浅谈分马问题

word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑浅谈分马问题问题1：有一位老人，他有三个儿子和17匹马。在他临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留个你们，你们一定要按我的要求去分。”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“我把17匹马全都留给我的三个儿子。长子得一半，次子得三分之一，幼子得九分之一。不许杀马，不许流血。你们必须遵从父亲的遗嘱。”这是在民间广泛流传的分马问题,这个问题中提到的马匹分配方法，绝大多数的人都是知道的，即三个儿子去请教一位智者，智者借给他们一匹马，老人原有17匹马，加上智者借给的一匹马，一共18匹马。于是三兄弟按照18匹马的一半、三分之一和九分之一，分别得到了9匹、6匹和2匹马。9+6+2=17（匹）。还剩下一匹，是智者借给三兄弟的那匹马，还给智者，我们称这种分配方法为古典分配方法。一古典分配方法的合理性。看到这个分配方法,许多人都会存在两点疑问。疑问之一：遗嘱所说的一半、三分之一和九分之一，都是相对于17匹马来说的，并不是对18匹马来说的，因而智者把自己的一匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一分配马匹，不符合遗嘱的原意。实际上只要我们全面分析老人的遗嘱，就会明白智者的分配方法是符合遗嘱要求的。老人的遗嘱包含三个要点，第一，把17匹马全部分给三个儿子；第二，长子得一半，次子得三分之一，幼子得九分之一；第三，不许杀马，不许流血。老人自己家有17匹马，加上智者借给的一匹，一共十八匹马。按18匹马的1/2，1/3，1/9分给三个兄弟，三个兄弟所得的马匹数当然符合1/2∶1/3∶1/9的比例，符合遗嘱的第二条要求，而三个兄弟分别得到的9匹、6匹和2匹之和，恰好是老人的全部财产17匹马，符合上述第一条要求，又没让马流血符合遗嘱的第三条要求“不许杀马，不许流血。”既然符合老人的三点要求，这就是正确的分配方法。几千年来，人们都走入了一个相同的误区，即认为遗嘱所说的一半、三分之一和九分之一，都是相对于17匹马来说的，只要撇开这个认识的限制，从全面整体的观点来分析这个问题，就会找出符合要求的分配方案，只要满足老人的三条要求，而不必细究具体的分配方法。疑问之二：智者为什么借给三兄弟的马匹是一匹，而不是两匹、三匹或者四匹呢？我们来考察问题中出现的18、9、6、2这四个数字，发现其中9、6、2都能整除18，而他们的和9+6+2=17，比18少1，也许智者早已悟透其中的玄机，所以智者只借给三兄弟一匹马。18、9、6、2这四个几个数字具有这样性质：b、c、d都能整除a，而他们的和b+c+d比a少1。具有这样性质自然数有12组。这12组数字如下表：ababcdabc441111264622112446311189684212010510522241281263242211432436这12组数据的获得要用到数论中不定方程的知识，知道了这12组数据，我们可以把这个流传几千年的古老问题改编成12个类似的问题，如其中的一个问题可以是：有41匹马分给三兄弟，老大分总数的二分之一，老二分总数的三分之一，老三分总数的七分之一。这就是分马问题有太多的版本的原因。那么是不是还有具有这样性质四个数字：b、c、d都能整除a，而他们的和b+c+d比a少2呢？有，例如，16、8、4、2就具有这样的性质，有兴趣的读者可以探讨具有这样性质的数组共多少组。二运用按比例分配的观点分析分马问题。我们知道，硬是把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟，那么，并没有把17匹马分完，因为1+1+1=17，所以还剩下17匹马的1没有分。根据老人的遗嘱第一点，把17匹17匹马的1还是应该分配给三个儿子的，而且还应该给老大一半、给次子分之一、给幼子九分之一，而且任何有限次分配以后，都不会把17匹马全部分完。通过以上的分配过程，我们发现第一次分配老大得到马匹的一半、次子得到马匹的三分之一、幼子得到马匹的九分之一；在第二次分配中，在未分完的马匹（17匹马的1）中，老大还应该得到马匹的一半、次子得到马匹的三分之一幼子得到马匹的九分之一；所以无论剩余的马匹数是多少，长子、次子和幼子都应该得到剩余马匹的一半、三分之一和九分之一，综合以上的分析，三个兄弟在任何一次分配中得到的马匹数应该都是符合1：1：1这样的比例关系，把所有次的分配结果分别相加，三兄弟分到的马匹数之比仍然是1：1：1，所以也可以认为老人是要求按照1：1：1这样的比例关系把他的17匹马依次分配给他的长子、次子和幼子。因此，把1：1：1化简可得，1：1：1=9：6：2=9：6：2，按照这样的比例分配，长子可以分的马匹：17╳9=9（匹）；17次子可以分的马匹：17╳6=6（匹）；幼子可以分的马匹：17╳=2（匹）；17第一次分配第二次分配第三次分配第四次分配……第n次分配老大21721181721171822117183……211718n老二31731181731171822117183……211718n老三91791181791171822117183……211718n这种分配方法，同样符合老人遗嘱的三点要求，这种分配方法也是符合遗嘱的要求的方法。三运用无穷级数的观点分析分马问题。我们已经知道，把17匹马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，永远是分不完的。假如先进行分析和计算，算出了三兄弟每人经过无穷无尽、一次又一次的分配后三兄弟所分的马匹总数后，再一次性地分配，就既用不着杀马，又恰好把17匹马全部分完，这可以用数学中的无穷级数的观点解决。三个兄弟所分得的马匹数是一个无穷级数的和，或者说各是一个无穷递缩等比数列各项的和。为了说明简便，列表如下：这三个无穷递缩等比数列的首项分别是17/2,17/3,17/9，公比都是1/18,按照无穷递缩等比数列的各项和公式n 1711a1q 2S1计算得，老大应得的马匹Sn1q n1118=9（11），当n趋近无穷大时，11趋近于1，即11=1， 18n 18n 18n老大可以得到9匹马。同理计算得出，老二可以得到6匹，老三的到2匹马。四分马问题的另外一种类型上文我们研究得分马问题，总结起来，所要分的马匹的数量都是奇数，所有财产继承者所得分额的总和都小于1。另外还有一种分马问题，所要分的马匹的数量是奇数，所有财产继承者所得分额的总和大于1。我们看下面的这个分马问题。问题2：从前有一个商人，他有三个儿子和13匹马。在他临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把13匹马留个你们，把13匹马都分了，可不要杀掉，你们一定要按我的要求去分。”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“长子得二分之一，老二得三分之一，老三得四分之一。”老人死后三兄弟大伤脑筋，这时走来一位猎人，明白原因后对三兄弟说：“我现在去打猎，你们借给我一匹马，你们就好分配了，回来我再把这匹马还给你们”三兄弟果然实现了分配，皆大欢喜。原来三兄弟是这样分配的，老人原有13匹马，减去猎人借走的一匹马，一共12匹马。于是三兄弟按照12匹马的一半、三分之一和四分之一，分别得到了6匹、4匹和3匹马,6+4+3=13匹。还缺少一匹，是智者借走的那匹马。我们还是来观察问题中出现的12、6、4、3这四个数字，其中6、4、3都能整除12，而他们的和6+4+3=13比12多1。这四个数字具有这样性质：b、c、d都能整除a，而他们的和b+c+d比a多1。具有这样性质自然数（a≤100）还有1组，即30、15、10、6。这