第5讲半群和的定义性质

第十章群与环-

半群和群的定义和性质2015.09.212023/3/262主要内容半群独异点群2023/3/263半群定义10.1(1)：<S,∘>是一个代数系统，其中S是非空集合，∘是S上的一个二元运算(运算∘是封闭的)，如果运算∘是

可结合的，即对任意的x,y,z∈S，

满足(x∘y)∘z=x∘(y∘z)则称代数系统<S,∘>为半群.2023/3/264例10.1<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>为半群设n>2,<Mn(R),+>,<Mn(R),·>为半群<P(B),>,<P(B),>,<P(B),>为半群A={a1,a2,...,an},n∈Z+,*为A上的二元运算,∀a,b∈A有ai*aj=ai,则A关于*运算构成半群Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>为半群<Z+,->，<R,/>不是半群

2023/3/265例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串

,“·”为字符串的连接运算.则<Σ+,·>构成半群。2023/3/266独异点定义10.1(2)：设<S,∘>是一个半群，若存在eS为S中关于运算∘的单位元,

则称<S,∘>为幺半群，也叫做独异点。(有时也把单位元标明<S,∘,e>)2023/3/267例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是独异点是独异点2023/3/268例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,“·”为字符串的连接运算.思考：半群<Σ+,·>是否做成独异点？空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>构成独异点2023/3/269例10.3幂集<P(B),>是独异点，单位元为<P(B),>？是独异点，单位元为B

<P(B),>？是独异点，单位元是2023/3/261010.4*αβγδζααβγδζββγδζαγγδζαβδδζαβγζζαβγδ是单位元可结合性在运算表中无特殊体现11群(Group)定义10.1（3）：设<G,∘>是一个代数系统，其中G是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果(1).运算∘是封闭的(2).运算∘是可结合的(3).存在单位元e(4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1则称<G,∘>是一个群2023/3/2612例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是群不是群(大于1的整数无逆元）2023/3/2613例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,”·”为字符串的连接运算.空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>思考：独异点<Σ*,·>是否构成群？(不是群，非空串无逆元)2023/3/2614例10.3幂集<P(B),>？(不是群:非空集无逆元)<P(B),>？(不是群:非全集无逆元)

<P(B),>？单位元和逆元?(是群:单位元是，每个元素的逆元是它自身)2023/3/2615例10.4(1-2)(1)

<Z,+>整数加群(2)<Zn,+n>模n整数加群

思考:<Zn,n>是不是群?Ans:不是群，0无逆元。2023/3/2616例10.4(3-6)(3)

<Mn(R),+>n阶实矩阵加群(4)

<Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群；(5)所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；(构成群，因运算封闭，结合，含单位元，存在逆且逆封闭。)2023/3/2617例10.5Klein四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae2023/3/2618例10.5(2)Klein四元群G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)运算º为逐分量模2加法,2023/3/2619群的等价定义定理

(等价定义)<G,∘>,∘可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a’，则G是群.证明:封闭性可结合性单位元？逆元？2023/3/2620群的等价定义证明:证e为左单位元.∀a∈G,有a∘e=a,所以有e∘e=e(e为右单位元)。设存在a’∈G,使得a∘a’=e,代入得e∘(a∘a’)=a∘a’.因为a’∈G

,存在a’’∈G,使得a’∘a’’=e上式两边右乘

a’’

得

e∘a∘a’∘a’’=a∘a’∘a’’,而a’∘a’’=e因此有e∘a=a.

e是G中的单位元.证a’为a的左逆元，设a’a’’=ea’’=e∘a’’=(a∘a’)∘a’’=a∘(a’∘a’’)=a∘e=a2023/3/2621群的相关术语（定义10.2）平凡群只含单位元的群{e}有限群与无限群群G

的阶

G的基数，通常有限群记为|G|交换群或阿贝尔（Abel）群2023/3/2622例10.6（交换群）(1)

<Z,+>无限群;(2)<Z6,+6>模6整数加群，阶为6(3)<Z4,+4>模4整数加群，阶为4(4)Klein四元群G={e,a,b,c}，阶为4(5)<P(B),>群，阶为|P(B)|2023/3/2623n次幂定义

设<S,*>是一个半群，xS,nZ+,定义的x的n次幂xn为:推广到独异点2023/3/2624n次幂实例在半群<Z,+>中,xZ,x的n次幂是在半群<P(B),>中,xP(B),x的n次幂是2023/3/2625n次幂（推广到群）定义10.3设<G,*>是一个群，xG,n

Z,定义的x的n次幂xn为:2023/3/2626元素的阶定义10.4设G是群，aG，元素a的阶

|a|：使得ak=e成立的最小正整数k.记作|a|=k,也称a为k阶元与群的阶比较有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！！！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群.2023/3/2627例10.6（元素的阶）(1)

<Z,+>无限群，|0|=1(2)<Z6,+6>模6整数加群，元素的阶(3)<Z4,+4>模4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)<P(B),>群中元素的阶2023/3/2628幂运算的性质定理10.1幂运算规则(a-1)-1=a(ab)-1=b-1a-1

anam=an+m(an)m=anm

若G为Abel群，则(ab)n=anbn说明：等式1和2证明用到逆元定义和唯一性等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论等式2可以推广到有限个元素之积.2023/3/2629模n剩余类设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是由模n的同余（剩余）类组成的集合，在Zn上定义两个二元运算+n和n:[i],[j]Zn[i]+n[j]=[(i+j)modn][i]n[j]=[(ij)modn]2023/3/2630整数同余式定义（同余）：称整数a模正整数m同余于整数b，记为a≡b（modm）是指m|a-b,m称为模数。

m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分别除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就在于此。2023/3/2631同余关系相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：

自反性：对任意整数a有a≡a（modm）

对称性：如果a≡b(modm)则b≡a（modm）

传递性：如果a≡b(modm）b≡c（modm）则a≡c(modm)

全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。2023/3/2632整数模m同余类共有m个，他们分别为{km+0},{km+1},…{km+(m-1)}，其中k∈Z，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。Z模12的标准剩余系为：[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]同（剩）余类2023/3/2633对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘：(1)a(modm)±b(modm)=(a±b)(modm)(2)a(modm)*b(modm)=a*b(modm)

消去率：对于ab≡ac（modm）来说，若(a,m)＝1则b≡c(modm)剩余类间的运算2023/3/2634(1)<Zn,+n>模n整数加群(2)<Zn-{0},

n>关于模n乘法是否做成群？<Z3-{0},

3>

<Z4-{0},

4><Z5-{0},

5>

<Z6-{0},

6><Z7-{0},

7>

……剩余类组成的群<Zn-{0},n>(n>1为素数和合数两种)2023/3/2635例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。解： 注意53=125≡13(mod56)

于是有56≡132≡

169≡1(mod56)

因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。剩余类应用举例<Zn,+n>，<Zn,n>(令n为素数和不为素数两种)2023/3/2636子半群(子独异点)定义：设<S,*>是一个半群，BS且*在B上是封闭的，那么<B,*>也是一个半群，通常称<B,*>是半群<S,*>的子半群;设<S,*>是一个独异点，BS,eB且*在B上是封闭的，那么<B,*>也是一个独异点，通常称<B,*>是独异点<S,*>的子独异点。半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数是S的子独异点2023/3/2637子半群举例A关于矩阵乘法构成半群<A,·>,且它是<M2(R),·>的

子半群,令,则V是<M2(R),·,I>的子独异点，I是2阶单位阵。

2023/3/2638子半群的交集定理10.3:若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点.(只需证明封闭性)思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?Ans:不一定是。2023/3/2639同态和同构半群与独异点的同态和同构半群f(xy)=f(x)f(y)独异点f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e’2023/3/2640同态的性质定理:设f是从代数系统A到代数系统B的同态映射，则若A是半群(独异点)，则同态象f(A)也是半群(独异点)证:f(A)上运算满足结合律(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c)=f(a(bc))=f(a)f(bc)=f(a)(f(b)f(c))，且f(a)f(e)=f(ae)=f(a)，f(e)f(a)=f(ea)=f(a),故f(e)=e’.2023/3/2641半群的同态性质定理

设V=<S,∗>为半群，V’=<SS,∘>，∘为映射复合，则V’也是半群，且存在V到V’的