多样本均数比较方差分析

ANOVA由英国统计学家RonaldAylmerFisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数间有无差异.第一页，共61页。2023/3/262方差分析的基本思想完全随机设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析多个样本均数间的多重比较多个样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验

主要内容第二页，共61页。问题的提出:实验设计将所研究的对象分为多个处理组施加不同的干预（处理），由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状（差异），造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素（处理因素）。

方差分析即是检验各处理组均数间差别有无统计学意义的统计检验方法。方差分析的基本思想

及其应用条件第三页，共61页。2023/3/26四种饲料添加物对小鼠体重增长的比较（g）猪油花生油玉米油空白对照

0.839

0.799

0.443

0.430

0.745

0.698

0.414

0.332

0.604

0.554

0.502

0.436

0.851

0.823

0.613

0.382

0.973

0.944

0.402

0.457

0.636

0.595

0.343

0.593

0.656

0.814

0.75688

0.72414

0.45283

0.4074

第四页，共61页。2023/3/265正常组（x1j）冠心病组（x2j）脂肪肝组（x3j）4.756.265.784.754.366.684.775.245.444.614.675.864.494.555.674.025.185.245.034.615.424.575.125.144.215.266.094.884.835.744.625.595.724.615.065.71三组50-59岁男性的空腹血糖测定结果第五页，共61页。2023/3/26662.7855.6750.705.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）33个数据各不相同-总变异第六页，共61页。2023/3/2675.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）各组样本均数也各不相同——组间变异第七页，共61页。2023/3/2685.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）同组内数据各不相同—组内变异第八页，共61页。2023/3/269实验数据有三个不同的变异：

总变异（totalvariation）：全部测量值xij与总均数间的差别组间变异（betweengroupvariation）：各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)：每组的j个原始数据与该组均数的差异

第九页，共61页。10

1．总变异：

反映所有测量值之间总的变异程度；其大小用离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示，即各测量值与总均数差值的平方和。第十页，共61页。

2．组间变异

各处理组由于接受处理的(水平)不同，各组的样本均数也大小不等，这种变异称为组间变异。其大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示。组间变异反映各组均数之间的变异程度，组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

SS组间越大，表示各处理水平反应可能不相同。第十一页，共61页。2023/3/2612

3．组内变异

在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，变异称为组内变异（误差）。组内变异用组内各测量值与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。

第十二页，共61页。2023/3/2613总变异组间变异组内变异处理因素的作用、随机误差随机误差第十三页，共61页。均方(meansquare，MS)

变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(meansquare，MS)。组内均方和组间均方的计算公式为:MS组内：组内均方，SS组内/组内,MS组间：组间均方,SS组间/组间,

总=总例数-1=N-1,组间=组数-1=g-1组内=总例数-组数=N-g,第十四页，共61页。2023/3/2615统计量F值

即可知处理因素是否有作用第十五页，共61页。2023/3/2616F值与F分布第十六页，共61页。F分布曲线F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自由度决定。第十七页，共61页。第十八页，共61页。F界值表附表3(P698)F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05下行：P=0.01

4.825.065.415.956.939.33

3.003.113.263.493.884.7512

99.3399.3099.2599.1799.0098.49

19.3319.3019.2519.1619.0018.512

585957645625540349994052

2342302252162001611

654321分子的自由度，υ1分母自由度υ2附表3第十九页，共61页。2023/3/2620

根据资料的设计类型，即变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和(即总变异)分解成几个部分(组内变异和组间变异)，其自由度也分解为相应几个部分；除随机误差因素以外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，通过比较不同来源变异的均方（MS），计算F值，借助F分布做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。方差分析的基本思想第二十页，共61页。21变异来源SSMSFP总N-1组间g-1组内(误差)SS总-SS组间N-g单因素方差分析表SS组间组间SS组内组内MS组间MS组内第二十一页，共61页。221、各样本为相互独立的随机样本,均来自正态分布总体

2、各样本所来自的总体方差相等方差分析应用条件第二十二页，共61页。2023/3/2623采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。(也称单因素方差分析)完全随机设计的方差分析

（completelyrandomdesign）第二十三页，共61页。例：某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组，进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?第二十四页，共61页。25

甲处理（n1）

N（试验对象）随机化分组乙处理（n2）丙处理（n3）

n1、n2、n3可等可不等（单因素）一、完全随机设计第二十五页，共61页。第二十六页，共61页。27二、变异分解第二十七页，共61页。表4-3

4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)第二十八页，共61页。三、分析步骤

H0：即4个试验组总体均数相等:1=2=3=4H1：4个试验组总体均数不全相等

=0.05

2.计算检验统计量按表4-4中的公式计算各离均差平方和SS、自由度、均方MS和F值1.建立检验假设，确定检验水准第二十九页，共61页。第三十页，共61页。表4-5完全随机设计方差分析表列方差分析表第三十一页，共61页。3.确定P值，作出推断结论

按=0.05

水准，拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义，认为4个试验组LDL-C总体均数不相等，即不同剂量药物对血脂中LDL-C降低影响有差别。第三十二页，共61页。注意：

方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本章第六节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的t

检验等价，有

。第三十三页，共61页。34（randomizedblockdesign）(1)

随机区组设计(randomizedblockdesign)又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。即：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。随机区组设计的方差分析第三十四页，共61页。例4-3

某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小鼠随机接受三种抗癌药物，以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？第三十五页，共61页。（2）随机区组设计的特点

随机分配的次数要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且各个处理组受试对象数量相同。区组内均衡。在进行统计分析时，将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离出来，从而减小组内离均差平方和（误差平方和），提高了统计检验效率。第三十六页，共61页。37例4-3

某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小鼠随机接受三种抗癌药物，以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？处理因素：三种药物（甲、乙、丙）实验对象及例数：染肉瘤小鼠共15只实验效应指标：肉瘤重量控制因素：小鼠体重实验设计：随机区组设计方法：1.将体重相近的3只小鼠为一个区组，共5个区组。

2.再将每个区组内的3只小鼠随机分配到三个试验处理组

第三十七页，共61页。

表4-7随机区组设计的试验结果

第三十八页，共61页。二、变异分解(1)总变异：反映所有观察值之间的变异,记为SS总。(2)处理间变异：由处理因素的不同水平作用和随机误差产生的变异，记为SS处理。(3)区组间变异:由不同区组作用和随机误差产生的变异，记为SS区组(4)误差变异：完全由随机误差产生的变异，记为SS误差。对总离均差平方和及其自由度的分解，有:

第三十九页，共61页。

表4-9不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g）

第四十页，共61页。H0：

1=2=3，即三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数相等

H1：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等=0.05

第四十一页，共61页。第四十二页，共61页。处理效应

据1=2、2=8查附表3的F界值表，得

结论：在α=0.05的水准上，拒绝H0，接受H1，认为三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等，即不同药物的抑瘤效果有差别。同理可对区组间的差别进行检验。区组作用根据v配伍为v1=4、v误差为v2=8，查F界值表，

得F0.05(4，8)=3.84，F0.01(4，8)=7.01F配伍＝5.95，F配伍＞F0.05(2,8)

，故P＜0.05。结论：按α=0.05水准，拒绝H0，认为各配伍组小鼠肉瘤重量的总体均数不全相等，即不同体重的小鼠的抑瘤效果有差别。第四十三页，共61页。2023/3/2644多个样本均数间两两比较完全随机设计或随机区组设计资料经方差分析后各组均数间的差别有统计学意义时，只说明几个组的总体均数不同或不全相同。若要进一步了解哪两个组间的总体均数不同，应进行多个样本均数间的两两比较又称多重比较(multiplecomparison)。

多个样本均数间的两两比较不能直接用两均数比较的t检验，因其会增加Ⅰ类错误的概率α。第四十四页，共61页。45如有4个样本均数，两两组合数为6，若用t检验需作C42=6次比较，且每次比较的检验水准为0.05，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为(1-0.05)=0.95,6次均不犯Ⅰ类错误的概率为0.956，这时总的检验水准为1-0.956=0.26,比0.05大多了，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。因此多重比较不能用两样本均数比较的t检验。第四十五页，共61页。2023/3/2646方法：LSD-t检验：适用于一对或几对专业上有特殊意义的两组间比较Dunnett-t检验：适用于多个实验组与一个对照组的两组间比较SNK-q检验：适用于任意两组间的两两比较第四十六页，共61页。SNK-q检验

（Student-Newman-Keuls）

适用于多个样本均数两两之间的全面比较。第四十七页，共61页。例4-9

对例4-4资料，问三种不同药物的抑瘤效果两两之间是否有差别？

H0：μA=μB，即任两对比较组的总体均数相等H1：μA≠μB，即任两对比较组的总体均数不相等α=0.05将三个样本均数由小到大排列，并编组次：第四十八页，共61页。

q检验步骤将所比较的组均数按大小排序、编秩次、计算q值根据检验水准和组内自由度（误差自由度）和组数a，查P706附表4中q界值q,(v,a)，从而推断结论。第四十九页，共61页。表4-16

多个均数两两比较值结论：可认为A药和B药、C药的抑瘤效果有差别，还不能认为B药和C药的抑瘤效果有差别。第五十页，共61页。2023/3/2651第五十一页，共61页。2023/3/2652多重比较q检验与t检验的不同点1.公式误差计算不同t检验q检验2.检验水准的界值不同第五十二页，共61页。2023/3/2653多样本方差齐性检验方差分析时要求所对比的各组即各样本的总体方差必须是相等的，一般需要在作方差分析之前，先对资料的方差齐性进行检验，特别是在样本方差相差悬殊时。如不满足方差齐性假定，应进行变量变换或改用秩和检验做比较。方差齐性检验方法：Bartlett检验法Levene检验法(资料要求：可不具有正态性)第五十三页，共61页。2023/3/2654变量变换变换的作用：满足t检验、方差分析等参数检验的方差齐性、正态性等要求。

第五十四页，共61页。2023/3/26551、对数变换

当标准差S和均数呈正比关系时，可用对数转换。

对数变换常用于：①正偏态分布的资料，尤其是数据呈等比关系的资料，使之成为正态分布或近似正态分布。②使各样本方差不齐且各组变异系数相近的资料达到方差齐