函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

仅供个人参考函数对称性、期性和偶性关民数组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式(x()（2偶函数关于（即轴对称偶函数有关系式f(f()Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数yx)关对f()fa)Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialusef(f(a也可以写成f(x)fa或f(f)若写成：f()b)，则函数f()关于直线x

(ax)b)对称22证x,y)在f)上，通f(x)f(2)可1y()f(2)，即点(2a也在yf()上，而点1(,)与(2,)关于x=a对称。得证。11Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse说明：关于xa对称要求横坐标之和，纵坐标相等。(与(,y)关于对称，∴函数yf(x)关于x对称1111f()fa)∵((2a,y)关于对称，∴函数f()于x称111f()f(2a)不得用于商业用途

仅供个人参考∵,)(a,y关于x对称，∴函数f()关于对称1f()f(2ax)（2）函数的点对称：函数yx)关于(b对f()f)2b上述关系也可以写成f(2)f()b

或

f(2x)f(x)2若写成：f()f()，函数f()于

ac,)对称2证明：设(x,y)在f(x)上，f()通过f(2a)f()2b111可知，)(x)2所以f(2)2fx)2，所以点1(2aby)也在yfx)上，而(2b)(x,y)关(a,对称111得证。说明:关点(a,)对要求横为,坐标和为2b,如()与（a)之和为2。（3）函数y)关于点yb对称:设函数关于yb称，即关于任一个x值都有两个y值与其对应显然这不符合函数的定义故函数自身不可能关于yb称。但在曲线c(x,y)=0，则有能会出现关于c(,)xy它关于y=0对称。

yb对称，比如圆（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则－x)]＝f[g(x)]。复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则＝f(x)关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。总结：的系数一个为1，一个为1，相加除以2可得对轴方程总结：系数一为1一个为1，理成两边，中一个系数是为，另一个-1存在对中心。总结：的系数同为为1，具有周性。不得用于商业用途

仅供个人参考(二)、两个函数的图象对称性1、yf(x)与()关X轴对称。设y()任一为()则fx)以y(x)点1111(1()(x关于X轴对称fx)与(x)关于X轴对称11111注：换种说法：f()与y()(x若满足f(x)x)，即它关于y对称。2、yf(x)与f)于Y轴对称。证明设yf()任一点()则fx)所以yf)过()11()(y)关于Y轴对称，∴fx)与f)于Y轴对1111称。注：因为()代入yf)得yf(f()所以f)经过点1111()1换种说法：y)与yg()f()若满足f)g(，即它们关于x0称。((f()3、yf(x)与f)关于直x

对称。证明：设yf()上任一点为)f)，所以yf(2)经过点111)11()y)1111

关于x轴对称，∴yf)与yf)关于直线x对称。注：换种说法：f()与y()f)若满足f(g(2a)，即它们关于对称。4、yf(x)与y2()关于直线a对称。证明：设yf()任一点为(xy)则yf(x)所以af()经过点1111(,2ay)1∵(y)(x,2a)111称.不得用于商业用途

关于y轴对，∴f(x与2()关于直线

仅供个人参考注：换种说法：f()与y)af(x)若满足f()()，即它们关于对称。5、yf(xbfa)关于点(a,b)称。证明：设yf)任一点(x)则fx)，所ybf(2a)经过点111,2b)1()(2by)于点(a,b)对称，∴f()与b(2a)关1111于点(a,b)对称.注：换种说法：f()与yg()f)若满足f(x)即它们关于点(a,b)对称。)bf(2a))f(x6、y()fx)关于直

a2

对称。证明：设yf()任一点为()则fx)，所以yf(a)经过点11(a),f()点(y),a,y)与)线1111

a2

对称，∴y(与fx)关于直

a2

对称。三、总规律：定义在Ｒ上的函f称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、

同一函数的周期性、对称性问题即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数f()，如果存在一个不为零的常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f()f(x)都成立，那么就把函数fx)叫做周期函数，不为零的常T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数yf()满足如下关系式，则x的周为TA、f(x)(x)不得用于商业用途

B、fx)

1fx)fx)x

满足满仅供个人参考满足满T1f(x)()C、()或f)（等式右边加负号亦成立）1f)1f()D、其他情形（2）函数y)满足f(a)f(且(x)(b)，则可推出f()fa)f[ba)]f[(2a)]f[2(b)]可以得到yf(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3如果奇函数满足x)(x)则可以推出其周期是2T且可以推出对称轴为x

T2

kT(kz)，根据f()f()以找出其对称中心为(kT(k)以T如果偶函数满足fx)(x)亦可以推出周期是2T以推出对称中心为(

T2

(k，根据f(xf(x)可以推出对称轴为xkT(k)（以T（4）如果奇函数

yf()f(T)

T函数

yf()

是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数

yf()f(T)T函数

yf)

是以2T为周期的周期性函数。定理1若函数上满足)ff(bfb函数yf期.定理2：若函数上满足f(aff)（其ab函数fb期.定理3函数f上满足(ax)fx()a函数f期.定理4

数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称则f(x)，（不得用于商业用途

仅供个人参考定理5

数a,c）(则，2（定理6

若函数都则b-a）定理7

若数f(x)满足则f(x)2a是定理

f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0)(或

f)

f(x+a)=－f()

)f(x)周期函数，2a定理9

f(x)

(x)f()

(f(x0)

f(x)是周f(x)满足

f(

f(xf()

((xa

f(x)是周期函数，不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,