立体几何例题

2006年高考项训练------体几何如图，四棱锥P-ABCD底面是正方形，底面PD,//CD,AMEF(1)(2)

证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；若PAAB,直线AC与平面所成角的正弦值PEAM

F

DB已知三棱柱ABC中底边长和侧棱长均为a侧面A⊥面ABC，1111AB＝1

62

，（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；1（Ⅱ）求证⊥ABC1

如棱锥

SABCD

的底面是边长为1的正方形SD垂于底面ABCD

SDAB

C（I）求证

；（II）求面ASD与面成二面角的大小；（III）设棱SA的中点为M，求异面直线与成角的大小在棱锥—ABC中ABC是长为的三形，平面⊥平面，SA=SC=2

，M、分为AB、SB的点.（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）求二面角—CMB的大小；（Ⅲ）求点B到面CMN的离如下,在长方体ABCDABCD中已知ADAA=、分是线段111AB、BC上点，且EB=

00求二面角CDE的切值;1求直线与FD所成的余弦11

D1

C1A1

B1D

CA

E

B

F如底面是菱形的四棱锥P—ABC中PB=PD=2a,点E在PD上且（I）证明⊥平面ABCD；（II）求以AC棱，EACDAC为的二面的大小；（Ⅲ）在棱上否存在一点F使BF//平面AEC证明你的结.PEA

DB

C

D1HD1H在长为的正方体ABCD-AB中O是方形ACD的中心，点P在1111111上，且CC=4CP.1(Ⅰ求直线与面BCCB所成的角的大小（结果用反三角函数值表11(Ⅱ设点平面DAP上射影是H，求证：DH⊥；11(Ⅲ求点到面的离A·D

B

AB如，已知四棱锥—ABCDPB⊥AD侧面为长等于正三角形，底面ABCD为形，侧面与底ABCD所的面角为120°（I）求点P到面ABCD的离，（II）求面与CPB所成二面角的大.

oo如，直三棱柱ABC-ABC中，ACBAC，＝11侧面AABB的两条对角线交点为D，B的中点为M111(Ⅰ)求证：⊥平面；(Ⅱ)求面B与CBD所二面角的大小．1

，侧棱＝1，110.三锥，侧面PAC底面ABC垂，PA==PC求证ABBC；(II)如果AB=BC=2

，求与面所角的大小．PA

CB

11.如，棱锥—ABCD中，底面ABCD为矩形AB=8边三角形，并且与底面所成二面角为60（Ⅰ）求四棱锥ABCD的积；（Ⅱ）证明⊥BD.

，侧面PAD为已知四棱锥P—ABCD底面ABCD是形PD点为AB点，点F为PD中.（1）证明平面⊥面PAB；（2）求二面角—AB—F平面角的余弦值.A

平面ABCDPD=ADPFE13.如四棱锥—中是方形棱PD底面ABCD，E是的点，作⊥PB于F（1）证明PA//面EDB；（2证明PB平面EFD；（3求二面角—PB—D的小

PF

EDAB

C14.如，知正方形ABCD和形ACEF所的平面互相垂直，AB=2，AF=1，是段EF的点（Ⅰ）求证AM∥平面；

（Ⅱ）求二面角A——的大；

M

C

D

参考答案解（I证明：因PA⊥底面，有PA⊥，知AB⊥AD，故AB面PAD，推得BA⊥AE又AMEF，且AM=EF，证得AEFM是形，故AMMF.又因AE⊥，AE⊥CD，故AE面，而MFAE得MF⊥面，故MFPC，因此MF是的垂线（II）解：连结BD交AC于，结，过O作的线OH垂足H在BE上易知⊥面MAE，DEBE，又OHBE故OH//DE，因此OH⊥MAE.连结AH则HAO是要求的线AC与NAE所的角设AB=，PA=3a，

12a2

因eq\o\ac(△,Rt)ADE~Rt△PDA故

aa2(3a)2

a10

OH

1210从而在Rt中HAO

OH215.AOa解（Ⅰ）

105

）略.解（I证明：如图SDA图

C

底面ABCD是方形

BCDC

底面ABCDDC是在面ABCD上射影由三垂线定理得（II）解：

底面ABCD且ABCD为方形

可以把四棱锥

SABCD

补形为长方体

CSABCD111

，如图面ASD与所的二面角就面

ADSA1

与面

BCSA1

所成的二面角，BC，BC//AS

又

S1

C为求二面角的平面角在

中，由勾股定理得

SC

在

SDC

中，由勾股定理得

SDCSDl

即面ASD与所的二面角为CSABCDA图

B（III）解：如图3

图SD，SDA90D等腰直角三角形

又M是边SA的点DMAD，BA，ADSDD

面ASDSA是面ASD上射

影由三垂线定理得

DM

异面直线DM与所的角为

90P

解一）取AC点D连结SD∵SA=SCAB=BC∴⊥且AC⊥BD，∴⊥平面，SB

平面SDB，∴⊥SB.（Ⅱ）AC平面，AC面ABC∴平面⊥平面ABC.过作⊥BD于，⊥平面ABC过作⊥CM于F连结，则NFCM.∴∠NFE为面角N－－的面角.∵平面⊥平面ABC，⊥，∴⊥平面ABC.又∵⊥平面，∴∥1∵，∴SD=2

SA2AD

2

=

12

12

=

2

，且ED=EB.在正△ABC中由平几知识可求得

11，42在eq\o\ac(△,Rt)中∠NFE=

ENEF

=22，∴二面角N—CMB的小是

（Ⅲ）在△中

2EN

2

=

32

，∴=CMN

1CM22

，=CMB

12

BM·.设点到平面CMN的距离为h∵V=V，⊥平面CMB，B-CMNN-CMB

·h=·NECMNCMB

∴h=

CMB

=

242即点到面的离为3

解法二）AC中，结OS、∵SA=SCAB=BC∴⊥ACBO.∵平面⊥平面ABC，平面∩面ABC=AC∴SO⊥面ABC∴SO⊥如图所示建立空间直角坐标系－yz.则A（2，，（，2

，0（2，0，0（，，2

2

M(1

，，N(0，

，

2

).∴=（－4，0，0（03，2∵·SB=（－4，0，03，22），∴⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得

=（3

，0

MN

=（－1，0

）.设（x，y，）平面CMN的个法向量，CM

·+，则

取，则=MN·n=+

2

，2z=0，

，∴，－，1)又=(0，0，22)平面的一个法向量，∴cos(n

)=

n||

=

∴二面角N－CMB的小为arccos

（Ⅲ）由（Ⅰ）

MB

=（－1

，0n=（

，－

，1为平面CMN的一个法向量，∴点到平面CMN的距离

MB=.n|

22222222ABAD,）以A为点，分别为x轴y轴轴正建立空间直角坐标系，则有D(0,3,2)E(3,0,0)F(4,1,0)C(4,3,2)1

A1

D1

B1

C1于是，(1,3,2),FD4,2,2)1

D

C设向量

,,)

与平面CDE垂，则有1

A

E

B

FnDExy1xynECz,,)(z2取n是个与平DE直的向,00向量与平面垂,nAA所成角二角C的面角1nAA6cos|n||103

22（II）EC与所成角β，则1cos

ECFD1FD1

11(

2114PEA

DB

C

（Ⅰ）证明因为底面ABCD是形，∠°所以AB=AD=AC=a在PAB中由PA+AB=2a知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，以⊥平面（Ⅱ）解作EG//PA交于，由PA⊥平面知EG⊥平面ABCD.GHAC于H，连结，则EHAC∠EHG即二面角的面.

(a(a又::1，所以

13aGHsina.33从而

t

,GH

（Ⅲ）解法一以A为标原点，直线AD、AP分别为轴z轴过A点直平面PAD的直线为x，建立空间直角坐标系如.题设条件，相关各点的坐标分别为331(0,0,0),B(aaC(a,2221D(0,a(0,0,a),(0,a).33

z所以

213(0,,),aa,0).33

F

31(0,0,a),,a22a,,).2

x

y设点F是PC上点，

3PFa中02

则331BFa,,)a222

1a(12

令

BFAE

得

34(1a即,1(11.3解得

113,.222

即

12

时，

1BFAE2亦即，是PC的中点时，

BF

、

、

共面又BF

平面，以当F是的点时BF//平面解法二当F棱PC的点时平，证明如下，证法一取的中点，连结FM，则①1由EM,知是MD的点2连结BM、BD设BDAC=O则O为BD的点所以②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.证法二

PA

MF

E

D因为

BFBC

1CPAD(DP)2

BO

C

HHAD(AD)(AEAD)222所以

BF

1AE2、AE、AC共面.

D

又BF平面ABC，而BF//平面417解1）APB17（2略32（32

AA

D

·

BB

（I解：如图，作O平面ABCD垂足为点连结OA、ODOB交点E，连结∵⊥PB∴⊥OB，∵PA=PD，OA=OD于是分AD，为AD中点，所以⊥AD.由此知为PAD与ABCD所二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠°由已知可求得PE=

∴·sin60°

3

32

，即点P到面ABCD距离为

32

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中为标原点，轴行于DA.333(0,0,),BPB中点G的坐标(,)2244

连AG.又知

33C(,0).2

由此得到：33GA),4(0,

33),2,0,0).22有所以

GAPBGA,的夹等于所求二面角的平面角，

11111111122123222221111111112212322222于是

GA|GA||

27

,所以所求二面角的大小为

277

解法二图的点G的点结EGAGGF⊥PBFG//BC，FG=

12

∵AD⊥，⊥PB，⊥PB，∴∠AGF是求二面角的平面.∵AD⊥面，AD⊥EG.又∵，∴EG⊥PB，且°在eq\o\ac(△,Rt)中EG=PE·cos60°

32

在eq\o\ac(△,Rt)中EG=

12

AD=1.EG于是∠=又∠π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－

32

9.解一如，连结CAAC、CM则CA=2，∵CB=CA2，△为等腰三角形，又知D为底边AB的点，CD⊥AB，11∵A=1，B=2，AB=又BB，∴AB=211

，∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)CB为直角三角形D为AB的点CD=A，CD=CC1111又AC=DM=CM∴CDN≌eq\o\ac(△,)M∠CDM=CC,11即CDDM，

AA'D因为AB、为面内两条相交直线，所以CD⊥平面1(II)设、G分为、BD的点，连结BG、FGB，1则FGCD，FG=∴FG=，FG⊥BD.2

CBB'

C'由侧面矩形BBAA对角线的交点为D,知BD=BAB=11所以eq\o\ac(△,BB)eq\o\ac(△,)是长为1的正三角形，于是B⊥BD，G=11

，

A'∴∠GF是求二面角的平面角1又=BB).11

G

M

11),M(,1,0),(,,),(,-1,-1),)，∴(-11),M(,1,0),(,,),(,-1,-1),)，∴(-∴∠BGF=1

BFBG

(

))2

即所求二面角的大小π解二如图以C为点建立坐标系2,0,0),B(,1,0),A

222

21A2222DM,-),CDDM∴⊥A⊥DM.1因为AB、为面内两条相交直线，1所以CD平面(II):设BD中点为G，连结BG，则1

M

yG

(

32131,),BDBG(,),BDG4422

BD⊥CD⊥BD，1∴

与

B

的夹角

等于所求二面角的平面角，cos

G|||

所以所求二面角的大小为π-arccos10.P

A

CB⑴证明：取中连BO∵PA∴又∵侧面PAC底ABC∴PO面又PB＝PC∴AO＝＝CO∴△直角三角形∴

PNA

O

CMB⑵解：取的中点为连结，所以有13)22AO=2

12

AB=

，∴

PO

PA

2

由⑴有PO平面ABC,OMBC，由三垂线定理得PM∴平面POM面PBC又PO=OM=3∴是腰直角三角形，取PM的中N，结则ONPM,又平面平面且线是ON面∴ONC即为AC与面所成的角16ONPM3)2,OC622∴

sinONC

ON1∴ONC.故与面PBC所成的角为OC266

11.解）如图1取AD的点，结PE，则⊥AD.作⊥面在ABCD，垂足为O连结

根据三垂线定理的逆定理得⊥，所以∠PEO为面PAD底面所成的二面角的

平面角，

由已知条件可知°PE=6，所以

，四棱锥—的积V

PABCD

1=3（Ⅱ）解法一：如图，以O为点建立空间直角坐标通过计算可得（，，3（23，3，0B，，0D（－3，，0）所以

3),BD3,因为

24

所以PA⊥BD.

DF

C图2

解法二：如图，连结，长交BD于点通过计算可得EO=3，AE=2

，又知

，得

EO.AB所以eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)BAD.得EAO=∠ABD.所以∠EAO+°所以AF因为直AF为线PA在面ABCD内的身影，所以PA（1证明：连接BD.ABAD,

为等边三角.

PE

是AB中DE

…………

F

面ABCD面ABCDABPD.DE

面PEDPD

面PED，

AB

面

A

PED.…………4分面PAB面PED

面……………6分

E（2解：AB平PED，PE面，AB连接EFPEDABEF.

为二面角P—AB—F的面角.………9分设AD=2，那么PF=FD=1，

P在

PEF,

7,EFPF

FPEF

(27

,

A

E

即二面角

—AB—F

的平面角的余弦值为

514

.

…12分PF

ED

C13.

A

B

方法一：（1）证明：连结ACAC交BD于，结EO

∵底面ABCD是方形，∴点O是中点在中是中位线，∴PA//EO而

EO

平面且

PA

平面，所以，//平EDBPF

EDOAB

C（2证明：∵PD底面DC底ABCD，∴

PD∵PD=DC，可知

是等腰直角三角形，而DE是边PC的线，∴

DEPC

①同样由PD底面ABCD得PD⊥BC∵底面ABCD是方形，有DC⊥BC∴BC平面PDC而DE平，DE②由①和②推得DE平而PB平，

DE又

EFPB

且

E

，所以⊥面EFD（3解：由（2）知，

DF

，故

EFD

是二面角—PB—的面角由（）知，

PD设正方形ABCD边长为a则

,BD

2aPD3a1DE2

，

PD2DC在Rt中

PDa2aaPB3在RtEFD，sinEFD

DEDF6

，∴

3所以，二面角——的小为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系为标点，设（1证明：连结ACAC交BD于，结

aa(0,0),P),E,)依题意得2∵底面ABCD是方形，G是正方形的中心，故点坐标为

a(2

a2

,0)

且a,,0,)2∴

EG

，这表明PA//EG

z而

EG

平面且

PA

平面EDB，∴PA//平面

（2）证明；依意得

(a0)

，

,

又

aaaa2DE)，0022∴DE

y由已知EFPBEFDEE以PB平EFD（3解：设点F的标为

(y,)0

，

PF

，则

x(y),a)0从而

xyz000

所以FE,

a1y,)()22由条件

EFPB

知，

FE0

，即11)a20，得2aa2a∴点F的标(,,)，333aaa2FE,)，FD,)36333∴

PB

2a2a203即

FD

，故

EFD

是二面角—PB—D的面角∵

FE

a2a26

，且a26a246FE，|a699

，

a

∴

EFD

FE||FD|

66aa6

12∴

EFD

3所以，二面角——的小为14.方一

解()记AC与的交点为O,连接