高中数学选修4柯西不等式与排序不等式本讲高效整合3人教版

222222222222222222222abc222222ac22222222222222222222222abc222222ac222ac2第三讲

柯西不等与排序不等一、选择大共12小小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．若a，b，且则a＋b的取值范围()A5，25]C－1010]

B－210，210]D－5，5]解析：＋b，所以＋b5，A.答案：2＋…＋x＝1＋y＋＋y＝1xy＋x＋…的值()12n12n1122nnA．2

B．1C

D.

333解析：＋x＋…y＋x＋＋x＋y…＋y＝1，故选1122nn12n12n答案：3．学校要开运动会，需要买价不同的奖品40件、50件20件，现在选择商店中单价为元、3、元奖品，至少要()A．300C．320元

B．360元D．340元解析：排序原理知，反序和小为故选C.答案：4．已知a，b为实数，A．7C11解析：＋b)112≥＋1＝9，

＋b

111＋c＋的小值()B．9D

22222222222222xy2xyx22222222222222222222222xy2xyx222222222∴所求最小值，B.答案：5．设a，b

＝3，则ab的值()A．0B．1CD.

333解析：排序不等式a＋b≥ab＋bc＋ac所以ab＋bc＋ca故C.答案：6．表达式x1＋y1－x的值()A．2B．1C.2D.解析：为x1－y1－x≤

32x

＋1－x

－y

＋y

＝1故选B.答案：117．已知不等＋y)＋任意正实数恒立，则实数最大值(A．2B．4C.2D．1611解析：＋＝411因此不等式＋≥a对意正实数恒立，即a≤4故应选B.答案：8．设a，b为正数＋b则ab的最大值是)A.5B.3

)C3D.解析：＝aa)＋(b)＋(21＝[(＋(b))3

32

2222222222222222222222≥(a＋b＋2

13ab＋2≤3即所求3.答案：9．若a>b>c>db，则的小顺序()AC

BD解析：因a>d且b>c则，得，a>bc>d则a，得，C.答案：10．若0＜a＜a0＜b且＋a＝b＝1下列代数式中值最大的()1121212A．a＋a1122Cbb1221

B．a＋bb12121D.2解析：用特值法，令a＝0.7计作答；或根据排序1212原理，顺序和最大．答案：16．，b均实数且a＋b＋c＋d＝4＋b＋c＋d＝，则a的大3值为)A．16C

B．10D解析：造平面＝016球O：x－a，3则点必平面球O的共点，从而≤3

163

－a

，

222222222223a3b3a3c3bc22sinα2222＋2222222sinα222222222222222223a3b3a3c3bc22sinα2222＋2222222sinα222222即a

2

－2a≤0，解得0≤a≤2，故实数a最大值是2.答案：12非负实数9x＋12y＋5z＝9则函数的值()A．9C

B．10D解析：u＋(23)＋(5)，答案：二、填空题大共4小小题4共16分请把正确答案填在题中横线)11113．已知a，b都数，且＋9b＝3则＋的最________．abc4ac解析：由4a＋9b＋c，＋＝13111＋abc＝

4c4cca＋3b＋a＋3b＋a333333＋＋abc43bc4ac14a3b＝＋＋3＋＋＋＋3a3a3b3b33cc53b4ac4ac3b＝3＋＋＋＋＋＋＋54≥3＋＋4＋＝12.33答案：12ab14．已知a，b是给的正数，＋最小值_．解析：

asin

ab＋.答案：15．已知点是为23等三角形内一点，它到三边的距离分别为，所满足的关系式＋y的值_．

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222解析：用三角形面积相等，13×23)24即；由(x

＋y＋z

＝9则x＋y≥3.答案：316．若不等，对足x＋y＋z的一切实数恒，则实数的取围________解析：柯西不等式可(＋2＋y所以的最大值为3故有，或a≤答案：≥4或a≤－2三、解答题共6小共74分．答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17分知a＋b＝1求：证明：＋b＝1＝1.又由柯西不等式知＋b＋y＋by)

，，∴所以不等式得证．18分

＝1的值．解析：1＋2·x＝3.x2y3当且仅当，时等．123所以，当

3时，＝3.3当

3时，μ＝－3.3min

332222233333222222222222322222223322222333332222222222223222222222222222222222222222222222222219分≥b＞0证3a

＋2b≥3a

2

＋2ab

2

.证明：，，a

≥a

≥a

≥b

≥b

＞0由顺序和≥乱序和，得a＋a＋a＋b≥ab＋ab＋aa＋ab＋ab又a＋a＋aa＋ab＋abb＋2ab则

＋2b

3

≥3a

b＋2ab20分知，＝3求＋z的最．解析：法注到，且＝3为定值，利用柯西不等式得)(1＋1从而x≥3且仅当时“”号，所以x

＋z

的最小值为方法二：虑利用基本不等“＋b≥2ab进行求解，由x＋y≥9＋x＋y从而求得x

＋z

≥3当且仅当取＝”所以x＋z的最为21分，b正数，不全相等，求证：2229＋＋.a＋bb＋c＋a＋b证明：造两组数a＋bb，＋a1

，

1

，

1

，则由柯西不等式得a＋bb＋a＋b＋b＋a)

11＋＋a＋b＋c＋a

＋1，

①即＋b

111＋＋a＋bb＋c＋a

≥9.2229于是＋＋.a＋bb＋c＋a＋b

22212n＋1222212n222＋＋222212n22212n＋1222212n222＋＋222212n2229于是＋＋.a＋bb＋c＋a＋b＋c由柯西不等式知，①中有等号成立

a＋b＝1a＋b

b＋c＝1b＋c

＋a1＋a≥

a＋b＝b＋aa＝b2229因题设a，b不全相等，故①等号不成立，于是＋＞.a＋bb＋c＋aa＋b＋cxx22分∈Rx＋＋x＝1：＋…＋1