中级微观课件上5第五章总需求

第五 总需一、总需求和总假定有I个消费者，他们分别具有理性偏好关系i和相应的瓦尔拉斯需求函数(p,w)。一般而言，给定价格p\及I个消费者的水平(w,"w)，总需求函 Ixp1,",wI)xipwi)的问题是，在什么情况下，总需求可以写成更简单的形式即x(p,iwi)，式中总需求仅仅依赖于总iwi。分配而言，总需求是相同的。也就是说，对于任意的(1,"wI)和(w1,",wI)它使得iwiiwi我们就必须有ixipwi)ixipwi)要这一条件何时可被满足，考虑从某一初始分配1,"wI)开始的一 化(d1",dw\,该变化满足

0。如果总需求可以被写成总的函数，对于任一lxlipwidw0i 在下述情况下，此条件成立，即当且仅当每个dwi的系数相等，也就是对于任意一个l,任ij,以有所有(w1"wI),

分配(w1,"wI)开始的、满足idwi0的任何 分配(d1,"dwI)均成立。简而言之，对于任一固定价格向量p和任一商品l，不管我们的是哪一个消费者，也不管他的水平如何，在p上的效应都应该是一样的。在这种情形下，由任何消直线型的扩展路径。图1平行直线型扩展路命题一一个消费者集合在任何价格向量p上均具有平行直线型扩展路径的充要条wii均相同，也就是平是由这样一个程序导出的：该程序可以描述为价格p和总 对于所有(p,w)均满足iwi(p,w)w的一族函数(w1(p,)"wI(p,w))需求表示成函数x(p,w)ixi(p,wi(p,w))的形式从而总需求就仅仅依赖于价格和总财二、总需求和弱公理个人需求的实证性质究竟在多大程度上被保留到总需求函数xpw1"wI)ixipwi)中了呢？我们注意到的是，有三个性质确实是被保留下来了，那就是连续性、零次齐次性和瓦尔拉斯法则即对于所有p1,",wI)pixp1,",wI)Iwi。在本节中，我们集中讨论在哪些条件下，总需求也满足弱公理，后者有理由被认为是个人瓦尔拉斯需求函数最的实证性质。x(p,w)ixi(p,wi(p,变的。也就是说，它独立于价格。因此，我们假定我们有份额i0,ii1,使得对于每一总水平wwipwiw。这样我们就有xpwixip,iw)1如果对于任意的pw和pw，pixpwwxpwxpw意味着pix(pw)w，则称总需求函数xpw)满足弱公理。例1不满足WA的总需求。假定有两种商品，两个消费者。是平均分配的，即w1w2w/2，式中w为总。图5.2描绘了两个价格向量p和p’,以及相应的p下的个人需求xi(p,w/2)和x2(p,w/2),p’下的个人需求x1(p’,w/2)和x2(p’,w/2)。图 不满足弱公里的总需 1pixpww21pixpww 变化p[wpix(p,w)]，我们有 如果我们所考虑的价格——变化，譬如说从pw至pw的变化，恰巧对每个ii,均有iwpixip,iw对于所有(pp)i[xi(p,iw)xi(p,iw)] 说，总需求均满足WA。在于，对总体而言是补偿的价格——变化——它使得wpix(p,w)——并i,我们很可能有iiwpixip,iw。如果这样的话，个人效应[piDwxp,iw1外，它于某些i而言，（3）（2）也可能不成立。iWA这样基本的个人需求性质对总需求而言都无望普遍成立，我们可能会想知的需求法则在个人层面上也是成立的。假定给定一个初始位置pwi，我们考虑一个非补2pp和Wi①注意，若pix(p,w)w,且x(p,w)x(p,w)，则 有pix(p,w)w，这和弱公理是 (pp)i[x(p,w)x(p,w)] 而且若xi(p,wi)xi(p,wi),则严格不等式成们就称个人需求函数xi(p,wi)满足非补偿需求法则（ULD）性质。对于总需求函数x(p,w)而言，也有类似的定义。下述这种用微分形式表述的ULD性质应该是很自然的：xipwi)满足ULD性质，则Dpxipwi)ULD的突出优点是，和WA不同，它确实可以加总。wiiw，将个人条件（4）加总，我们可得pp)i[x(pw)xpw)]0,且若x(pw)xpw),则严格不等式成立。这就使我们导出了命题2。命题二证明：考虑任意的(p,w)和(p,w)，其中x(p,w)x(p,w) —

(p,iw)xi(ppw定义pwwp。根据零次齐次性，我们有xpwxpw)严格说来，这一证明是必要的，因为虽然我们知道，WA等价于补偿价格变化下的需求法则，但我们现pp)i[xpwxpw0,pixpww,作为一个有关个人行为的公理，ULD性质的限制性究竟有多强？显然，它不为偏好最大化所蕴含。命题三和命题四给出了个人需求满足ULD性质的充分条件。命题三如果ixipwi满足非补偿需求法则（ULD）个可微效用函数来代表]。矩阵Dpxi(p,wi)为：iDx(p,w)S(p,w)i

1x(p,w)x(p,w)Tp

w wi式中Sipwi)为消费者i的斯拉茨基矩阵。由于除dpixipwi0[dpixpw)]20，且除dp与p成比例外，均有dpS(Pw)dp0所以我们说 Dpxipwi)是负定的，从而ULD条件ULD性质成立，替代效应（它们的作用总是存在）必须大到足命题 假定i定义在消费集X\L上，而且可以由一个二次连续可微的凹函xiD2u(x ixiiui(xi则xi(p,wi)满足不受限制的需求法则（ULD）性质因此，关于“作为有关个人行为的一个公理，ULD性质的限制性究竟有多强”的问题，我命题五假定所消费者都具有定义在L上的相同的偏好[个人需求函数表示为w0x(p)0

x(p,证明：考虑可微的情形。令v0，则viDx(p)v0viDpx(p,ww viDx(p)v0viS(p,w)vdw0(viDwx(p,w))(vix(p,

x(p,w))(vix(p,w))d(vix(p, 1wd(vix(p,0(viDwx(p,w))(vix(p,w))dw2 1(vix(p,w))20,ULD性质在不同消费者群体之间是可加的。因此，我们应用命题五所需的条件并不是一个很一般的问题，即什么样的偏好和分布条件可以确保总需求满足弱公理？如果对于所有pw,以及所有不p成比例dp0,从函xpw)中导出的斯拉茨基矩Spw均满dpiSpw)idp0，则可以证明市场需求函xpw)满足WA。现在我们来一下，对于总需求函数而言，这一性质何时成立。S(p,w)Dpx(p,w)Dwx(p,w)x(p,iiS(p,w)Dpx(p,w)[Dxi(p,iw)]x(pii

下面，令Si(p,wi)代表个人的斯拉茨基矩阵，把所有个人的斯拉茨基方程加总起来， Si(p,i,w)Dpxi(p,iw)Dwx(p,w)x(p, i Dpxpw)iDpxip,iw，我们可以将（7）代入（6），从而S(p,w)S(p,w)[Dx(p,w)Dx(p,w)][1x(p,w)x(p,ii ii wii

C(p,w)iSi(p,w)S(p, ii[Dwixi(p,iw)Dwx(p,[1x(p,w)x(p,

i i是效应向Dwxi(p,iw)和按比例调整之后的消费向量(1i)xi(p,iw)之间的协方如何花费在不同商品上的[例如，(1iw)xlip,iw)为消费i的每单位l消费量。每一个“观测值”都被赋予了一个权重i。还请注意，正如它所应该的那样，我们有iii[Dwixip,iwDwxpw)]0和ii[(1i)xip,iw)xpw0就一个个人斯拉茨基矩阵Si(,而言，对于不与p成比例的dp0))图3（a）描述了一个L2时的情形。假定消费者之间的分布是均匀的，上述关系上的消费份额也高于平均水平。在图3(b)中，这种关系则是负向的。图3支出与效应的关iDwxip,iw都相等（即有相等效应）；（ii）所有(1i)xip,iw均相等（即消费成比例。在这两类情形中，我们都有Cpw)0dp0p成比例就有idpiSpw)dp0情形(i)具有重要含义。特别地，如果每个消费者均具有高曼型间接效用函数vipwiipbp)w，其b(p)对于所有消费者均相同，则效应对于所有消费一性质成立，则前一性质也成立，但是即使总需求可能并不是不受再分配影响的(例如，个人偏好可能是位似的，但不是相同的)，总需求（对固定分配而言）也可能满足弱公第一，WA是一个普遍性较强的性质，而强公理(记住，它导出了对称的斯拉茨基矩阵)虑一群具有相同偏好和的消费者，那么总需求显然满足SA。但是，现在如果我们使每很好保持，但是其对称性(SA)则几乎肯定不能被保持。第三，尽管人们一开始也许会认为，存在一个能解释总量行为的偏好关系(SA可以三总需求与代表性消费者的我们把分配规则((w1(p,)"wI(p,w))当作我们讨论的起点，在每一 水w\上，该规则均赋予每个消费者一 。我们假定对于所有(p,w)，均xpw是连续的、零次齐次的，且满足瓦尔拉斯法则。同时，记住这一点是很重要的：总需求函数x(p,w)依赖于分配规则（在第1节所讨论的特定条件下除外。2如果存在一个\L上的理性偏好关系xpw正好是由这一偏好关系导出的瓦尔拉斯需求，也就是说，只要xxpw)，且pixw，即有x(p,w);x，则存在一个实证的代表性消费者。一个实证的代表性消费者可以被设想为一个假想的个人，当社会预算集{x\Lpixw定义3（伯格森一萨缪尔森）社会福利函数是这样一个函数W\I个可能向量(u,"u\I一个效用值，其中向量(u,"u)I 社会福利函数W1,"uI背后的思想是，它准确地表述了这样一个社会判断，即对个现在让我们假定有这样一个程序：在任何给定的价格和总水平w上，一个仁慈的都要能为了最大化社会福利而重新分配。也就是说，对于任何(p,w)，配(w1p,),"wI(p,w))maxW(v1(p,1"vI(p,wIw1",w s.t.Iwi1函数vpwxpwixipwipw而言，这一间命题六假定对于每个价格水平p和水平w,分配w1p"wIpw)是问题（10）的解，那么，对于总需求函xpw)ixipwipw))来说，问题（10）的价值函数v(p,w)就是实证的代表性消费者的间接效用函数。需的论证就是，利用罗伊恒等式从vpwxRpw)来表示它，然后证明它确实等于xpw)。我们首先写出在给定的(p,w)下，问题（10）的一阶条件。忽略边界解，一阶条件要对于某一0,Wv1

"

xRpw[1/(vpww)]pvpw。由于vpw是vWviwiW ivi i ivii(wivl0pv(p,w)i(wi/vl)pvi(p,wi(p,x(p,w)1 ]v(p,w(p, iv/w pi ]v(p,w(p,iv/ p ixi(p,wi(p,w))x(p,问题（10）的价值函数是偏好的一个间接效用函数，则总需xpw)ixipwipw))则是在给定的社会福利函数下的（10）的解，而且“水平”应始终被理解为“最优分（19792假定所有消费者均具有由一次齐次效用函数代表的位似偏好。现考虑社会福利函数W1,"uIiilnui，式中i0,ii1。那么最优分配函数[对问题（10）而言]2wipwiw。因此，在位似偏好)3假定所有消费者均具有高曼型间接效用函数vipwi)ip)bp)wi。注意，b(p)并不依赖于i，而且回忆一下，这种情形包含了一个特例，即偏好对于某一共同的本位商品是拟线性的。从第1节中我们还知道，总需求x(p,w)独立于分配。现在考虑一个功利主义的社会福利函数iui。那么任何一 分配规则(w1p),"wIpw都是最优化问题（10）是vpwiipbp)w。因此，一个结论是，当间接效用函数为高曼型的[且当消费者具有高曼型间接效用函数[b(p)相同]时，代表性消费者理论将得到重要的加W1,"uI而言，vpwiipbp)w都可作为规范的代表性消费者的间接效用（的价值函数记作v*(p,w)。 须证明，由v(i)和v*(i)导出的排序是相同的，也就是说，对于任何一对（p,w）和pw,其中v(pw)v(pw)，我们v*(pw)v*(pw)。令个人向量(1,",wI)和(w1,",wI)分别代表在（p,w）和(p,w)，（10）相对于W（"ii则v*pwW(uv*pwW(u。此还有vpw)ipbp)wiuii而且类似地，有vpwiui。因此vpwvpw，意味着iuiiui。下面W(uW(u)。根据表达式（11），在最优点上，我们有：对于所有(Wvi)(Viwii均有ViWibp。因此，对于ij,有WviWj0。iuiiui意味着W(u)i(uu0。型（且b(p)相同）时，当且仅当与（p,w）相比，(p,w)通过如下的潜在补偿检验时一个功利主义的社会福利函数iuipw社会地优于(p,w)。这个潜在补偿检验就是：对于w的任意一个分(1,"wI)存在一个w的分配(w1,"wI)，使vipwi)vipwi对