《探究与发现为什么截口曲线是椭圆》教学设计(安徽省市级优课)-数学教案

为什么截口曲线是椭圆教学目标：知识与技能：了解椭圆的不同定义（截面定义），理解椭圆是圆锥上的一种曲线，顺应椭圆概念产生的历史顺序，突出对椭圆定义的历史认知。过程与方法：经历从生活现象中抽象数学模型，解决模型的数学研究方法。感受旦德林双球法的巧妙构造，并在学习旦德林双球法后，培养学生举一反三的能力，空间想象能力。情感态度价值观：数学史知识的融入，激发学生学习数学的兴趣。发现数学源于生活，触手可及，体验数学之美妙。培养学生积极参与课堂的习惯以及发现数学美的能力。重难点：重点：使学生正确理解截口曲线是椭圆。难点：(1)旦德林双球证法(2)利用所得的结论解决与之有关的问题。教学方法：本节课的教学方法以“讲授法”为主，以问题教学法，小组合作学习等方法为辅，借助现代信息技术．教学过程：导入新课回顾：椭圆的定义？平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于F1F2)的点的轨迹.利用定义画出椭圆：情景体验如果给你以下道具，如何得到椭圆？【通过让学生收集生活中椭圆形象，学以致用，调动学生学习热情。】建立模型用一个不与地面平行的平面截圆锥，截口曲线是椭圆。提出问题：截口曲线为什么是椭圆？探究证明：问题：1.如何说明截口曲线是椭圆？椭圆的两个定点在哪？如何说明椭圆上的点到两定点的距离的和是常数？历史上，很多数学家尝试从纯粹几何的角度对这个问题进行了研究，在众多的数学家中，尤以Dandelion的证明方法最为巧妙，你们想知道他是怎么证明的吗？【吸引学生的有意注意，再次通过设疑让学生带着疑问进入新课的学习，有利于提高学习效果】．在圆锥内放入两个大小不同的球，使它们分别与圆锥侧面和截面相切。问题：1.猜想两个球与截面的切点分别是什么位置？球与圆锥侧面的切点组成什么图形？切点构成的图形与圆锥底面是什么位置关系？任作一条母线与两个切点圆相交于M、N，线段MN的长度会随着母线的不同而变化吗？【引导学生进行合情推理，类比猜想切点位置就为椭圆焦点位置．让学生明确旦德林(Dandelin)双球的与圆锥侧面﹑截口曲线相切时几何特点，培养学生的的观察能力与空间直观能力，突破难点，并为后面的探究埋下伏笔．】平面内过圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。那么在空间内，过求外一点引圆的切线可以引几条？切线长有什么关系？【通过学生讨论，师生合作，将平面结论推广到空间，培养学生将空间问题转化为平面问题的能力，同时进一步为后面的探究埋下伏笔.】探究证明：两个球分别与截面切于F1、F2，在截口曲线上任取一点P，过P作圆锥的母线与球切于M、N，求证：截口曲线是椭圆。证明：PF1=PMPF2=PNPF1+PF2=PM+PN=MN【通过学生思考，讨论，交流，教师指导，加上前面知识的铺垫，问题解决水到渠成，从而完成本节课重点的教学.】椭圆史话早在公元前4世纪，梅内克缪斯时期，希腊人利用垂直于母线的平面去截顶角分别为直角、钝角、锐角的正圆锥发现了直角圆锥曲线（抛物线）、钝角圆锥曲线（双曲线）和锐角圆锥曲线（椭圆）。阿波罗尼奥斯(约公元前262-190年)。古希腊数学家，所著的《圆锥曲线论》中便采用了截线定义。这部书可以说是古希腊几何学一部登峰造极的精擘之作。当时对于圆锥曲线的研究，完全从纯粹几何学的观点出发。在至少7个命题的基础上导出了“椭圆的焦半径之和等于常数”这一性质。17世纪，随着笛卡尔和费马解析几何的创立，圆锥曲线的研究进入了一个崭新的阶段。法国数学家拉伊尔抛弃了古希腊人的定义方法，将椭圆定义为平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹。1822年，比利时数学家旦德林在一篇论文中利用两个圆锥内切球直接在圆锥上做出椭圆截面的焦点，从而填平了古希腊圆锥曲线定义与17世纪定义之间的鸿沟。【适当介绍椭圆的起源，融入数学史的内容不仅仅是激发学生学习兴趣，更重要的是让学生了解椭圆真正的发现、及研究发展过程.】类比迁移用一个与圆柱母线斜交的平面去截圆柱，得到一条截口曲线，证明借口曲线是椭圆？【本题能有效反馈教学效果，是上述证明过程的延伸，能培养学生知识的迁移能力，举一反三的能力．】学以致用例1：如图，AB是平面的斜线段,A为斜足，斜线AB与平面成30°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交于点P,则动点P的轨迹（）圆B.椭圆C.直线D.两条平行线例2：如图，AB是平面的斜线段,A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹（）A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线【例题源于课本，又高于课本．本题以平面截圆柱为背景，能很好考查学生对知识的应用能力，锻炼学生的思维品质．】课堂小结本节课你有什么收获？课后拓展：1.截口曲线还可以是双曲线和抛物线，大家能否利用旦德林双球证明它们成立呢？2.一个半径为2的球放在桌面上，一束平行光线与桌面成30°，球在桌面上的投影是什么形状？离心率多少？【既是对本节内容的回顾，同时又为学有余力的学生指明探究的方向．】教学反思：本节课是阅读内容，之前学生已经学习了椭圆定义，但该定义与“圆锥”无关，不足以揭示椭圆被称为“圆锥曲线”的真正原因，圆锥曲线的命名真正源于平面截圆锥。本节是利用“旦德林双球”证明截面是椭圆，是很好的探究课题，有助于学生体验椭圆的形成过程，了解椭圆的发展史。本节课主要以问题引导教学，力图通过问题情景的创设引导学生积极思考，提升学生的思维能力。但对于学生来说利用本节几何模型解决问题是难点，在教学中注意引导学生建立模型，不能总是借助于形象的演示，训练空间想象能力。