07年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数等于（）A．B．C．D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．3．设是两个集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有A．B．C．D．5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.9756．函数的图象和函数的图象的交点个数是A．4B．3C．2D．17．下列四个命题中，不正确的是（）A．若函数在处连续，则B．函数的不连续点是和C．若函数，满足，则D．8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A． B．C．D．9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（）A．10B．11C．12D．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。11．圆心为且与直线相切的圆的方程是。12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则。13．函数在区间上的最小值是。14．设集合，，，20．（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。21．（本小题满分13分）已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…。（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增。2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C2．D3．B4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。11．12．13．14．（1）（2）15．，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）。所以当为偶数时，，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）17．（本小题满分12分）解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是该人参加过两项培训的概率是所以该人参加过培训的概率是（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是01230.0010.0270.2430.729的期望是（或的期望是）18．（本小题满分12分）解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）过点作于点，连结由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，，，则所以，，，因为平面，，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，，，则，，，相关各点的坐标分别是，，，所以，设是平面的一个法向量，由得故可取过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线与平面所成的角是19．（本小题满分12分）解：（I）如图，，，，由三垂线定理逆定理知，，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，设，．则记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小（II）设，，总造价为万元，根据题设有则，由，得当时，，在内是减函数；当时，，在内是增函数故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元（III）解法一：不存在这样的点，事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于与之间，故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一。20．（本小题满分12分）解：由条件知，，设，．解法一：（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，，即又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以由①②③得④⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得。当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。故点的轨迹方程是。（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，。以上同解法一的（II）。21．（本小题满分13分）解：（I）当时，由已知得因为，所以①于是②由②－①得③于是④由④－③得，⑤所以，即数列是常数数列（II）由①有，所以．由③有，，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立。且即所求的取值集合是（