Excel与化工最优化问题演示文稿

Excel与化工最优化问题演示文稿当前1页，总共59页。本节要点本章背景最优化线性规划非线性规划作业当前2页，总共59页。问题的提出-最优化问题精馏塔回流比最优化管道保温层厚度最优化当前3页，总共59页。1

化工最优化问题当前4页，总共59页。化工最优化问题通过调整化工过程中各单元设备的结构、操作参数等决策变量，使得系统的某一目标或多个目标（经济指标、环境、安全、效率等）达到最优 厂址选择 拟采用的工艺和规模优化 设备设计和操作参数优化 管道尺寸的确定和管线布置 维修周期和设备更新周期的确定 最小库存量的确定 原料和公用工程的合理利用等当前5页，总共59页。最优化问题的标准形式最优化问题的标准形式式中w ─── 决策变量向量x ─── 状态变量向量h ─── 等式约束方程g ─── 不等式约束方程当前6页，总共59页。化工最优化中几个概念目标函数优化变量决策变量状态变量约束等式约束不等式约束可行域满足全部约束的决策变量取值方案集合约束是由于各种原因施加于优化变量的限制，确定了变量之间必须遵循的关系。如物料、热量平衡、相平衡等优化变量即最优化模型中涉及的全部变量向量。决策变量是可以独立变化以改变系统目标函数取值的变量，系统中的决策变量个数等于系统的自由度；状态变量是决策变量的函数，其值不能自由变化，而服从于描述系统行为的模型方程又称性能函数、评价函数：用于定量描述最优化问题所要达到的目标的函数。常见的目标函数有：成本、效益、能耗、环境影响、总生产时间等当前7页，总共59页。最优化问题的分类按照最优化问题的目标分类结构优化参数优化根据最优化问题有无约束分类无约束优化约束优化根据目标函数和约束条件的特性分类线性规划非线性优化当前8页，总共59页。线性规划与非线性优化线性规划目标函数及约束条件均为线性函数混合整数线性规划非线性优化目标函数或约束条件中至少有一个为非线性函数二次规划：目标函数为二次函数，约束条件为线性关系的最优化问题混合整数非线性规划当前9页，总共59页。2

线性规划当前10页，总共59页。2.1线性规划的基本理论线性规划的标准形式数学形式矩阵形式当前11页，总共59页。线性规划模型的标准化-1目标函数的标准化求最大值问题，可令将自由变量转化为非负变量对于无非负限制的自由变量xk，可变换为两个非负变量的差的形式当前12页，总共59页。线性规划模型的标准化-2把不等式约束转化为等式约束对于小于等于型不等式

引入松弛变量

，将不等式化为

对于大于等于型不等式

引入剩余变量

，将不等式化为当前13页，总共59页。例8-1将如下线性规划模型转化为标准形式目标函数： maxJ=7x1+12x2

约束方程： 3x1+10x2≤30 4x1+5x2≤20 9x1+4x2≤36

x1≥0，x2≥0当前14页，总共59页。例8-1解答解：根据上述规则，转化后的标准形式为目标函数：minJ=-7x1-12x2

约束方程：3x1+10x2+x3=30 4x1+5x2+x4=20 9x1+4x2+x5=36

x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0，

x5≥0当前15页，总共59页。线性规划问题的解将线性规划问题标准数学模型写为矩阵形式式中C=(c1,…,cn)是n维系数向量A为由系数aij组成的m×n矩阵b=(b1,…,bm)当前16页，总共59页。定义从A的列向量中选出m个线性无关的列组成m阶矩阵，用B表示，B称为问题的一个基，

，B中的向量称为基向量。

由A中的剩余列向量构成

，N中的向量称为非基向量。即A=(B,N)相应的，把X分解为将

称为关于基B的基本解若B-1b≥0，称B为可行基，称

为关于可行基B的基本可行解将目标函数的系数向量C分解为

，其中

当前17页，总共59页。两个定理定理1（最优性判别定理）线性规划问题的基B，若有B-1b≥0，且C-CBB-1A≥0

，则对应于B的基本可行解

是线性规划问题的最优解，称为最优基本可行解，基B称为最优基定理2对于具有标准形式的线性规划问题若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解若存在一个最优解，则必存在一个最优基本可行解当前18页，总共59页。2.2

线性规划问题求解图解法采用作图的方式获得规划问题的可行域和目标函数的最优解适用于涉及变量和约束较少的线性规划问题单纯矩形法目标函数的最小值（或最大值）一定可在基本可行解中获得通过多次矩阵运算，获得线性规划的最优解Excel，Matlab，Lingo，Gams当前19页，总共59页。例8-2

图解法用图解法求解下列线性规划问题：

当前20页，总共59页。例8-2解答最优解A点坐标为（2，3），该问题的最优解为

，

当前21页，总共59页。2.3Excel的规划求解工具Excel软件提供了求解一般规模数学规划问题的“规划求解”工具该工具具有界面友好、操作简单、与Excel无缝集成等优点可用于化学化工常见中、小规模线性规划、非线性规划、整数规划问题的求解Excel提供的规划求解工具对模型规模有一定限制：求解模型的决策变量数不超过200个。当“规划求解选项”对话框中的“采用线性模型”复选框处于选中状态时，对约束条件的数量没有限制；而对于非线性问题，每个可变单元格除了变量的范围和整数限制外，还可以有最多达100个约束条件当前22页，总共59页。规划求解工具的加载-2003当前23页，总共59页。规划求解工具的加载-2007当前24页，总共59页。Excel规划求解工具的使用步骤启动规划求解工具设置目标单元格，指定目标单元格及求解模式Excel支持的求解模式有：最大值、最小值、或目标单元格等于某一给定值设置可变单元格，即指定代表决策变量的单元格Excel将通过改变可变单元格中的数值使目标单元格达到最大、最小或给定值添加规划模型的约束条件，完成模型的输入调整规划求解选项，设定优化算法及相应参数运行规划求解，获得结果当前25页，总共59页。2.4Excel的应用求解例8-3某公司生产两种型号的汽油，其性能指标和销售价格见下页。该公司可供生产汽油的原料性能指标和库存量见下页。生产的汽油可在一周内成功售出，没有用完的原料可以作为燃料油以每桶8美元的价格出售。若汽油产品的蒸汽压力和辛烷值可根据其调和组分的相应性质加权平均计算，请给出使得该公司的销售收入最大化的最佳生产方案。当前26页，总共59页。例8-3条件表汽油型号

蒸汽压力

辛烷值

售价(美元/桶)80#≤7≥80$10.00100#≤6≥100$12.00原料

蒸汽压力

辛烷值

本周可用量(桶)催化裂化汽油8832,500异戊烷102091,200直馏汽油4744,000汽油产品的性能指标和销售价格原料的性能指标和可用量当前27页，总共59页。例8-3问题分析为化工生产中常见的产品调和问题，先建立该问题的数学模型，再使用Excel进行求解目标是销售收入最大化，写出目标函数式中Income───为销售收入q1,q2,q3───分别为80#汽油、100#汽油、燃

料油的生产数量（桶）p1,p2,p3───分别为80#汽油、100#汽油、燃料

油的销售单价（$/桶）当前28页，总共59页。例8-3

物料平衡约束使用变量xij代表第i种原料用于生产第j种产品的数量（桶）i=1,2,3分别代表催化裂化汽油、异戊烷和直馏汽油j=1,2,3分别代表80#、100#汽油和燃料油物料平衡约束当前29页，总共59页。例8-3各类约束1.蒸汽压限制2.辛烷值限制3.变量非负约束当前30页，总共59页。例8-3Excel求解步骤打开Excel，建立新工作表，输入公式当前31页，总共59页。例8-3Excel求解步骤-11.打开规划求解窗口当前32页，总共59页。例8-3Excel求解步骤-22.设置目标单元格3.设置可变单元格4.约束的输入

当前33页，总共59页。例8-3Excel求解步骤-35.设置规划求解选项当前34页，总共59页。例8-3Excel求解步骤-46.运行规划求解当前35页，总共59页。例8-3Excel结果分析-11.将xij四舍五入为整数当前36页，总共59页。例8-3Excel结果分析-22.整数规划按照与前面相同的步骤输入规划求解模型增加整数约束设置规划求解选项当前37页，总共59页。例8-3Excel结果分析-3整数规划的运行结果当前38页，总共59页。3

非线性规划当前39页，总共59页。非线性规划问题简介非线性规划是目标函数或约束中存在非线性关系的规划问题求解方法解析法数值法又称间接最优化方法，适用于目标函数及约束条件有显函数表达的情况，用导数法或变分法求解（如微分法、变分法、拉格朗日乘子法、庞特里亚金最大值原理等）又称直接最优化方法或优选法。不需目标函数为显函数表达式，利用函数在某一局部区域的性质或在一些已知点的数值，通过多次的迭代、搜索，逼近最优解当前40页，总共59页。3.1解析法求解非线性规划问题无约束最优化问题的解析求解方法对于多元函数

，若其所有的一阶导数

存在，则函数f(x)极值存在的必要条件为：

若其某个点上所有二阶偏导数

均存在，定义其Hessian矩阵为当前41页，总共59页。无约束最优化问题求解定义行列式得到的一组数值{D1,D2,…,Dn}称为H矩阵的主子式a该点为极小值的充分条件：Hessian矩阵为正定，即所有的Di>0b该点为极大值的充分条件为：所有偶数行列式为正，而所有奇数行列式为负。即当前42页，总共59页。无约束最优化问题求解步骤无约束最优化问题1.求解以下非线性方程组获得极值点2.根据Hessian矩阵判断极值点的性质若满足条件a，则该点为最小值若满足条件b，则该点为最大值当前43页，总共59页。经典求解方法的缺点为对于复杂的问题，非线性方程组的求解和Hessian矩阵的计算十分困难获得的解可能是局部极值，而非全局最小或最大值经典方法只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用实际问题中，最优值往往出现在导数不连续之处，如可行域的边界上当前44页，总共59页。有约束最优化问题经典求解法有约束最优化问题的解析解法拉格朗日乘子法罚函数法经典求解方法的缺点：对于复杂的问题，非线性方程组的求解和Hessian矩阵的计算十分困难；获得的解可能是局部极值，而非全局最小或最大值；经典方法只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用，实际问题中，最优值往往出现在导数不连续之处，如可行域的边界上当前45页，总共59页。拉格朗日乘子法对于有m个等式约束的最优化问题通过引入拉格朗日

函数

把有约束问题转化为无约束问题式中λ称为拉格朗日乘子。则其最优解为以下非线性方程组的解当前46页，总共59页。罚函数法对于有m个等式约束的最优化问题引入惩罚因子kj将目标函数f转化成带罚函数的目标函数F(x)当kj→∞时，函数F(x)的解即为上述规划问题的解当前47页，总共59页。罚函数法求解函数F(x)罚函数法求解函数F(x)最小值的计算步骤a给定初始点x0及一个适当的惩罚因子kb求F(x)的最小点x1，若x1可接受，则计算结束，否则转向c步c设k增大的倍数为a(a>1)，用ak代替原来的k，作为新的惩罚因子，以x1为起始点，返回b步一般来说，罚函数法是一种有效的求解方法，其缺点为：把罚函数引入目标函数可能引起二阶导数不连续，因此用梯度法来搜索最小值时会发生困难。这种方法是从不可行区域逐步收敛到解的，要求允许计算目标函数在不可行区域的值。对于复杂的模型可能会导致计算失败当前48页，总共59页。3.2非线性规划问题的数值求解目前没有一种适于求解各类非线性规划问题的优化方法常用的求解方法逐次线性规划法逐次二次规划法简约梯度法对于一般规模的非线性规划问题，可用Excel的规划求解工具进行求解当前49页，总共59页。使用Excel求解非线性规划问题例8-4：烃类首先进行压缩并和蒸汽充分混合后进入一烃类催化反应器，如图8-18所示。反应后的产物和未反应的原料通过蒸馏进行分离，使未反应的原料再循环使用。设原料加压所需的费用为每年1000p元（p为操作压力），将原料和蒸汽混合并送入反应器的输送费用为每年4×109/pR元（R为循环比）。又设分离器将产物分离所需费用为每年105×R元，未反应的原料进行再循环和压缩的费用每年为1.5×105×R元，每年的产量为107kga试求最优的操作压力p和循环比R，使每年的总费用为最小；b若需满足pR=9000，试求最优的p和R当前50页，总共59页。例8-4

工艺流程图当前51页，总共59页。例8-4

解答-a解：a.目标函数，为各项操作费用之和p，R应满足p>0,R>0使用Excel规划工具求解当前52页，总共59页。例8-4解答-bb：使用Excel规划工具求解当前53页，总共59页。作业当前54页，总共59页。1-题目

CompuQuick公司生产两种型号的计算机：Standard和Turbo。每出售一台Standard计算机可获利100元，每出售一台Turbo计算机可获利150元。CompuQuick公司的Standard生产线每天最多可生产100台计算机，Turbo生产线每天最多可生产120台计算机。每生产一台Standard计算机需要1个工时，每生产1台Turbo计算机需要2个工时。公司的劳动力每天最多可提供160个工时当前55页，总共59页。1-问题(a)如何安排生产可实现利润最大？(b)如劳动力不够，可外购工时。价格为20元/工时，外购工时最多不超过6