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文档简介
nnnnnnnnnnna3nnnnnnnnnnnnna3nn数列通公的种法
a))))nn2(2n2(2一公式法
n
n
2
)例已数{}满足a,2,求列{}通公式n1naaaa3解2a两边以2n数{n}以22222a3为首,为公的差列由差列通公,n,以列{a}通项2n2公式n)2n。a3a评注本解的键把推系2a转化n,明数{}等2n2na3数列再接用差列通公求n,进求数{}通公。2n二累加法
3(1n所以n评注本解的键把推系a转化a,而出nnaaa)aa),即数列{}的通公式nn211例已数{}足aa,数{}的项式nn1na1解:n两除3n,n,n3例已数
{}满a
n,求数列{}n
的通公。
则
aann3
,故解:aa得nnnna))a))n221[2(2[(n2)
aaaann)n)n))133a3n3n21n11123))))n323
(nn
n
11)nn2n2所以列{}通公为a2。n评注:本题解题的关是把递推关系式转化为nnna))a),得列{}的通项式nnnn21例已数{}满足,求列{}通公。n1解:得nn
,进而求出
1(1n2(n因此,3n3132221则32aa评注本解的键把推系转为n,而出n3aaaaaa(n)n)nn1),得列项式最再3333333求数
{}
的通公。三累乘法例已数
{}
满足
n
,n
,求列
{}
的通公。1nnnnnn222nnn1nn21nnnnnn222nnn1nn2解:为,,以annaaan32aaan1
,则
nnn
,故
四待定系数法例已数{}足2a解:n)nn
n
61④
,求列
式。n[2(n][2(nn](n(n(n!
]
将n代入④式得nnx两除5⑤
ann,等两边消去2,得nn,得3xx,则代入式nn)nn所以列
{}
的通公为
ann
n(n2
!.
由
1
及⑤得
an
n
0
则
nn
nn
则数
{}n
是以
a11
为首评注:本题解题的关键是把递推系an2,即得数{}n
1)5n的通公。
n
转化为
nnn
,进而求出
项,公的比列则2,。n评注本解的键把推系a2转化an),而知nnnn列{n}等数,而出列{}通公,后求数{}的项式n例(2004年全I第15题,题是空)知列{a}满足aaaa2),求{}的项式112nn
例已数{}足,1解:)⑥n
,求列
{}
的通公。解:为
aana(nn2
①
将
n
ann
代入式得所以
aa2
na
②
ny3(ann用②-式
a
n
na.n
整理
(5x)nxny
。则ann2)nn故nna所以n3(naann2
!
2
③
x令,则,入式y22)n由a⑦,1
⑦由an(n,2a,则a,又,n2212n!,代③a。2n!所以{}通公式2评注本解的键把推系nan2)转为,进求nnnann,从可当n,a的表式最再出数{}通公。ann
n得an0,n,n故数{522}是以为首项,以为公比的等比数列,因此n1,nnn评注本解的键把推系转为nn2),而知列{2}是比列进求数nn{n的通公,最再数{}通公。nn例已数{}足2,,数{}的通公。neq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)则,n2nn5eq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)则,n2nn5解:((n2yn)⑧nn将a2an代⑧,nn2((nn
,则
lg3lglg3lg3lg2代11式得(n5(lgan)416416lg3lg2lg由lg712式416416
eq\o\ac(○,12))nn
2
xyxyan
2
yn
得
lg
lg34
n
lg3lg216
,等式边去2,(3x)yx2z解方组,则,代入式得yz2n18)⑨nn由a320及式得an13(则n,数{2为以nn为项以为比等数列因1
,
lg3lg2a(4164a416lg3lg3lg2lg2所以列{lga}以lg74164164lg3lg3lg2lg3lg2lg因此4161643lg3lg3lglg2lg7nn4441114(lglg34n16
为首,为公的比列则nn
2
n
n
,则
n
n
n
2
n
。
14
1
14
n
lg(3
n4
1
14
)评注本解的键把推系a2an转化为nn2n18)而可数{nnn列,而出列{n的项式最再出列{a}的项式nn
是等数
11nlg(3)55)五对数变换法
5n
516
54
)例10已知列{}足a2,a,求列{}的项式nnn解:为a2na7,所,。25nn1nnn3⑩n设lga(y)eq\o\ac(○,11)nn
式两取用数
5n5则4。n评注本解的键通对变把推系a25转为nnlg3lg2lg3lg3lg2lga(nan),从可数416416将⑩代式得5lglg3lgxynn得(lg3)nylg2xny,则
,两消
5lg
n
并整,
lg3lg3lg2{lgn}等比列进求数416再求数{}通公。
lg3lg2{lga}4164
的通公,后
lg3yy
x,故lg3y16
六迭代法例已知列{}足an解:为a,所
n,a,求列{}1nanan]nn
的通公。(((nnnn(((nnnnnaa323nn1nnn3(na](3(nn3(
2k2(2k2(2k2k21](22(22(2k2k2k23
(
2(2k2k(22(2又
a1
,所数
{}
的通公为
a3n
(
。
3)3)评注本还综利累法对变法数的项式即将式an两取常nlga用对数得3(n,即n3(n,再由累乘法可推知lgalg(n,从而2。lgalgnn2
[2(kk2由此知当等也立根据(知等对何
*
都成。七数学归纳法
评注本解的键通首和推系先出列前项,而出列通公,后例12已知列
{}满n
8(nn2n
,a
,求列
{}
的通公。
再用学纳加证。八换元法解:
n2(2
及
,得
例已数
{}
满足
a
116
(11a),an
,求列
{}
的通公。213
8(1(299258(282(249
解:故an
1,则(b,代nn
1a)
得43
8(32(249
124
b2
11[1(b1624
]由此猜
(2(22
,往用学纳证这结。
即4b2n因为b24a,n
124
()当时
8(29
,所等成。
则
2n
n
,即
n
b
,()假当时等成,
(22(22
,则
n
时,
可化
b
1(b2
,
k2(2k
所以
{b3}是以b124n1
为首,
为公的比列因22专题讲座1nn)1nn12nn1(nnnn22专题讲座1nn)1nn12nn1(nnnn1b2()2
1)2
,则
1b)2
即1)
,得
评注题题关键通将
24
的换为得给推关式化
b
12
32
形式21a()n)n。313评注题题关键通将124a的元b得给推系转b形,nn从而知列{b为等数,而出列{3}通公,后求数列{}的项nnn式。九不动点法
从而知列{b为等数,而出列{b3}通公,后求数{}的项nn式。——数求的本法和巧★列高考中的要求1.等数和比列两最本最要使最泛数,他列题解决往助它完,经变转为差等数,利等、比列研方。所等数和等比列基知是列最本最要最把的识例14已知列
{}
满足
n
a,an
,求列
{}
的通公。
2.数的项数最要最见表形,是列核。弄通公的意—项数n的函解项式作—可用项式数的意项值及数进一性解因为
x244x
xx1
是函
f()
21
的两不点
研究3.数的推是列另种达式可是阶性推二线递、次函形递推勾数式推和偶系递等是考热。注叠、乘迭代解技的训练21a4212413a26ann。所数以aa279nna413a1311为项以为比等数,n2(,。49913n921x评注本解的键先出数f()的动,方的个ax,x,而可出n,从可数比列再出列a9an项式,后出列{}通公。na例15已知列{}足an,,数{}通公。an3x解:,2,则是函fx)的不点4x
.数列求和的问题往往和其他知识综合在一起,综合性教强。数列求和就显得特别重要,数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法,那么必须掌握几种常用的数列求和方法。.自文不数归法来数归法乎了个科考内。且常和缩、函数调、造等系一,力求高.纵近年高,年有极的目常选题填题形命,时也为一大的一出,度大.数的用其泛因尽现的用多概统,不除数使题的能也有能数和率汇.数常函、等、析何立几、数三、量二式知联系一,以它复多、合强解灵等征为考中题压题一、利常求公求n(a)(n1、等数求公:nad22na(2、等数求公:S)aq11因为
n
a5anaann
,所
3、
n
k
kn(n
、
n
k
k
2
n(2a()3
1)n23
。
5、
n
k
k
3
n
211[例已知列
n
n
n
≠s数列前n项和求s。n
解:题知{
}通是差列{的项等数{}通之n解:时
snn
设
S
2462n2223n
………………①当≠时,
n
数,比x
Sn
2(n2n
nn
……………②(制由等数求公得
2xx(1n=
(利常公)
位)12①-得)222
22222221n
22n
(错相)【固习1已知列
n
式为
an,s为n
项和
∴
S
n2n()求
s
;()求
项。n
三、反相法和解:二、错相法和
这是导差列前项公时用方,是一数倒来列反它原数相,可得n(1这种法在导比列前n项和式所的法这方主用求数{a·
b}
例求:
C
C
前项,中{}{b}别是差列和比列.n[例求和Sx
……(x)
证明设CCn把①右倒过得
……………..①解:当,
n
n
2
C(2Cnnn
(反)当≠时
……….①
又由
Cnn
可得①式边乘得
xSn
1xx
2
3
n
n
n
(设错
C
(2C
C
……..…..②位)①-得(1S2x再利等数的和式:(1)S
n
4x1nx(2nx1
(错相)
①②得(2nC∴(【固习3求sin2
n的值
(反相)∴
Sn
(2n
n
(2x(1)
n
)
解:sinsin22将①右反得
sin23
sin2
①【固习2
求数
24,,,2223
2n2n
,
前项和
2
sin
2
i
i
1
②(反)又因
sinxcos(90
),sin2x2222222nnn2nnnnnn222222nnn2nnnnnn①+②得(反相)2(sin)2)89=89
=
nn2
(∴=44.5四、分法和有一数,不等数,不等数,将类列当开可为个等、比或常的列然分求,将合即形如其{a}{b}等数n列、比列常的列.
五、裂法和这是解组思在列和的体用.裂项的质是数中每(项分,后重组,之消一项最达求的通分(项如sin1(1)f(f()()tancos(111[例求数的n项和4,,aaan1解:4)7)aa
(3)
an
111nnn
()
n
(2n)2(2nn
1(2n
)将其一拆再新合11Sa2an
)
(分)
(5)
an
1n
11[2((nn
]当a=时,
S
(3n(3nn=2
(分求)
n
1(2(2nn
n
(
n
则
n
(n
n当a时,
11
1a1a
(3na1(3n=2
(7)
a
n
1(An)
11(CAn
)【固习4
求数列{的项和.
(8)
n(n
=
1-n(n
()
an
1n
n解:1)(2kkk∴(k1)(2k=(2knk将其一拆再新合
2
)
11例求数1221解:n
1,nn
,
的前项和.
(裂)S=
k
k3k
k2
k
k
(分)
则
Sn
112
1nn
(裂求)=
3
=
(23
2)=
n2(n2
2
n1)(2nn(22
(分求)
=
【固习】①在列{},
a
12n
nn
,又
n
n
n
,求列{}nnnn的前项的和.
=解:∵
1an
nn2
【固习在各均正的比列,
aa9,logaa53②
求证
8()∴nn2∴数{}前项和11111S8[(1))))]2234n8=)=11cos10cos2sin1
(裂)(裂求)
的值.
aloga解:n
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