①的左视图与图②的左视图相同

D.图①的俯视图与图②的俯视图相同

7.（2021•河南）如图，nOABC的顶点O（0,0）,A（1,2）,点C在x轴的正半轴上，延

长84交y轴于点£>.将△OD4绕点。顺时针旋转得到△0。'A',当点。的对应点

落在04上时，D'A'的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.（2«,0）B.（2旄，0）C.（2百H,0）D.（2泥+1,0）

8.（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,C

三点，则BC：AC等于（）

填空题（共6小题）

9.（2017•河南）如图，在等边三角形A8C中，点M为边的中点，点N

为边AB上的任意一点（不与点A,8重合），若点8关于直线MN的对称点片恰好落在

等边三角形ABC的边上，则BN的长为cm.

10.（2017•河南）如图，在△ABC中，A8=8,AC=12,。为A8的中点，点E为CD上一

点，若四边形AGM为正方形（其中点尸,G分别在AC,AB上），则△BEC的面积为.

11.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtaABC中，ZACB=90°,ZB

=30°,AC=1.第一步，在A8边上找一点。，将纸片沿C。折叠，点A落在次处，如

图2；第二步，将纸片沿C4折叠，点。落在。’处，如图3.当点。'恰好落在原直角

三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为.

12.（2019•河南）如图，在矩形中，AB=1,BC=a，点E在边BC上，S.BE=^-ci.连

接AE,将AABE沿AE折叠，若点8的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值

为_______.

13.（2018•河南）如图，在矩形A8CD中，点E为AB的中点，点F为射线AO上一动点，

△A'所与关于EF所在直线对称，连接AC,分别交E4'、EF于点、M、N,AB

=2«,AD=2.若△EMN与△4£：/相似，则A尸的长为.

DI----------------

14.（2017•河南）如图，在RtZ\A8C中，ZA=90°,AB=AC,BC=J^1,点、M,N分

别是边BC,A3上的动点，沿MN所在的直线折叠使点B的对应点3'始终落在边

AC上，若△MB'C为直角三角形，则的长为.

三.解答题（共6小题）

15.（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选

取的测量点A与佛像8。的底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测

得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像8。的高度（结果精

确到O.bn.参考数据:sin37.5°-0.61,cos37.5°比0.79,tan37.5°-0.77）.

16.（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

图所示，炎帝塑像。E在高55机的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°,

再沿AC方向前进21机到达8处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求炎帝塑像。E的高

度.

（精确到1%参考数据：sin34°弋0.56,cos340=^0.83,tan34°-0.67,遍七1.73）

17.（2018•河南）2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的001A型航空母舰从大连

造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长80约306办航母前端点E到

水平甲板BD的距离DE为6m,舰岛顶端A到BD的距离是AC,经测量,NBAC=71.6°,

NE4c=80.6°,请计算舰岛AC的高度.（结果精确到1〃3参考数据：sin71.6°-0.95,

cos71.6°^0.32,tan71.6°-3.01,sin80.6°-0.99,cos80.6°«=0.16,tan80.6°-6.04)

A

-十「福------------

A

18.(2020•河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世

界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在

地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,

然后沿MP方向前进16〃?到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6〃?.

(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1，〃.参考数据：sin22°七0.37,

cos22°弋0.93,tan22°-0.40,亚如1.41)；

(2)“景点简介”显示，观星台的高度为126”.请计算本次测量结果的误差，并提出一

条减小误差的合理化建议.

19.(2019•河南)在△A8C中，CA=C8,NAC8=a.点P是平面内不与点A,C重合的任

意一点.连接AP,将线段AP绕点尸逆时针旋转a得到线段。P,连接AO,BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60°时，毁的值是，直线与直线CP相交所成的较小角的度

CP

数是.

(2)类比探究

如图2,当a=90。时，请写出世的值及直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数,

CP

并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当a=90°时，若点E,F分别是CA,CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C,

P,。在同一直线上时也的值.

CP

图1图2备用图

20.（2017•河南）如图1,在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC,点。，E分别在边A8,

AC上，AD=AE,连接。C,点M,P,N分别为QE,DC,BC的中点.

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;

（2）探究证明：把△ACE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MMBD,CE,

判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△4OE绕点A在平面内自由旋转，若A£>=4,AB=10,请直接写出

△PMN面积的最大值.

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个

正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.

【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层

主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.

故选:A.

【点评】本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象

能力.

2.（2020•河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）

A.SB.AC.@D.S

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】投影与视图；几何直观.

【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断.

【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；

8、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；

C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；

。、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键.

【考点】由三视图判断几何体.

【分析】左视图是从左边看到的，据此求解.

【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2,1,

D不符合，

故选：D.

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度

不大.

4.（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后

得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

/正面

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

【考点】简单组合体的三视图；平移的性质.

【专题】投影与视图.

【分析】根据三视图解答即可.

【解答】解：图①的三视图为：主视图左视图俯视图

BIDrB吁

图②的三视图为：主视图左视图俯视图

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视

图的空间想象能力.

5.(2019•河南)如图，在△0A8中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△。48

与正方形ABCD组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋转结束时，

点。的坐标为()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【考点】坐标与图形变化-旋转：规律型：点的坐标.

【专题】平移、旋转与对称.

【分析】先求出AB=6,再利用正方形的性质确定£)(-3,10),由于70=4X17+2,

所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点。顺时针旋转

2次，每次旋转90°,此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的点

的坐标特征可得到旋转后的点。的坐标.

【解答】解：(-3,4),B(3,4),

.•・A8=3+3=6,

•.•四边形ABC。为正方形,

：.AD=AB=6,

：.D(-3,10),

V70=4X17+2,

...每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕

点。顺时针旋转2次，每次旋转90°,

二点。的坐标为（3,-10）.

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图

形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

6.（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（）

①②

A.图①的主视图和图②的主视图相同

B.图①的主视图与图②的左视图相同

C.图①的左视图与图②的左视图相同

D.图①的俯视图与图②的俯视图相同

【考点】简单组合体的三视图；平移的性质.

【专题】投影与视图.

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形,

得出图①、图②的三视图即可.

【解答】解：找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形，

可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同.

故选：B.

【点评】本题主要是从比较图①、图②来考查物体的三视图，难度一般.

7.（2021•河南）如图，O04BC的顶点0（0,0）,A（1,2）,点C在x轴的正半轴上，延

长BA交y轴于点D将△OD4绕点。顺时针旋转得到△0。'A',当点。的对应点。'

落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.（2仃0）B.（2泥，0）C.（2百H,0）D.（2泥+1,0）

【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形：运算能力.

【分析】延长A'D'交y轴于点E,延长。A',由题意O'A'的延长线经过点C,

利用点A的坐标可求得线段A。，OD,OA的长，由题意：△OA'D'丝△OAO,可得

对应部分相等；利用O。'J_A'E,OA平分NA'OE,可得△4'OE为等腰三角形，可

得OE=OA'=近，ED'=A'D'=1；利用△OE。'^AC£O,得到比例式可求线段

OC,则点C坐标可得.

【解答】解：延长A'D'交y轴于点E,延长。'A',由题意。'A'的延长线经过点

：.AD=\,OD=2,

O/1=VAD2-H3D2=712+22=V5-

由题意：XOND,四△04。，

D'=AD=1,OA'=OA=疾,OD'=OD=2,ZA1D'O=ZADO=90°,

ZA'OD'=4D0D'.

则OD'_LA'E,OA平分NA'OE,

...△4'0E为等腰三角形.

：.OE=OA'=泥，ED1=A'O'=1.

'：EO±OC,OD'_LEC,

J.^OED's/\CEO.

•ED，二EO

'"0Dy"OC'

.1后

：.OC=2娓.

：.C（2娓,0）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形

相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点

的坐标是解题的关键.

8.（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,C

A.2：3B.2：5C.3：4D.3：5

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABQs/viCE,

【解答】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为。，E,

：.BC：AC=3：4,

故选：c.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造△ABQS/XACE是解题关键.

二.填空题（共6小题）

9.（2017•河南）如图，在等边三角形ABC中，AB=20pn,点M为边BC的中点，点N

为边AB上的任意一点（不与点A,8重合），若点B关于直线的对称点8恰好落在

等边三角形ABC的边上，则BN的长为—返或，打a”.

【考点】轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称.

【分析】如图1，当点8关于直线MN的对称点后恰好落在等边三角形ABC的边AB上

时，于是得到MN±AB,BN=BN',根据等边三角形的性质得到=AC=8C,NA8C=

60°,根据线段中点的定义得到BN=2BM=返，如图2,当点8关于直线MN的对称

22

点8'恰好落在等边三角形A8C的边A,C上时，则,四边形BMB'N是菱形，

根据线段中点的定义即可得到结论.

【解答】解：如图1,当点8关于直线MN的对称点夕恰好落在等边三角形ABC的边AB

上时，

则MNA.AB,BN=BN',

/\ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=60°,

；点M为边8c的中点，

8c=工8=«,

22

:.BN=LBM=®,

22

如图2,当点3关于直线的对称点⑶恰好落在等边三角形4BC的边A,C上时，

则,四边形BMB'N是菱形，

•.,/ABC=60°,点M为边8c的中点，

.•.BN=BM=2BC=X1B=«,

22

故答案为：返或立.

2

【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论

是解题的关键.

10.（2017•河南）如图，在△ABC中，A8=8,AC=12,。为A8的中点，点E为CD上一

点，若四边形AGEF为正方形（其中点EG分别在ACA8上），则△BEC的面积为J

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似.

【分析】由题意可得：EF//AG,AF=EF=EG=AG,40=08=4,即可证△CEFs4

CDA,可得里0,即迎J2-AF,可求AF=3,即可求△回（7的面积.

ADAC412

【解答】解：•.•四边形AGEF是正方形

J.EF//AG,AF=EF=EG=AG

•.•点。是AB中点

：.DB=AD=1AB=4

2

,JEF//AG

:.△CEFs/\CDA

EFCF

ADAC

A4F.12-AF

12

AF=3

■:S/、BCE=SMBC-S1ACD-SABDE

ASABC£=—X8X12-Ax12X4-工><4X3=18

222

故答案为：18

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练运用这些性质解决

问题是本题的关键.

[1.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC中，NACB=90°,ZB

=30°,AC=1.第一步，在AB边上找一点£>,将纸片沿8折叠，点4落在W处，如

图2；第二步，将纸片沿C4折叠，点。落在。'处，如图3.当点。'恰好落在原直角

三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为工或2-、值.

【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形.

【专题】操作型；等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】分两种情形解答：①点。’恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，由题意：△

ADC^^A'DC^/\A'D'C,则N。'A'C=/DA'C=NA=60°,A'C=AC=1；

A'c垂直平分线段m；利用5强（;承，改=和磔，可求得5则4'E=A'

C-CE,解直角三角形A'D'E可求线段A'D'；②点。’恰好落在直角三角形纸片

的8c边上时，由题意：△AOC丝DC9XND'C,则/。'A'C=ADA'C=

ZA=60°,A'C=AC=\,ZACD=ZA'CD=ZA'CD'=』NACB=30°:在Rt

3

△A'D'C中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得结论.

【解答】解：①点。'恰好落在直角三角形纸片的A8边上时，设A'C交AB边于点E,

如图，

B

由题意：△ADC2XNDC^/\A'D'C,A'C垂直平分线段。O'.

则NQ'A'C=ZDA'C=ZA=60°,A1C=AC=1.

VZACB=90°,ZB=30°,AC=\,

.•.BC=AUtanA=lXtan60。=西

AB=2AC=2,

..11

•S^ABC而AOBC或AB'CE'

/.CE=®.

2_

.\A,E=A'C-CE=1-返.

2

在RtZ\A'E中，

VcosZ£>,A'E=~~~—,

A'D'

•.•—A'E1”，

A'D'2

；.A，D'=2A'E=2-5/3.

②点。'恰好落在直角三角形纸片的8c边上时，如图,

由题意：^ADC^/\A'DC^/\A'D'C,ZACD=ZA'CD=ZA'CD'=^ZACB

3

=30°；

则/O'4'C=NDA'C=NA=60°,A'C=AC=1.

'：ZD'A'C=60°,ZA'CD'=30°,

.../A'D'C=90°,

".A'D'=—izC=—x1=^-

222

综上，线段A'D'的长为：工或2-b.

2

故答案为：工或2-

2

【点评】本题主要考查了翻折问题，含30°角的直角三角形，直角三角形的边角关系，

特殊角的三角函数值，全等三角形的性质.翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解

题的关键，当点。’恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论.

12.（2019•河南）如图，在矩形ABCO中，AB=1,8C=a,点E在边8C上，且8£?=旦”.连

5

接AE,将4486沿AE折叠，若点8的对应点8'落在矩形4BCC的边上，则〃的值为

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称.

【分析】分两种情况：①点8'落在AO边上，根据矩形与折叠的性质易得A8=8E,即

可求出”的值；②点B'落在CZ）边上，证明△AOB'^/\B'CE,根据相似三角形对应

边成比例即可求出a的值.

【解答】解：分两种情况：

①当点8'落在AO边上时，如图1.

•••四边形A88是矩形，

；.NBAD=NB=90°,

•.•将AABE沿AE折叠，点B的对应点B'落在AO边上，

；.NBAE=/B'AE=AZBAD=45°,

2

.\AB=BE,

5

；

3

②当点"落在CO边上时，如图2.

•.•四边形ABC。是矩形，

:./BAD=NB=NC=ND=90°,AD=BC=a.

•.•将△ABE沿AE折叠，点B的对应点8'落在CD边上，

：.ZB=ZAB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=&,

5

"夕=加A2-AD2=VT7,EC=BC-BE=a-la=Za.

在△AOB'与CE中，

AD=NEB'C=90°-NABT,

IZD=ZC=90°

:.AADB's丛B'CE,

•DB'=AB'即1

"~cTFT、2a3a'

5a5a

解得.2=-YG（舍去）.

33

综上，所求”的值为反或逅.

_33

故答案为5或返.

33

图2

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理，

相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.

13.（2018•河南）如图，在矩形ABC。中，点E为AB的中点，点尸为射线A。上一动点，

△A'EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC,分别交EA'、EF于点M、N,AB

=2«,AO=2.若△EMN与△AEF相似，则4尸的长为1或3

【考点】相似三角形的性质；矩形的性质；轴对称的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】分两种情形①当EM_LAC时，丛EMNs丛EAF.②当ENJ_AC时，XENMs

EAF,分别求解.

【解答】解：①当EM_LAC时，AEMNs^EAF,

；四边形A8C。是矩形，

：.AD=BC=2,ZB=90°,

，tanNCAB=坨=返，

AB3

.../CAB=30°,

：.ZAEM=60Q,

AZA£F=30°,

=正•退=1,

.".AF=AE«tan30°

3

②当ENJ_AC时，△ENMsAEAF,

可得AF=4E・tan60°=3,

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

14.（2017•河南）如图，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC,BC=\[^1,点、M,N分

别是边BC,48上的动点，沿MN所在的直线折叠NB,使点B的对应点B'始终落在边

AC上，若△MB'C为直角三角形，则〉M的长为1行+工或1

22

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形.

【分析】①如图1，当NB'MC=90°,B'与A重合，M是BC的中点，于是得到结论;

②如图2,当NMB'C=90°,推出△CMB'是等腰直角三角形，得到CM=通历夕，

列方程即可得到结论.

【解答】解：①如图1,

当/B'MC=90°,B'与A重合，M是BC的中点，

.•.BM=ABC=AJ2+A；

222

②如图2,当NMB'C=90。，

：/A=90°,AB^AC,

AZC=45°,

是等腰直角三角形，

•.•沿MN所在的直线折叠NB,使点8的对应点8',

：.BM=B'M,

:.CM=®BM,

VBC=V24-1,

CM+BM=&BM+BM=y[^1,

综上所述，若△M3,C为直角三角形，则3M的长为工技工或1,

22

故答案为：工技工或1.

22

A

B

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是

解题的关键.

三.解答题（共6小题）

15.（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选

取的测量点A与佛像BD的底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为4加，在A处测

得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BO的高度（结果精

确到0.1%参考数据：sin37.5°弋0.61,cos37.5°M).79,tan37.5°~0.77).

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【分析】根据tan/D4C=JS=tan37.5°M）.77,列出方程即可解决问题.

AD

【解答】解：根据题意可知：NZM8=45°,

：.BD=AD,

在Rt/XADC中，DC=BD-BC=（AD-4）in,ZDAC=31.5°,

VtanZDAC=-^,

AD

，tan37.5°=^A^0.77,

AD

解得AD*17.4m,

：.BD=AD^\1Am,

答：佛像的高度约为17.4/.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问

题.

16.（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

图所示，炎帝塑像。E在高55〃的小山EC上，在4处测得塑像底部E的仰角为34°,

再沿AC方向前进21机到达8处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求炎帝塑像OE的高

度.

（精确到\m.参考数据：sin34°弋0.56,cos34°g0.83,tan34°弋0.67,巡弋1.73）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用.

【分析】由三角函数求出AC=―四—-82.1相，得出BC=AC-48=61.1相，在Rt4

tan34

BC。中，由三角函数得出C£>=«BCQ105.7〃3即可得出答案.

【解答】解：'：ZACE=90°,NCAE=34°,CE=55m,

.".tanZCA£=^,

AC

.•.AC=—®-=-^-«82.1/n,

tan340.67

'：AB=2\m,

：.BC=AC-AB=6\Am,

在中，tan600=型=百，

BC

ACZ）=V3BC^1.73X61.1^105.7/T?,

：.DE=CD-EC=105.7-55g51根，

答：炎帝塑像OE的高度约为51〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角

三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中.

17.（2018•河南）2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的00L4型航空母舰从大连

造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长8。约306如航母前端点E到

水平甲板BD的距离OE为6〃?,舰岛顶端A到BD的距离是AC,经测量，/8AC=71.6°,

NE4C=80.6°,请计算舰岛AC的高度.（结果精确到1处参考数据：sin71.6°30.95,

cos71.6°七0.32,tan71.6°g3.01,sin80.6°g0.99,cos80.6°七0.16,tan80.6°^6.04）

【专题】解直角三角形及其应用.

【分析】设AC=xm.作EHLAC于H,则四边形是矩形.根据80=306,构建

方程即可解决问题.

【解答】解：设AC=x，〃.作E，_LAC于”，则四边形E//CO是矩形.

"：BD=306m,

/.3.01X+6.04（x-6）=306,

解得:x=38,

答：岛AC的高度为38米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，具体的关键性学会添加常用辅助线构造直角三

角形解决问题，属于中考常考题型.

18.（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世

界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在

地面一条水平步道上架设测角仪，先在点例处测得观星台最高点A的仰角为22°,

然后沿方向前进16机到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为16”.

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.bn.参考数据：sin22。=0.37,

cos22°g0.93,tan22°七0.40,&七1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为126”.请计算本次测量结果的误差，并提出一

条减小误差的合理化建议.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】（1）过A作AD1.PM于D,延长BC交AO于E,则四边形BMNC,四边形BMDE

是矩形，于是得到BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,求得CE=AE,设AE=CE=

x,得到BE=16+x,解直角三角形即可得到结论；

（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

【解答】解：（1）过A作于。，延长8c交40于E,

则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形，

:.BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,

VZA£C=90°,ZACE=45°,

...△ACE是等腰直角三角形，

：.CE=AE,

设AE=CE=x,

•••BE—16+x,

VZABE=22°,

：.AE=BE^an22o,即x=(16+x)X0.40,

.,.X5^10.7（772）,

.".AD=10.7+1.6=12.3(m),

答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3加

(2)..•“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m,

本次测量结果的误差为12.6-12.3=0.3(w),

减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

MNPD

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造

直角三角形并解直角三角形.

19.(2019•河南)在△4BC中，CA=CB,NACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的任

意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段OP,连接A。，BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60°时，毁的值是1,直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数

CP

是60。.

(2)类比探究

如图2,当a=90。时，请写出毁的值及直线与直线CP相交所成的较小角的度数，

CP

并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当a=90°时，若点E,F分别是C4,的中点，点尸在直线EF上，请直接写出点C,

P,。在同一直线上时延的值.

CP

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题.

【分析】(1)如图1中，延长CP交8。的延长线于E,设AB交EC于点0.证明△CAP

会△BAO(.SAS),即可解决问题.

(2)如图2中，设3。交AC于点0,80交PC于点E.证明△D4Bs△%c,即可解

决问题.

(3)分两种情形：①如图3-1中，当点。在线段PC上时，延长4。交BC的延长线于

H.证明AO=£)C即可解决问题.

②如图3-2中，当点P在线段8上时，同法可证：OA=Z)C解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，延长C尸交8力的延长线于E,设AB交EC于点0.

图1

,：ZPAD^ZCAB=60°,

：.ZCAP^ZBAD,

'：CA=BA,PA^DA,

.♦.△CAP丝△BAO(SAS),

：.PC=BD,ZACP^ZABD,

'：NAOC=NBOE,

：.ZBEO=ZCAO=60°,

.•.段=1,直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是60°,

PC

故答案为1.60°.

(2)如图2中，设BO交AC于点O,8D交PC于点E.

图2

,：ZPAD=ZCAB=45a,

：.ZPAC=ZDAB,

...迪=地=&,

ACAP

:.△DABS/\PAC,

：.ZPCA=ZDBA,BD=M=A/2>

PCAC

NEOC=ZAOB,

：.ZCEO=ZOAB=45°,

二直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.

(3)如图3-1中，当点。在线段PC上时，延长交BC的延长线于巴

H

,:CE=EA,CF=FB,

：.EF//AB,

：.ZEFC=ZABC=45°,

・・・/%。=45°,

・•・NPAO=/OFH,

•：4P0A=4F0H,

・・・NH=NAPO,

VZAPC=90°,EA=EC,

：.PE=EA=EC,

：.ZEPA=ZEAP=/BAH,

:.NH=/BAH,

VZADP=ZBDC=45°,

AZADB=90°,

：.BD±AHf

：.ZDBA=ZDBC=22.5°,

VZADB=^ACB=90°,

・・・A,D,C,8四点共圆，

ZDAC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5°,

：.ZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA=DC,设4。=。，则OC=AO=a,PD=J2a,

解法二：在RtAR4Z）中，・・・E是AC的中点,

:.PE=EA=EC,

：.ZEPC=ZECP,

・・・/CE产=45°=NEPC+/ECP,

：.ZEPC=ZECP=22.5°,

VZPDA=45°=ZACD+ZDAC,

：.ZDAC=22.5°,

：.AD=DC,

设尸。=m则AO=ZX7=&a,

...包_=岭=2-我

CPa+\/2

如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC,设A£>=〃，则。。=AO=

a,PD=^Ha,

2

【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角

形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中

考压轴题.

20.(2017•河南)如图1,在Rt/XABC中，NA=90°,AB=AC,点。，E分别在边A8,

AC上，AD=AE,连接。C,点M,P,N分别为Z)E,DC,BC的中点.

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是PM

LPN；

(2)探究证明：把△AOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MMBD,CE,

判断△PA/N的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若AO=4,AB=10,请直接写出

△PMN面积的最大值.

E

BNCBNc

图1图2

【考点】几何变换综合题.

【专题】综合题.

【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=」CE,PN=LBD,进而判断出8O=CE,

22

即可得出结论，再利用三角形的中位线得出P例〃CE得出NDPM=NDC4,最后用互余

即可得出结论；

（2）先判断出448。丝/\4比,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=LBD,PN=1BD,

22

即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出结论：

（3）方法1、先判断出MN最大时，的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出

MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.

方法2、先判断出最大时，△PMN的面积最大，而B。最大是AB+AZ）=14,即可.

【解答】解：（1）:点P,N是BC，CD的中点，

：.PN//BD,PN=LD,

2

:点P,M是C£>,OE的中点，

J.PM//CE,PM=LCE,

2

'：AB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

'：PN//BD,

：.ZDPN=ZADC,

"：PM//CE,

：.NDPM=NDCA,

VZBAC=90°,

AZADC+ZACD=90°,

二NMPN=ZDPM+ZDPN=N3C4+NADC=90°,

.,.PM1.PN,

故答案为：PM=PN,PM±PN,

（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：

由旋转知，ZBAD=ZCAE,

"：AB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE（SAS）,

；.NABD=NACE,BD=CE,

同（i）的方法，利用三角形的中位线得，PN=XBD,PM=1.CE,

22

：.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.ZDPM=/DCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

：.ZPNC=ZDBC,

'：NDPN=/DCB+/PNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=NDPM+NDPN=NDCE+NDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

\'ZBAC=9