人教版数学必修5 § 1.1.2余弦定理的教学设计

人教版数学必修5§1.1.2余弦定理的教学设计

温州市五十一中学俞美丹

一、教学内容解析

余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要

定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大

边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则

这两个三角形全等”。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量

关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发

现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和儿

何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。

二、教学目标解析

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、

向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定

理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生

进一步认识到数学是有用的。

三、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；

②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其

他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生

了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的

重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单

一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、

转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到

更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定

理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有

效地解题。

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本

节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值

是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果

按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

五、教学过程设计

1、教学基本流程：

①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来

表示第三条边。

②余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己

探索获得定理的证明。

③应用余弦定理解斜三角形。

2、教学情景：

①创设情境，提出问题

问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设

计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最

大距离（如图1所示，图中AB的长度）。

【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学

生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体

会到数学来源于生活，数学服务于生活。

师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝

图2

试解决。

学生1—方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取一点C(如图2),

用卷尺量出AC和BC的长，用测角仪测出NACB

的大小，那么4ABC的大小就可以确定了。感觉A:

似乎在AABC中已知AC、BC的长及夹角C的大

XZZ//

小，可以求AB的长了。\\<X/

其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？

学生2—方案2：在岛对岸可以取C、D两点C圆0

图3

(如图3),用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出

图中Nl、N2、N3、N4的大小。在4ACD中，已知NACD、NADC及CD,可以用

正弦定理求AC,同理在4BCD中，用正弦定理求出BC。那么在AABC中，已知AC、

BC及NACB,似乎可以求AB的长了。

教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象

正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？

【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。

②求异探新，证明定理

问题2：在AABC中，ZC=90°,则用勾股定理就可以得到c2=a?+b2。

【设计意图］引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。

师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面儿何的有关知识来研

究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生3：在aABC中，如图4,过C作CDJ_AB,垂足为D。

在RtZSACD中，AD=bsinZl,CD=bcosZl;\

在RtaBCD中，BD=asinZ2,CD=acosZ2;y12

c2=(AD+BD)2=b2-CD+a2-CD+2AD-BD人_________________\^B

=a2+h2-2abcosZ1•cosZ2+labsinZl-sinZ2D

=a2+/-2"cos(Nl+Z2)图4

=a2+h2-2ahcosC

学生4：如图5,过A作ADLBC,垂足为D。C

ZD

B

A

图5

则：c2=AD2+BD2

=b2-CD2+(a-CD)2

^a2+b2-2a-CD

=a2+b~-2abcosC

学生5：如图5,AD=bsinC,CD=bcosC,

.,.(?=(bsinC)2+(a-bcosC)2=a"+bJ-2abcosC

22222

类似地可以证明b?=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosCo

教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再

利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分NC为钝角或直角

时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点一余弦定理。

【设计意图工首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生

的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有

其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定

理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到

成功的乐趣。

学生6：如图6,C

记AB=c,CB=a,CA=B

则］=丽=丽—瓦=£—B

2

.,.(")2=(a-b)

—2—2——图6

=a+b-2a-b

即=|a|2+|S|2-2p|-|S|-cosC

：.c~-a1+b'-labcosC

教师：以上的证明避免了讨论NC是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单,

体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间

的距离公式，你会有什么启发？

【设计意图工由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。

学生7：如图7,建立直角坐标系，在aABC中，AC=B丫

b,BC=a.

且A(b,0),B(acosC,asinC),C(0,0),-------斗―1

则c2=\ABf=(acosC-b)2+(asinC)2

-a2+b2-labcosC\图,

【设计意图】：通过以上平面儿何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定

理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学

生思维空间的深度和广度。

③运用定理，解决问题

让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型

的三角形问题。

例1：①在aABC中，已知a=2,b=3,ZC=60°,求边c。

②在^ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求A、B、Co

【设计意图工让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形

两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

④小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面儿何、向量、坐标等各个不同的方面

进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它

的特例。所以它很“完美”，从式子上