线性代数第三章3-2矩阵的秩

第二阵的三、矩阵的秩的性把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的数是唯一确定的

矩阵的 在mn矩阵A中任取k行k列（km,kn），位于这些行列交叉处的k2个元素,不变它们A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩Ak阶子式.概念辨析k阶子式、矩阵的子块、

a14

24

34与元素a12相对应 矩阵A的一个2阶子M12

相应的代 (1)12

a13

23 mnAkCkCk个 设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子式D，且所有r1阶子式（如果存在的话）全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩mn矩阵ARAA中不等于子式的最高阶数对于 显有R(AT)R(矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数显然 若矩A中所t阶子式等于零R(At． 当|A|≠0R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A|0R(An不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵 R(AT)=R(A)

25例1A5

3，求该矩阵的秩

解 32

计算的3阶子式

3

3

3

RA 2 例 求矩阵B

5的秩

3 0解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3 B的所有4阶子式全为零 而030042 R(而03004练2 3 8 211

44二、矩阵的秩的计 0例：求矩阵A的秩，其中A

34 2分析：A中，2阶子

0120 A3阶子式C3C3

40(个要从40个子式中.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行两个等价的矩阵的秩是否相等因为对于任何矩Amn总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形.问题：经过变换矩阵的秩变吗定理先证先证明：若A经一次初等行变则RAR(B).

A~B,RA设R(A)r，且A的某个r阶子式 当ABAB在B中总能找到与 相对应的子式Dr由于 或 或 kDr因此 0，从而R(B)r.当AB时Dr中不含第iDr中同时含第i行和第jDr中含第i行但不含第j对(1),(2)两种情形，显然B中与Dr对应的子式Dr Dr 0,故R(B)r.对情形

ri

kj

Dˆ 若ˆ rˆ中不含iA中有不含irr非零子式 R(B)r.若ˆ DrDr0,R(B若ˆ 故也R(BRRAR(B).设A经初等列变换变为B,也有R(A)R(B). A经初等列变换变为则 经初等行变换变为BT R(AT)R(BTRARATR(BR(BT R(A)R(B).综上A经有限次初等变换变为B(A~B),RAR(B).证应用例 设A

202050360156433秩，并求A的一个最高阶非零子解 对A作初等行变换，变成梯解 ： 0A2

1 3 4664360152050 r1 22 0A

12 32 4 4r1

1

3 0 0A

12 32 4r1

r2

1r32

r43

12r3r4

00

4 1 8r4

8 4 1 0 80 0由阶梯形矩阵有三个非零行RA2.2.A RA3,知A的最高阶非零子式3 A的3阶子式C3C340 A的行阶 0 1

4 A

4 64310040000记A(64310040000阶梯形矩

1

R(B)4 4 0 4 1

00 800

0

4

4

1A2

0800 0 4

32536205A的一二四列，前三行构成的子式

2 160. 则这个子式便A一个最高阶非零子n阶可逆 A A的最高阶非零子式为ARA A的标准形为单位EA~E

1例 2

设A

,b

3 3 6 4A及矩阵B

分析：设B的行阶梯形矩阵则~则A就是A的行阶梯形矩阵

~ (A,b~,~)B B

2 3 2

4 1 00r 2r1 0r4 3

5 1 r2

0r3

5r43

1r3

10021000r4

1 1 0R(A) R(B)(1)(1)0R(Amn)min{m,(2)(2) R(AT)R( 若A~B,则RAR(B) 若P,Q可逆，则RPAQR若Amn若AmnO则RAR(B max{R(A),R(B)}R(A,R(A)R(B)R(AB)R(A)R(B)R(AB)min{R(A),R(B)}例：例：An证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n证明：(A＋E)(E－A2E，由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)=nR(A＋E)＋R(A－E)≥n例：例：Am×nBn×lCR(A则R(B)R(CEnO O Em阶可逆矩阵P，

PA n．于 E

B

OPCPAB nB O

O

B因为R(C)R(PC)R(B)R(C

R(B)R O O 400 00

行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线下方全为零 3 0 r1r2r2 403 03

每个台阶只有一行行最简形矩阵非零行的第一个非零元为这些非零元所在的列的00000

它元素都为零例：例：Am×nBn×lCR(An，则R(B)=R(C 每个非零元所在的列的其它元素都为于是A的行最简形中应该包含以下n个列向量1 0 00 1 0n

⁝ ⁝0,0

⁝,1 0 0 0mn

⁝ ⁝

⁝

En．返O ．返O 例：Am×nBn×l=CR(A)=n，则R(B)=R(C)附注n ．n 因此，本例的结论当A为为方阵时，就是性质④ ABOA为列满秩矩阵，B=O．