几类特殊N阶行列式的计算

/目录ＴOC\o＂1－3＂\h＼z\ｕＨＹPERLＩNＫ”：\＼新建文件夹\\论文。dｏc”\l”＿Toc35６３178８6＃_Ｔｏｃ３56317886”１引言ﻩＰAGEREF_Tｏc３563１7886\h2ＨYPＥRLＩNK"：＼＼新建文件夹＼\论文．ｄoc”＼l”＿Toｃ356317887#_Tｏc35６３１7８87"２文献综述 PＡＧEＲEF＿Ｔoｃ3563１7887＼ｈ2HYＰＥRLIＮＫ＂:\\新建文件夹\\论文。doｃ”\ｌ”_Tｏc356３178８8＃＿Tｏc3５63178８８"２。1国内研究现状ﻩPＡＧEREＦ_Toc３56317８88\h２HＹＰERＬＩNK＂：\\新建文件夹\\论文.ｄoc”2。３提出问题ﻩPAＧEＲEF_Toc356317890\h3HYPERLINK＂：＼\新建文件夹\\论文．doｃ"\l＂＿Toc35631７89１#_Toc3５６3178９1"3预备知识ﻩPAGEＲEF＿Ｔoｃ３５6317８9１\h３HＹPERLINK"：＼＼新建文件夹\＼论文。ｄoc”＼l"_Toｃ3563１７892＃_Toc3563１789２”3。1N阶行列式的定义 ＰＡGEＲEF＿Tｏc3５63１7892＼h3HYPＥRLIＮK”：\＼新建文件夹\\论文.ｄoc”\l＂_Toc3５63１789３#_Toc356３17893”3.2行列式的性质ﻩPＡGEREF_Toc3563178９3\ｈ4HＹPＥＲLINK＂：\\新建文件夹＼\论文。ｄoc"\ｌ"＿Ｔoｃ35６３1７89４＃_Ｔoc356317894”3．3行列式的行（列）展开和拉普拉斯定理 PAGＥRＥF_Toｃ３5６3１789４\h5HYPERLＩＮＫ”：\\新建文件夹\\论文.doc"\l”_Ｔoc356317８95＃_Ｔoｃ３5６３1７89５＂３．3。１行列式按一行（列)展开ﻩPＡGERＥＦ_Toc356３1７89５\h５HYPERＬINＫ＂：\＼新建文件夹＼＼论文.ｄoc"＼ｌ"_Toｃ3５6317896#＿Ｔoc356317896"３．3。２拉普拉斯定理 PAGEREF_Ｔｏc356317896\h６HYPＥRLINK":\\新建文件夹＼\论文。dｏc"＼l”_Toc35６３17８97#_Ｔoc356317８97"４几类特殊N阶行列式的计算ﻩＰＡGEREF＿Toｃ356３1７8９7\h６HＹPERＬINK”：\\新建文件夹＼\论文。ｄoc＂\l＂_Ｔoｃ３5６3１7898＃_Toｃ3563178９8”4。1三角形行列式的计算ﻩPAＧERＥF＿Tｏｃ35６317898\h6HＹPEＲLINＫ"：\\新建文件夹\\论文。ｄoc”\l”_Ｔoc356３1789９#_Toｃ35６317８９9”4。2两条线型行列式的计算ﻩPAＧＥＲEF_Tｏc3５６３1７899\h8ＨＹＰERLINK"：\\新建文件夹\＼论文．dｏc＂＼l"_Toc3５6317９０0#＿Toc35631７90０”4.3箭形行列式的计算ﻩPAGEREＦ＿Toｃ356３1７9００\h9HYPERLINK＂:\\新建文件夹\\论文.doc"＼ｌ”＿Toｃ3563179０1＃＿Toｃ3５63１7901”4.４三对角行列式的计算 PAGEREF_Toｃ３５６31７901\h10HYPEＲLIＮK”：＼＼新建文件夹＼\论文。doc＂\l”_Tｏc３5６31７９02＃＿Tｏc3563１7902＂４.５Hesｓeｎbｅrg型行列式的计算ﻩＰＡGEREF_Ｔｏc356３17902\h11ＨYPERLINK”：\\新建文件夹\\论文。doc＂\l”_Toｃ３563１７9０3＃_Tｏｃ3５6317903"4。6行(列)和相等的行列式的计算ﻩＰAGＥREF＿Toｃ3５6317903＼ｈ12HYＰERLINK":\＼新建文件夹\＼论文。doc＂\ｌ"_Toｃ3563179０4#_Toｃ３5６3１７904＂4。7相邻行（列）元素差1的行列式的计算ﻩＰAGEREF_Toc35６31７90４＼h1４HYPＥＲLＩＮK”：\\新建文件夹\\论文．ｄoc"＼l”_Tｏc35６31７9０５＃_Toｃ356３17905＂４。８范德蒙型行列式的计算ﻩPAＧEＲEF_Toｃ３56３17905\h1５HYPERＬＩＮK＂:\\新建文件夹\\论文。dｏc”5。1主要发现 ＰAGEＲEF＿Toｃ3５63179０7\h1７ＨＹPＥRLINK”:＼\新建文件夹＼＼论文。doｃ”\l＂_Toc３563179０８＃_Toｃ３５６317９08"５。2启示 ＰAGEREF＿Toｃ356317９0８\h17HYPERＬINK＂：\\新建文件夹\\论文.doc”＼ｌ"_Toc35６３179０9#_Toc356317９09"5.3局限性 ＰＡGEREF_Toc3５63１79０９＼h１7HＹPERLINK"：\＼新建文件夹\\论文.dｏc＂\l”_Toc356317910#＿Toｃ３56３1７910＂5。4努力方向ﻩPＡＧEREF_Toc35６３１7910\ｈ１7HYPEＲＬINK＂:＼\新建文件夹\\论文。dｏc"\ｌ"_Tｏc３5６31７911#_Ｔｏc356317９11"参考文献 ＰAGEREＦ_Toｃ35６317911\ｈ1８１引言行列式是代数学中的一个重要内容，在数学理论上有十分重要的地位。早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现．1７７２年法国数学家范德蒙（１７35—1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了1９世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此,到１9世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式尤为重要。对于阶数较低的行列式，一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果。对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的,因此研究行列式的计算方法则显得十分必要．通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果。本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法，从这几类特殊的Ｎ阶行列式的计算中，可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题。本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法，并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2文献综述２．１国内研究现状现查阅到的文献资料中，大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等．其中［１］、［３]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行(列）展开，［2]、[４]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[４］、[8］直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Maｔlａb上的实现，[７]、[９]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法,[１1］、［１2］、［13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则,［１4]在行列式的定义、性质、按行(列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，［15］－［１8］系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.２。２国内研究现状评价现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩,特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺．2。３提出问题行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺，本文将从几类特殊N阶行列式的计算方面入手，对特殊Ｎ阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法，以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3预备知识为了更好的计算行列式，我们先要对行列式的一些性质有一些了解．下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质．可参见文献资料［１］．3。1N阶行列式的定义由一个ｎ行ｎ列的正方形数表(称为n阵方阵）按以下规则确定的数称为n阶行列式，记为Ｄ,或，或dｅtA，ｄｅt，即D＝ｄet＝其中为n个数,1，2,n的一个排列,为此排列的逆序数.而符号表示对所有的ｎ无排列求和,共有n！项。３。2行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题。当N较小时，可以由定义去计算行列式的值，但当N较大时,按定义去计算就很困难了．因此，行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了，我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的，易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中，以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献［1４］.性质１行与列互换，行列式不变．性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外。性质3如果某行（列)的所有元素都可以写成两项之和，则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)元素与原行列式相同.性质４两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零。性质5两行（列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质6某行（列）的倍数加到另一行(列），行列式的值不变.性质7交换两行（列）的位置,行列式的值反号．３.3行列式的行(列）展开和拉普拉斯定理行列式按行(列）展开的定理是行列式的一条非常重要的性质，是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列）展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一，可参见文献[７]．3．3．1行列式按一行(列)展开（1）在N阶行列式的中，将元素所在的第i行第ｊ列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的ｎ—１阶行列式，称为元素的余子式，记为,即,而称为元素的代数余子式．（2)行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即（3)n阶行列式中某一行（列)的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零。3.3．2拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行（列）展开公式的推广，在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一，下面将该定理陈述如下：拉普拉斯定理任意取定n阶行列式D的某k行（列)（１≤k〈n)，由这k行(列）元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4几类特殊Ｎ阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶。在化简时，必须根据行列式的特点和元素的规律性，运用适当的步骤来进行，所以研究行列式的规律性是重要的．下面是对一些典型行列式的计算方法的探究，并举例说明其求解方法和技巧．４.１三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式，该行列式的计算是很有规律的,也即(1）上（下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即．（２)次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积,即.(3)分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即。4．2两条线型行列式的计算在行列式的计算中，遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，，的两条线型行列式,我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式。例1计算n阶行列式.分析:本题中所给的行列式，我们先观察一下行列式的元素间的规律，显然，这是一个两条线型的行列式，根据行列式的性质，把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式，由三角行列式的性质即可算出该行列式.解：按第1列展开得总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律：按某一(列）展开，化简为三角行列式或次三角行列式，再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中，有许多形如,的箭形行列式，这类行列式不易下手，得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手。这样的行列式成箭形，只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了。例２计算n＋1阶行列式分析：题中所给的n＋1阶行列式,显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出．解：把每一列的()加到第一列，得总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零．4.4三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,.计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素，这样一来计算量上就比较大了，但是在展开的过程中，我们易发现，在展开的过程中会得到一个递推公式，从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例3计算n阶“三对角"行列式D=分析:把该行列式展开，我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式，根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值.解：把行列式展开，得到ＤD-D—D即有递推关系式Ｄ=Ｄ－Ｄ（n3)故=递推得到====而,＝＝,代入得由递推公式得＝＝αD＋==＋+＋=总结：对于三对角线行列式的计算，可直接展开得到两项的递推关系，然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式．4。５Ｈesｓｅnbｅrg型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hesseｎberg型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶。例4计算N阶行列式分析：对于该行列式,将每一列都加到第N列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解：将第１，２，…,n-１列加到第n列，得总结:对于Hessｅnberｇ型行列式的计算，可直接展开得到递推公式，根据递推公式的特点从代数方面即可算出，也可利用行列式性质化简并降阶，利用三角行列式或次三角行列式的性质计算．4.６行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行（列）和相等的行列式不在少数，也是行列式计算中的一个难点。对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行（列）和相等的特点了，把每一行（列)都加到一行（列），再提出公因式，这样就能出现大量的零或１的行列式，从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5计算行列式。分析:因为第行(例）的和都相等，所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式，根据三角行列式的性质即可算出该行列式。解：把每一列都加到第一列提出公因式得总结：对于各行(列）这和相等的行列式，将其各列(或行）加到第1列(或行）或第N列(或行）,然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值．4。7相邻行（列）元素差１的行列式的计算计算完行(列）和相等的行列式,现在来看一下行（列）元素差1的行列式的计算。同样,这样的行列式他们的行(列）元素差1，我们可以利用它的这一特点，每一行（列)递减，得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了。例6计算元素满足的N阶行列式.分析:根据题设写出Ｎ阶行列式这是相邻两行（列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或－1的行列式,进一步化为三角行列式，即可算出该行列式。解：前行（列）减去后行（列)，得总结：以数字１，2,…,n为(大部分）元素,且相邻两行(列）元素差１的Ｎ阶行列式可以如下计算:自第1行（列)开始，前行（列）减去后行（列)；或自第N行（列）开始，后行(列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或—1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻两行（列）元素相差倍数Ｋ的行列式,采用前行（列）减去后行(列）的－Ｋ倍，或后行(列)减去前行（列）得－K倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素．4。8范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中，如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来，利用行列式的计算方法去计算了。首先，先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质．可参见文献［17］．范德蒙行列式即等于这N个数的所有可能的差的乘积.例7计算行列式(1）分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n—２次幂行，所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了．解：比较范德蒙行列式,缺少次幂行，所以应补之．于是考察阶范德蒙行列式（2）视文字，一方面，由（1)知是行列式中元素的余子式，即：于是将按其第列展开可得中的系数为.另一方面，从的表达式（2）及根与系数的关系知,中的系数为：所以所以总结:范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行(或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.５结论5．1主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度，特别是对于特殊Ｎ阶行列式的计算，这类行列式的计算技巧性非常大，在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度。5.2启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊Ｎ阶行列式的计算，有一定的技巧性.从特殊到一般，能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果。特别是学生在平时的学习中，应熟悉行列式的一些计算方法，达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法，并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解,尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰,计算上快速，准确。5.3局限性本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善，特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究．5．4努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多，并不是短时间内学习就可以掌握的，需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献［1］陈治中。线性代数[M]。北京:科学出出版社，20０9:６—２3。［2］邵建峰、刘彬.线性代数[M］.北京：化学工业出版社，200７:1-18.［3］张翠莲．线性代数[Ｍ]。北京:中国水利水电出版社,2007：4-16。［4］李小刚．线性代数能及其应用［Ｍ］．北京：科学出出版社,2０06:37-６1．[５］郭立焕、汤琴芳.线性代数［M］.北京：科学技术文献出版社，1988:1—３2.［6]俞正光、王飞燕。线性代数［M].北京：清华大学出版社,20０5；１－26。[7］郑素文。线性代数与应用名师导学［M]。北京:中国水利水电出版社,2０04：1—４５.［8]刘剑平、施劲松．线性代数[M］.上海：华东理工大学出版社,2０11:35－53.［9］贾兰香、张建华。线性代数［M］.天津：南开大学生出版社,2004：1－4２.［10］居余马.线性代数［M]。北京:清华大学出版社，2002：1—32.。［１1］詹耀华.线性代数［M]．北京：中国金融出版社，２０07:１-17．［1２]宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星。高等代数［M］.北京:清华大学出版社，2012：1—15。[１3]蓝以中。高等代数简明教程[M］。北京:北京大学出版社，２002：14７—203。[１4］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003三版：50—89.[15］张新功。行列式的计算方法探讨［Ｊ].重庆师范大学学报，2０1１，第28卷第4期:8８—92.［１6]古家虹.关于行列式的计算方法[Ｊ］。广西大学学报，200５，第30卷增刊：17４—1７6．［１7］李红珍.行列式的计算方法与研究［J］。河南科技报,２０13:212．［18]贾冠军。行列式计算方法研究［J］。菏泽师专学报，19９9，第21卷第2期：61—65。曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目:几类特殊Ｎ阶行列式的计算作者、学号：周松20091112０9学院、年级：数学与信息科学学院2０0９级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：程毕陶完成日期：20１3年5月20日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位）毕业论文（设计）质量要求。答辩小组签名主席姓名工作单位职称曲靖师范学院数学与信息科学学院成员曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院曲靖师范学院数学与信息科学学院答辩日期：２０13年5月2２日原创性声明本人声明:所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计)中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期:。论文（设计）使用授权说明本论文(设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位）论文（设计)的规定,即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计)被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名：指导教师签名：日期：。几类特殊N阶行列式的计算摘要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用,如在解析几何,代数式中的理论应用和在工程和建设、经济管理中的实践应用等。如何计算行列式显得优为重要。而大多行列式的计算特别是Ｎ阶行列式的计算，在平时的计算和考试中即费时又很难抓住解题的技巧,特别是在考试中容易出现思维短路，解不出题或解题效率不高.本文从几类特殊的N阶行列式入手，归纳了行列式的常用计算方法，根据行列式的特点为选择行列式的计算方法．在平时的N阶行列式的计算