第3章-区间估计和假设检验

区间估计和假设检验

利用样本的信息对总体的特征进行统计推断，是统计学要解决的主要问题之一。它通常包括两类方面：一类是进行估计，包括参数估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另一类是进行检验。在这里，首先利用SAS提供的MEANS、UNIVARIATE和TTEST等过程对应用广泛的正态总体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的非参数检验方法。

本章目录1第一页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

区间估计是通过构造两个统计量，能以的置信度使总体的参数落入区间中，即。其中称为显著性水平或检验水平，通常取或；分别称为置信下限和置信上限

本章目录2第二页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

对于单个子样而言，设是取自的一个样本；对两个子样而言，设，是分别取自和的样本（分别为二者的样本方差），则有如下结论3第三页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

待估参数置信下限置信上限备注单个子样已知未知已知未知本章目录4第四页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

待估参数置信下限置信上限

备注两个子样

已知

未知

未知本章目录5第五页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

1正态总体的均值、方差的区间估计注：，，，分别表示标准正态分布，（自由度为），-分布（自由度为），分布（自由度为）的上分位点。本章目录6第六页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例1设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经验服从正态，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，求其均值的95%的置信区间.本章目录7第七页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为:dataval1;xbar=26.56;sigma=5.2;n=100;u=probit(0.975);delta=u*sigma/sqrt(n);lcl=xbar-delta;ucl=xbar+delta;Run;procprintdata=val1;varlclxbarucl;run;本章目录8第八页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为其输出结果为:

LCLXBARUCL25.540826.5627.5792即总体均值的95%的置信区间为[25.5408，27.5792]；本章目录9第九页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例2检验某种型号玻璃纸的横向廷伸率。测得的数据如下

横向廷伸率%35.537.539.541.543.545.547.549.551.553.555.557.559.561.563.5频数

7811991217145320201现在要检验假设，并求出其95%的置信区间。

本章目录10第十页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为：datavar22;inputxfx@@;y=x-65;cards;35.5737.5839.51141.5943.5945.51247.51749.51451.5553.5355.5257.5059.5261.5063.51;procmeansdata=var22tprtclm;vary;freqfx;run;CLM表示要输出95%置信区间

本章目录11第十一页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

输出结果：

分析变量:Y

T-统计量Prob>|T|95.0%置信下界95.0%置信上界---------------------------------------------------------------------34.29<.0001-21.0939999-18.7860001

-------------------------------------------------------------------据此则得出结论，该批玻璃纸没有达到横向廷伸率的指标。本章目录12第十二页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例3

已知某次试验中测量不同性别的测试者的脂肪含量，问不同性别人的脂肪含量是否相同？（数据见程序）本章目录13第十三页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为：databodyfat;inputsex$fatpct@@;cards;男13.3女22男19女26男20女16男8女12男18女21.7男22女23.2男20女21男31女28男21女30男12女23男16男12男24;PROCTTESTDATA=BODYFAT;CLASSSEX;VARFATPCT;RUN;

本章目录14第十四页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

其输出结果如下：

T-TestsVariableMethodVariancesDFtValuePr>|t|fatpctPooledEqual21-1.700.1031fatpctSatterthwaiteUnequal20.5-1.730.0980

EqualityofVariancesVariableMethodNumDFDenDFFValuePr>FfatpctFoldedF1291.290.7182本章目录其结论为：所测不同性别的人的脂肪含量没有显著差别。15第十五页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

本章目录注：例3的数据特点是独立组样本，检验方法是T检验。独立组样本T检验要求数据符合以下3个条件：（1）观察值之间是独立的；（2）每组观察值是来自正态分布的总体；（3）两个独立组的方差相等。16第十六页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

本章目录注：采用PROCCHART过程对独立组样本画直方图直方图有两种形态：垂直条形图和水平条形图，下面对例3画水平条形图，SAS程序为：databodyfat;inputsex$fatpct@@;cards;男13.3女22男19女26男20女16男8女12男18女21.7男22女23.2男20女21男31女28男21女30男12女23男16男12男24;PROCCHARTDATA=BODYFAT;

hbarfatpct/group=sex;title“两组独立样本的水平条形图”;RUN;17第十七页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

运行结果为：18第十八页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例4

假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测其体重为3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试给出新生婴儿体重方差的置信区间（置信度为95%）。

本章目录19第十九页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例4

SAS程序为dataval2;inputweight@@;cards;310025203000300036003160356033202880260034002540;procmeansdata=val2;outputout=tval1css=ssn=n;Run;datatval2;settval1;df=n-1;xlchi=cinv(0.025,df);xuchi=cinv(0.975,df);lchi=ss/xuchi;uchi=ss/xlchi;Run;procprintdata=tval2;varlchiuchi;run;本章目录20第二十页，共69页。区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

输出结果如下：LCHIUCHI70687.19406071.51即方差的置信区间为：[70687.19，406071.51]本章目录21第二十一页，共69页。区间估计和假设检验

假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种“看法”是否成立。

一般步骤为:2均值、方差的假设检验（1）根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1（2）构造一个统计量T，其抽样分布不依赖任何参数（3）计算概率值

（4）判断：若，则拒绝原假设H0，否则接受H1。本章目录22第二十二页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

单正态总体的参数的假设检验本章目录23第二十三页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

单正态总体的参数的假设检验本章目录24第二十四页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录25第二十五页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录26第二十六页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录27第二十七页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

本章目录28第二十八页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

假设检验与区间估计的关系本章目录29第二十九页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例5设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经验服从正态，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，请检验假设是否成立：本章目录30第三十页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例5SAS程序dataval3;xbar=26.56;mu=26;sigma=5.2;n=100;u=sqrt(n)*abs(xbar-mu)/sigma;p=2*(1-probnorm(u));Run;

procprintdata=val3;varup;run;本章目录31第三十一页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

结果

UP1.076920.28151表明在0.05显著性水平下接受原假设。本章目录32第三十二页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例6方差的假设检验

本章目录33第三十三页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

这事实上是一个单侧检验问题。因为车床的精度不会自动提高，最多只能保持原来的水平，其备择假设则是车床的精度下降。

本章目录34第三十四页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

SAS程序为：dataval4;inputxfx@@;cards;10.1110.3310.6711.21011.5611.83121;procmeansdata=val4;varx;freqfx;outputout=tval1css=ssn=n;Run;datatval2;settval1;sigma=0.18;df=n-1;chi=ss/sigma;p=1-probchi(chi,df);Run;procprintdata=tval2;varchip;run;本章目录35第三十五页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

结果为：

CHIP44.45520.043345

在0.05显著性水平下拒绝原假设，接受备择假设，即认为该车床经过一段时间的使用后，其精度有所下降。本章目录36第三十六页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例7成对组数据的t检验和区间估计

设某个班级20名学生参加了两次课程的考试（成绩在下面的程序中），现想知道两次考试的难度是否相同？本章目录注：成对组数据的比较是指在某个观察值内部进行“以前”和“以后”情况的对比，比如某人减肥前后的体质对比，某企业技术革新前后的产值利润对比等；成对组数据的比较第一步是计算成对组的差值，第二步是分析差值，第三步检验。37第三十七页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

datasta;inputstudentexam1exam2@@;

scordiff=exam2-exam1;cards;193982887438967488925678368990783748949798996105581118883129194138589147078159096169093179481186781198793208391;procmeansdata=statprtclm;varscordiff;run;

本章目录过程步的另一种方法：procUnivariatedata=sta;varscordiff;run;

MEANS过程中的选择项tprtclm求出t值、概率值及置信上下限38第三十八页，共69页。区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

MEANS输出结果如下：

本章目录结论：从而可看出，这两次考试的难度相当。

Univariate输出结果如下：

39第三十九页，共69页。区间估计和假设检验

在前面的假设检验中，总是假定样本来自正态分布（即某一已知分布），且总是对正态分布的参数进行假设检验，故称此法为参数假设检验。然而在实际中，总体的分布往往很难确定，故用参数检验有其局限性，因而产生另一类不依赖于分布的假设检验方法，即非参数假设检验，其检验也不是对参数进行比较，而是用于分布间的比较。非参数检验方法很多，这里只讲用于配对资料的符号检验和用于两个样本间比较的Wilcoxon秩和检验（多样本间比较则为Kruskal-Wallis秩和检验）

3非参数秩和检验

本章目录40第四十页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

符号检验是根据配对（成对）资料差值的正、负符号来进行假设检验的一种方法，它不依赖总体分布，适应面广。

本章目录41第四十一页，共69页。区间估计和假设检验

4非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验(Wilcoxonsignedranktest)

Wilcoxon1945年提出，用以检验总体中位数是否等于指定值，也用以检验配对资料的差值是否来自中位数为零的总体。设有一配对样本，对子样为m，第i(i=1,…,m)对具有观察值(xi，yi),差值di=(yi-xi)，Md(d)表示d的中位数。本章目录42第四十二页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验(Wilcoxonsignedranktest)

H0:Md(d)=0，H1:Md(d)≠0。检验基本思想：1、计算这m对观察值差数的绝对值|di|=|xi-yi|,i=1,…,m，省略所有差数为零的观察对，令剩下的对子数为n(n≤m)(n又称为有效对子数)；2、根据n个差数绝对值的大小，由小到大排秩，遇相同者，取平均秩次；3、将所排的秩次冠以原差数的符号；4、分别求正秩和(T+)与负秩和(T_)；5、双侧检验时取T+和T_中较小者为检验统计量T*，即T*=min(T+，T_)；单侧检验时，取T+或T_为检验统计量；6、根据T*值的大小得到H0成立时的P值，从而作出统计推断。本章目录43第四十三页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

Wilcoxon符号秩检验的判断原则本章目录双侧检验单侧检验(1)单侧检验(2)检验假设H0:Md(d)=0H1:Md(d)≠0H0:Md(d)=0H1:Md(d)>0H0:Md(d)=0H1:Md(d)<0小样本(n≤50)查表法若T*≤Ta/2(n)，则拒绝H0若T_≤Ta(n)，则拒绝H0若T+≤Ta(n)，则拒绝H0大样本(n>50)正态近似法若|Z|>Za/2，则拒绝H0

若|Z|>Za，则拒绝H0若|Z|>Za，则拒绝H044第四十四页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验):用二乙胺化学法与气相色谱法测定车间空气中CS2的含量(mg/m3),其测量值见表,问两法所得结果有无差别（检验水平＝0.1）?两种方法测定车间空气中CS2的含量（mg/m3）样品号 12345678910化学法 50.73.328.846.21.225.52.95.43.81.0色谱法 60.03.330.043.22.227.54.95.03.24.0本章目录45第四十五页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验)datacs2;inputxy@@;diff=x-y;cards;50.760.03.33.328.830.046.243.21.22.225.527.52.94.95.4 5.03.83.21.04.0;procunivariatedata=cs2normal;vardiff;run;本章目录46第四十六页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验)输出结果为：

M(Sign)-1.5Pr>=|M|0.5078W:Normal0.854817Pr<W0.0638从正态性检验的结果来看，在0.1显著性水平下拒绝这两种方法所测数据的差值服从正态分布(0.0638<0.1),故可采用非参数的符号检验和符号秩和检验。从符号检验M=-1.5,P=0.5078来看,在0.1显著性水平下不能认为这两种方法的测结果有差异。本章目录47第四十七页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

秩是样本由小到大排列的位次，将所有秩加起来，即得到秩和，Wilcoxon1945年据此提出了两样本秩和检验法，是用于比较两独立组数据的一种非参数检验；虽然此方法只利用了样本的大小次序而忽略具体数值，但其效果还是很好的（这一点已为人们所证明）。当然该法最大的好处是不受未知分布的影响，即所谓的“分布自由”。Wilcoxon秩和检验是通过运行PROCNPAR1WAY过程的语句实现的。本章目录48第四十八页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

例9(独立组数据的秩和检验)实验室用局部温热治疗小鼠移植性肿瘤的疗效,以生存日数为观察指标，实验结果见表，问这两组小鼠生存日数有无差别?

小鼠发癌后生存日数实验组10121515161718202390*对照组2345678910111213本章目录49第四十九页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

此资料有截尾数据(表中90*)，或观测指标不服从正态分布时，要检验此两组数据间是否具差别，宜用非参数秩和法进行检验.

本章目录50第五十页，共69页。区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

datanumdate;doI=1to2;inputnum;doj=1tonum;inputy@@;output;end;end;cards;1010121515161718202390122345678910111213;procnpar1waydata=numdatewilcoxon;classI;vary;run;

本章目录51第五十一页，共69页。

输出结果如下:

结果表明实验组的秩和为170，对照组的秩和为83，在H0下的期望值分别为115和138，标准差为15.1529004和15.1529004，平均秩为17和6.9166667。其Z=3.5967，Prob>|Z|=0.0003，说明这两组数据间有差别。52第五十二页，共69页。区间估计和假设检验

独立组和成对组数据比较的总结

1、两组比较的方法

本章目录检验法独立组成对组参数检验两样本T检验成对差值T检验非参数检验Wilcoxon秩和检验Wilcoxon符号秩检验53第五十三页，共69页。区间估计和假设检验

独立组和成对组数据比较的总结

2、两组比较的语句

检验法独立组成对组参数检验两样本T检验采用：PROCTTEST;CLASS分组变量名;VAR因变量名;（见例3程序）成对差值T检验采用：Dif=m-f;Procunivariate;Vardif;或：procmeanstprt;vardif;（见例7程序）其结果观察Pr>|T|的概率值非参数检验Wilcoxon秩和检验采用：PROCNPAR1WAYWILCOXON;CLASSI;VARy;（见例9程序）Wilcoxon符号秩检验采用：Dif=m-f;Procunivariate;Vardif;或：procmeanstprt;vardif;（见例8程序）其结果观察Pr>=|M|或Pr>|T|的概率值54第五十四页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

判断总体的分布是否为正态总体的假设检验称为正态性检验。从上面可以看出，许多统计结论是基于正态总体的，因此如何来判断某样本是否来自正态总体就显得非常重要。目前，正态性检验的方法很多，这里主要介绍SAS中常用的分布拟合优度检验，W检验和偏度峰度检验，Q-Q图检验等方法。本章目录55第五十五页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录56第五十六页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录57第五十七页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录58第五十八页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

例10已知20名学生的各科平均成绩为:56,23,59,74,49,43,39,51,37,61,43,51,61,99,23,56,49,49,75,20试检验其正态性。

本章目录59第五十九页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

例10分布拟合优度检验和Q-Q图检验SAS程序为：datascore;inputx@@;cards;5623597449433951376143516199235649497520;procunivariatedata=scorenormalplot;varx;run;

正态性检验

Q-Q图检验

本章目录60第六十页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

例10分布拟合优度检验和Q-Q图检验程序中NORMAL要求进行正态性检验，其结果输出为：W:Normal0.94955Pr<W0.3720表明这些数据是来自正态性总体。本章目录61第六十一页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

62第六十二页，共69页。区间估计和假设检验

4正态性检验

例10偏度、峰度检验datascore;inputx@@;cards;5623597449433951376143516199235649497520;procunivariatedata=score;varx;

outputout=score1skewness=skewkurtosis=kurtn=n;Run;datascore2;setscore1;uskew=2*sqrt(6/n);lskew=-uskew;tkurt=2*sqrt(24/n);lkurt=-tkurt;ukurt=tkurt;Run;procprintdata=score2;varskewlskewus