解析函数的级数表示

第一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一节复变函数项级数一、复数项级数第三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三解例1第六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三二、复变函数项级数第七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三三、一致收敛级数的判别方法判别法1第十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三四、一致收敛级数的性质第十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二节幂级数一、幂级数的敛散性

由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂级数的敛散性。1.阿贝尔定理第十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三二、求收敛圆半径R的公式（1）比值判别法第二十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第二十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三例2解

综上第二十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三例3求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。第二十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三

综上该级数发散。该级数收敛，第二十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三故该级数在复平面上是处处收敛的.第三十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三三、幂级数在收敛圆内的性质第三十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第三十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三例4解代换展开还原第三十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三解代换展开还原第三十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第三十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）

由幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。第三十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第三节解析函数的泰勒展开

上节证明了：幂级数的和函数在其收敛圆内解析。本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。

——解析函数与幂级数的密切关系一、泰勒定理第三十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第三十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第三十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三二、将解析函数展开成泰勒级数的方法常用四种方法：第四十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三例2解收敛半径第四十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三3.利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商第五十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三4.在收敛圆内逐项求导或逐项积分第五十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第五十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第四节解析函数的洛朗展开

由前面的讨论

知,f(z)在b

解析，则f(z)总可以在b

的某一个圆域z-b<R内展开成z-b

的幂级数。若f(z)在b点不解析，在b的邻域中就不可能展开成z-b

的幂级数，但如果在圆环域R1<z-b<R2

内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，第五十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三由此推想，若f(z)在R

1<z-b<R2

内解析,f(z)可以展开成以b为展开中心的级数，只是这个级数含有负幂次项,即第五十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三

本节将讨论在以b为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。第六十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三预备知识复连通域的Cauchy积分公式DbR1R2rRk1k2D1z第六十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三一.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：第六十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-b=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-b=R2外发散。

第六十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三bR1R2bR2R1第六十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三

(2)在圆环域的边界z-b=R1,

z-b=R2上,第六十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三二函数展开成双边幂级数定理第六十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三证明由复连通域上的Cauchy

积分公式：DbR1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2第六十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第六十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三DbR1R2rRk1k2D1z式(*1),(*2)中系数an的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕b的简单闭曲线k，由复合闭路定理可将an写成统一式子：第六十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三式(*1),(*2)中系数an的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕b的简单闭曲线k，由复合闭路定理可将an写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第七十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点

b的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第七十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三三展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。事实上，DbR1R2c第七十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三DbR1R2c第七十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三

由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式求Laurent系数的方法。二、将环域内的解析函数展开成罗朗级数的方法与步骤：第七十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第七十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第七十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第七十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第七十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第七十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第八十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点例如第八十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三xyo这说明奇点未必是孤立的。第九十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三二、孤立奇点的分类和性质孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。第九十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三三、解析函数零点与极点的关系第九十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第九十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三第一百零六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期三