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文档简介

nnnnnnnnnnna3nnnnnnnnnnnnna3nn数列通公的种法

a))))nn2(2n2(2一公式法

n

n

2

)例已数{}满足a,2,求列{}通公式n1naaaa3解2a两边以2n数{n}以22222a3为首,为公的差列由差列通公,n,以列{a}通项2n2公式n)2n。a3a评注本解的键把推系2a转化n,明数{}等2n2na3数列再接用差列通公求n,进求数{}通公。2n二累加法

3(1n所以n评注本解的键把推系a转化a,而出nnaaa)aa),即数列{}的通公式nn211例已数{}足aa,数{}的项式nn1na1解:n两除3n,n,n3例已数

{}满a

n,求数列{}n

的通公。

aann3

,故解:aa得nnnna))a))n221[2(2[(n2)

aaaann)n)n))133a3n3n21n11123))))n323

(nn

n

11)nn2n2所以列{}通公为a2。n评注:本题解题的关是把递推关系式转化为nnna))a),得列{}的通项式nnnn21例已数{}满足,求列{}通公。n1解:得nn

,进而求出

1(1n2(n因此,3n3132221则32aa评注本解的键把推系转为n,而出n3aaaaaa(n)n)nn1),得列项式最再3333333求数

{}

的通公。三累乘法例已数

{}

满足

n

,n

,求列

{}

的通公。1nnnnnn222nnn1nn21nnnnnn222nnn1nn2解:为,,以annaaan32aaan1

,则

nnn

,故

四待定系数法例已数{}足2a解:n)nn

n

61④

,求列

式。n[2(n][2(nn](n(n(n!

]

将n代入④式得nnx两除5⑤

ann,等两边消去2,得nn,得3xx,则代入式nn)nn所以列

{}

的通公为

ann

n(n2

!.

1

及⑤得

an

n

0

nn

nn

则数

{}n

是以

a11

为首评注:本题解题的关键是把递推系an2,即得数{}n

1)5n的通公。

n

转化为

nnn

,进而求出

项,公的比列则2,。n评注本解的键把推系a2转化an),而知nnnn列{n}等数,而出列{}通公,后求数{}的项式n例(2004年全I第15题,题是空)知列{a}满足aaaa2),求{}的项式112nn

例已数{}足,1解:)⑥n

,求列

{}

的通公。解:为

aana(nn2

n

ann

代入式得所以

aa2

na

ny3(ann用②-式

a

n

na.n

整理

(5x)nxny

。则ann2)nn故nna所以n3(naann2

!

2

x令,则,入式y22)n由a⑦,1

⑦由an(n,2a,则a,又,n2212n!,代③a。2n!所以{}通公式2评注本解的键把推系nan2)转为,进求nnnann,从可当n,a的表式最再出数{}通公。ann

n得an0,n,n故数{522}是以为首项,以为公比的等比数列,因此n1,nnn评注本解的键把推系转为nn2),而知列{2}是比列进求数nn{n的通公,最再数{}通公。nn例已数{}足2,,数{}的通公。neq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)则,n2nn5eq\o\ac(○,入)eq\o\ac(○,)lgaeq\o\ac(○,及)则,n2nn5解:((n2yn)⑧nn将a2an代⑧,nn2((nn

,则

lg3lglg3lg3lg2代11式得(n5(lgan)416416lg3lg2lg由lg712式416416

eq\o\ac(○,12))nn

2

xyxyan

2

yn

lg

lg34

n

lg3lg216

,等式边去2,(3x)yx2z解方组,则,代入式得yz2n18)⑨nn由a320及式得an13(则n,数{2为以nn为项以为比等数列因1

lg3lg2a(4164a416lg3lg3lg2lg2所以列{lga}以lg74164164lg3lg3lg2lg3lg2lg因此4161643lg3lg3lglg2lg7nn4441114(lglg34n16

为首,为公的比列则nn

2

n

n

,则

n

n

n

2

n

14

1

14

n

lg(3

n4

1

14

)评注本解的键把推系a2an转化为nn2n18)而可数{nnn列,而出列{n的项式最再出列{a}的项式nn

是等数

11nlg(3)55)五对数变换法

5n

516

54

)例10已知列{}足a2,a,求列{}的项式nnn解:为a2na7,所,。25nn1nnn3⑩n设lga(y)eq\o\ac(○,11)nn

式两取用数

5n5则4。n评注本解的键通对变把推系a25转为nnlg3lg2lg3lg3lg2lga(nan),从可数416416将⑩代式得5lglg3lgxynn得(lg3)nylg2xny,则

,两消

5lg

n

并整,

lg3lg3lg2{lgn}等比列进求数416再求数{}通公。

lg3lg2{lga}4164

的通公,后

lg3yy

x,故lg3y16

六迭代法例已知列{}足an解:为a,所

n,a,求列{}1nanan]nn

的通公。(((nnnn(((nnnnnaa323nn1nnn3(na](3(nn3(

2k2(2k2(2k2k21](22(22(2k2k2k23

(

2(2k2k(22(2又

a1

,所数

{}

的通公为

a3n

(

3)3)评注本还综利累法对变法数的项式即将式an两取常nlga用对数得3(n,即n3(n,再由累乘法可推知lgalg(n,从而2。lgalgnn2

[2(kk2由此知当等也立根据(知等对何

*

都成。七数学归纳法

评注本解的键通首和推系先出列前项,而出列通公,后例12已知列

{}满n

8(nn2n

,a

,求列

{}

的通公。

再用学纳加证。八换元法解:

n2(2

,得

例已数

{}

满足

a

116

(11a),an

,求列

{}

的通公。213

8(1(299258(282(249

解:故an

1,则(b,代nn

1a)

得43

8(32(249

124

b2

11[1(b1624

]由此猜

(2(22

,往用学纳证这结。

即4b2n因为b24a,n

124

()当时

8(29

,所等成。

2n

n

,即

n

b

,()假当时等成,

(22(22

,则

n

时,

可化

b

1(b2

k2(2k

所以

{b3}是以b124n1

为首,

为公的比列因22专题讲座1nn)1nn12nn1(nnnn22专题讲座1nn)1nn12nn1(nnnn1b2()2

1)2

,则

1b)2

即1)

,得

评注题题关键通将

24

的换为得给推关式化

b

12

32

形式21a()n)n。313评注题题关键通将124a的元b得给推系转b形,nn从而知列{b为等数,而出列{3}通公,后求数列{}的项nnn式。九不动点法

从而知列{b为等数,而出列{b3}通公,后求数{}的项nn式。——数求的本法和巧★列高考中的要求1.等数和比列两最本最要使最泛数,他列题解决往助它完,经变转为差等数,利等、比列研方。所等数和等比列基知是列最本最要最把的识例14已知列

{}

满足

n

a,an

,求列

{}

的通公。

2.数的项数最要最见表形,是列核。弄通公的意—项数n的函解项式作—可用项式数的意项值及数进一性解因为

x244x

xx1

是函

f()

21

的两不点

研究3.数的推是列另种达式可是阶性推二线递、次函形递推勾数式推和偶系递等是考热。注叠、乘迭代解技的训练21a4212413a26ann。所数以aa279nna413a1311为项以为比等数,n2(,。49913n921x评注本解的键先出数f()的动,方的个ax,x,而可出n,从可数比列再出列a9an项式,后出列{}通公。na例15已知列{}足an,,数{}通公。an3x解:,2,则是函fx)的不点4x

.数列求和的问题往往和其他知识综合在一起,综合性教强。数列求和就显得特别重要,数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法,那么必须掌握几种常用的数列求和方法。.自文不数归法来数归法乎了个科考内。且常和缩、函数调、造等系一,力求高.纵近年高,年有极的目常选题填题形命,时也为一大的一出,度大.数的用其泛因尽现的用多概统,不除数使题的能也有能数和率汇.数常函、等、析何立几、数三、量二式知联系一,以它复多、合强解灵等征为考中题压题一、利常求公求n(a)(n1、等数求公:nad22na(2、等数求公:S)aq11因为

n

a5anaann

,所

3、

n

k

kn(n

n

k

k

2

n(2a()3

1)n23

5、

n

k

k

3

n

211[例已知列

n

n

n

≠s数列前n项和求s。n

解:题知{

}通是差列{的项等数{}通之n解:时

snn

S

2462n2223n

………………①当≠时,

n

数,比x

Sn

2(n2n

nn

……………②(制由等数求公得

2xx(1n=

(利常公)

位)12①-得)222

22222221n

22n

(错相)【固习1已知列

n

式为

an,s为n

项和

S

n2n()求

s

;()求

项。n

三、反相法和解:二、错相法和

这是导差列前项公时用方,是一数倒来列反它原数相,可得n(1这种法在导比列前n项和式所的法这方主用求数{a·

b}

例求:

C

C

前项,中{}{b}别是差列和比列.n[例求和Sx

……(x)

证明设CCn把①右倒过得

……………..①解:当,

n

n

2

C(2Cnnn

(反)当≠时

……….①

又由

Cnn

可得①式边乘得

xSn

1xx

2

3

n

n

n

(设错

C

(2C

C

……..…..②位)①-得(1S2x再利等数的和式:(1)S

n

4x1nx(2nx1

(错相)

①②得(2nC∴(【固习3求sin2

n的值

(反相)∴

Sn

(2n

n

(2x(1)

n

)

解:sinsin22将①右反得

sin23

sin2

①【固习2

求数

24,,,2223

2n2n

,

前项和

2

sin

2

i

i

1

②(反)又因

sinxcos(90

),sin2x2222222nnn2nnnnnn222222nnn2nnnnnn①+②得(反相)2(sin)2)89=89

nn2

(∴=44.5四、分法和有一数,不等数,不等数,将类列当开可为个等、比或常的列然分求,将合即形如其{a}{b}等数n列、比列常的列.

五、裂法和这是解组思在列和的体用.裂项的质是数中每(项分,后重组,之消一项最达求的通分(项如sin1(1)f(f()()tancos(111[例求数的n项和4,,aaan1解:4)7)aa

(3)

an

111nnn

()

n

(2n)2(2nn

1(2n

)将其一拆再新合11Sa2an

)

(分)

(5)

an

1n

11[2((nn

]当a=时,

S

(3n(3nn=2

(分求)

n

1(2(2nn

n

(

n

n

(n

n当a时,

11

1a1a

(3na1(3n=2

(7)

a

n

1(An)

11(CAn

)【固习4

求数列{的项和.

(8)

n(n

=

1-n(n

()

an

1n

n解:1)(2kkk∴(k1)(2k=(2knk将其一拆再新合

2

)

11例求数1221解:n

1,nn

,

的前项和.

(裂)S=

k

k3k

k2

k

k

(分)

Sn

112

1nn

(裂求)=

3

(23

2)=

n2(n2

2

n1)(2nn(22

(分求)

【固习】①在列{},

a

12n

nn

,又

n

n

n

,求列{}nnnn的前项的和.

=解:∵

1an

nn2

【固习在各均正的比列,

aa9,logaa53②

求证

8()∴nn2∴数{}前项和11111S8[(1))))]2234n8=)=11cos10cos2sin1

(裂)(裂求)

的值.

aloga解:n

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