高中数学第二章2.3平面向量的数量积例题与探究

2.3平向的量典精例全国高考卷Ⅰ，文1)已向量a满足且a·，a与b的夹角为()A.

B.C.D.6432思解:查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条.∵cos〈a，〉

=，〉∈［，πa∴〈a〉

3

.答:绿通:向量与b的夹步骤：(1)计算·，|a|，|b|；(2)计算cos〈a，b(3)根据范围确定夹角的大小.变训1(2006广广州二若|2⊥a量b的角为)A.30°B.45°C.90°D.135°思解:a与b的角为θ，∵(a=0∴|-b·a·a=1.∴cos=答:

2=.又∵≤θ≤180°，θa||b|变训2知a=(1，

)，

+1，

-1)，则a与b的角是多?思分:用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦.解设a与的夹角为θ，∵，

)，

+1，

-1)，∴ab=

3

+1+

3

(

3

-1)=4，|a|=2，|b|=2

.∴cos=

2=.又∵≤θ≤π，∴θ=，a与夹角是a||b|变训3知与b都非零向量，且与7a-5b垂，a-4b与7a-2b直，求a与的夹角.思分:a与b的角余弦值，只要求出·b与a|、|b|可解∵(a+3b⊥(7，∴(a+3b)·(7a-5b)=0.∴7a+16a·=0.①

又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，∴(a-4b)·(7a-2b)=0.∴7a-30a·b+8b=0.②①②46a·b=23b，有ab=

11=|b|22代入①式，得7|a|+8|b|-15|b|=0，故有=|b|，|a|=|b|.∴cos〈a，〉

a

1==.b|2又∵0°≤〈a〉≤180°，a〉=60°，即a与b的角为60°.变训4已△ABC，，-20，试∠C.有位同学求解如下：解如图2-3-5，

BC

|=a=5，

CA

|=b=8，图2-3-5∴cos

|BC

=

201=-.52又∵0°≤∠C，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思解:述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于

BC

与

CA

两向量的起点并不同，故∠C≠〈

BC

，

CA

而是∠C+〈

BC

，

CA

〉=180°，则cos〈

BC

，

CA

〉

|BC

=

20=-.52又∵0°≤〈BC，〉≤180°BC，CA〉=120°.∴∠C=60°.答:位同学的解答不正确批是如果你再理解向量夹角的定义么你就成功了，请你再试试吧.例知向量、不共，且|2a+b|=|a+2b|求证：(a+b⊥(思分:查向量垂直的条件以及向量的数量.证明(a+b)与垂为明a+b)与的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何义来证.证法一：∵|2a+b|=|a+2b|，∴(2a+b)=(a+2b).∴4a+4ab+b=a+4ab+4b.∴a=b

∴()·(a-b)=a-b=0.又与不共线a+b≠0，a-b≠0∴()⊥(证法二：如图2-3-6所，在平行四边形OCED中，OAOC、、、的中.

=a，OB

=b,A、B、、分别是则有2a+b=

OCOBOCCM

图2-3-6，

，a+b=

12

OE

,a-b=

，∵|2a+b|=|a+2b|，OM|=||.∴△OMN是腰三角形.可证F是MN的点∴OE⊥BA.

⊥

NM

.∴

12

OEBA.∴(a+b⊥(a-b).绿通:明向量垂直的两种方法应化归思想化证这两个向量的数量积为0.(2)应向量加减法的几何意来证.变训已向量、b均非零向量，且|，证：(a-b⊥(a+b).思分:化为证明向量(a-b)和的数量积为0；或应用向量加减法的几何意来证明证法一：如图2-3-7所，在平四边形OACB中图2-3-7设OA=b则

，

.∴|

|=|

|.∴四边形OACB是形∴OC⊥BA.

⊥

，

即)⊥(证法二：，a-ba+b)=a-b=|a|-|b|=0.∵a均为零向量，∴a-b≠，a+b≠0.∴()⊥(例(2004湖高考，理如2-3-8，eq\o\ac(△,Rt)ABC中，知BC=a，长为2a的线段PQ以点为点，问

PQ

与

BC

的夹角θ取值时，

·

CQ

的值最大？并求出这个最大值图2-3-8思分:小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系解.解一(基向量法)∵，AB·=0.∵AP，BPAPAB，AQ∴·=(AQAC)

，=

·

AQ

-

·

AC

-

·

AQ

+

·

AC=-a-

·

AC

·

=-a-

·(

AC

)=-a+

12

PQ·=-a+

12

PQ

·

=-a+acosθ.故当cos=1,即θ=0(PQ与方相时，·最大，其最大值为0.解二(坐标法)如图2-3-9所示，以A为原点，ＡＢ所在直线为x轴立平面直角坐标系.

图2-3-9设AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)B(c0)，C(0b)且PQ|=2a,|BC|=a.设点P(x,y),则Q(-x,-y).∴

=(x-c,y),

CQ

=(-x,-y-b),BC

=(-c,b),

PQ

=(-2x,-2y),∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x+y)+cx-by.PA|=x+y,∴x+y=a.∵cos=

BCPQ||BC

=

cxa2

，∴cxcos.∴·CP

=-a+acosθ.故当cos=1,即θ=0(

PQ

与

BC

方向相同时，

BC

·

CQ

最大，其最大值为0.绿通:决向量问题的两种方法基量法择共线(最垂)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变训方形OABC的长为1，点E分别为AB、的中点，试求cos〈OD，OE〉的值.思分：优解法为坐标.解一(坐标法)如图2-3-10所.图2-3-10

以和OC分为x轴、y轴立平面直角坐标系，则有A(1，，C(0，，B(1，，∴OD

=(1，

11)，=(，，22故cos∠DOE=

OD|ODOE|

=

111225522

4=.5解二(基向量法)以OA

和OC

为基向量建立平面向量基.设

=a,

=b，则有|a|=|b|=1a,b〉=

2

，a∴

1ODOAOA+AB=OA+=a+b，2OEOC

+

1CB=OC+OAa+b.2∴|

OD

|=

(

)=b=2

，|OE=

()

2

=

2

2

=

52

，OD

·

OE

11=(a+b)(a+b)=aa·b22

=1.∴cos∠DOE=

ODOE|ODOE|

=

45

.问探问在角坐标系中位向量

旋转90°向量

OB

的位置个量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导:究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关探:图2-3-11所，在单位圆中，设OA=(a，)，，，图2-3-11∵

⊥

，且|

|=|

|=1，

xy0,1∴有21x22-a整理得或yy-a即当

按逆时针方向旋转90°时，

=(-a，a)，当OA

按顺时针方向旋转时，

=(a，-a).也就是把原向量的横纵坐标交换，并在其中一个前添加负.这一结论可以证明三角函数的诱导公.例如：求证cos(α+90°)=-sinαsin(α+90°)=cosα.