如何在概念课中渗透抽象的数学思想方法-以《体积与容积》一课为例

如何在概念课中渗透抽象的数学思想方法——以《体积与容积》一课为例【摘要】数学思想方法不同于一般的概念和技能，更应该是长期地渗透和影响才能够形成。数学思想方法重在领悟，教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。【关键词】数学抽象，提炼本质特征，数学语言，数学理论一、什么是数学思想新课标中提出：数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。二、什么是数学思想方法

数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题时所采用的各种方式和手段。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。二、数学思想方法的重要意义长期以来，传统的数学教学中，只注重知识的传授，却忽视知识形成过程中的数学思想方法的现象非常普遍，它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者，特别是一线的教师们充分认识到:中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识;另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识。事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是会遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。不管他们将来从事什么职业和工作，数学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用。三、小学数学思想方法有哪些数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想，推理思想、模型思想，有这三个基本思想演变、派生、发展出很多其他的较低层次的数学思想。这些数学思想的关系如下。抽象思想：符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、限与无限思想、变中有不思想。推理思想：公理化思想、化归思想、类比推理、归纳推理、演绎推理、变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想。模型思想：简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、随机思想、统计思想。其他数学思想方法：数学美思想，分析法和综合法，反证法、假设法，穷举法，数学思想方法的综合应用。什么是抽象思想。抽象是人类认识世界的科学方法和思维活动。只有通过科学的抽象，才能更深刻、准确、全面地把握事物的内部联系和本质特征。数学抽象是指从实物中抽象出一般规律和结构，用数学符号、术语予以表征。任何数学概念、公理、定理、法则等都是抽象概况的结果。高斯曾经说过：“在数学中重要的不是符号，而是概念。”概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，更是学生理解问题、分析问题、解决问题的前提。数学概念是“双基”（即基础知识和基本技能）教学的核心内容，是基础知识的起点，是逻辑知识的依据，是正确、合理迅速运算的保证。学生正确、清晰、完整地掌握数学概念，是掌握数学知识的基础。如果学生对概念不明确，也会影响学生的学习兴趣和学习效果。学生概念清楚了，才能进行分析推理，逻辑思维能力和解决问题的能力才能不断提高。因此，在教学中如何使学生形成概念，正确地掌握和运用概念极为重要。那么如何让学生在学习中抽象概况出数学概念呢？我通过以下几点尝试：（一）直观演示，引入空间大小由于数学概念比较抽象，而小学生的思维方式从直观形象思维过度到抽象逻辑思维，是以直观形象为主。认识一个事物，理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。所以本节课课始，我以量杯倒水实验，直观地引导学生理解空间的概念。然后比较生活中物体所占空间的大小。【片段一】实验一实物呈现：两个同样大小的玻璃杯，左边的盛满水，右边的放一个油桃。师：想象一下，如果将左边杯中的水倒入右边的杯中，会怎样？学生猜测后，演示操作。师：实验结果和大多数同学预测的一样，那么为什么左边的杯子里还会剩下一些水？生1:因为右边的杯子中有一个桃子。生2:右边杯子里的桃子占掉了一些地方，那么放水的地方就变少了。师引导：右边杯子有一部分空间被桃子占去了，所以左边杯子里还剩下一些水，这说明桃子是占一定空间的。实验二实物呈现：两个同样大小的玻璃杯，左边的放一个油桃，右边的放一个荔枝。师：猜测一下，如果往这两个杯中倒满水，哪个杯里的水多一些？生1：倒入左边杯中的水少一些，倒入右边杯中的水多一些。师：能说说这样猜测的理由吗？生2：因为左边杯子中的桃子比右边杯子中的荔枝大。大的物体占据的空间大，水就少了。小的物体占据的空间小，水就多了。演示操作：将两个杯子中的水果取出，验证哪个杯子里的水多。师小结：桃子占的空间大，相应的杯中的水就少；荔枝占的空间小，相应杯中的水就多。物体所占空间的大小叫作物体的体积。师：你能举例比较两个物体的体积吗？学生举例交流……【我的思考】“体积”教学的核心任务是培养学生的空间概念。空间概念作为人脑对物体在空间内的存在形式产生的间接的、概括的反映的一种特殊的思维形式，是人们在长期的生活实践中形成的。对于体积的概念，六年级的学生并不是一无所知。往杯子里倒水，是每个学生日常生活中经常做的事。在构建概念环节把倒水作为学习素材，目的是帮助学生在已有生活经验的基础上理解体积的意义。课堂上通过多次直观的倒水实验，学生很容易就感知到物体是占空间的，并且能体会到物体所占的空间是有大有小的。这样的倒水实验，丰富了学生对身边常见物体的体积大小的感性认识。正是这些感性认识的不断积累，实现了感性认识到数学思维的无缝对接，帮助学生逐渐建立空间观念。（二）动手实验，切身体会空间的大小实物呈现：一个白炽灯的灯泡。师：这个灯泡有体积吗？它有容积吗？生：这个灯泡有体积，因为它占了一定的空间。灯泡也有容积，因为灯泡里面是空的，它能容纳物体。师：有办法知道这个灯泡的体积和容积各是多少吗？生1：可以用阿基米德的方法把灯泡放入水中并浸没，上升的水的体积就是灯泡的体积。灯泡的玻璃很薄，它的体积和容积差不多的，所以灯泡的体积就可以看作它的容积。生2：虽然灯泡的玻璃很薄，它的体积和容积差不多，但体积还是会比容积大一点。师：有办法更精确地测出灯泡的容积吗？学生交流后，感到有困难……师：这样的问题也困扰过爱迪生的助手，一起来听一下。课件出示图片，并播放故事音频。（有一次，爱迪生把一个电灯泡的玻璃壳交给他的助手，让他计算电灯泡的体积。这位助手冥思苦想，列了大量的公式和算式，结果算了一个上午也没有算出来。爱迪生从外面回来时，看见助手仍然在一大堆公式和数据中苦苦思索。他见到爱迪生后表示抱歉，也感到很羞愧。助手解释由于电灯泡不是规则的图形，因而没有完成任务。爱迪生笑了笑，什么也没有说。他接过助手手里的电灯泡壳，往里面注满了水，再把水倒入一个有刻度的量杯中，结果出来了，助手恍然大悟……）师：爱迪生的助手恍然大悟了，你们呢？学生测一测容积的大小。【我的思考】选择测灯泡的体积和容积作为拓展应用，主要是基于以下三个层次的目标来考虑：第一层次是考考学生能否从前面的两个故事中受到启发借助水来测量灯泡的体积；第二层次是测测学生是否明确体积和容积的区别；第三层次是看看学生能不能把测量不规则物体体积的方法灵活迁移到测量不规则物体的容积。从课堂反馈情况来看，前面两个目标已经顺利达成，而对于第三个目标学生感到有困难。所谓“迁移”是一种学习对另一种学习的影响，通过迁移能使原有的认知结构得以不断扩展和壮大。数学概念的学习离不开“感知——观察比较——提炼总结——抽象概念形成”的过程，而概念的形成又是教学活动的重要组成部分。教师要提供素材给学生观察、比较、分析和概况用丰富的直观体验揭示概念的本质属性，帮助学生掌握概念。本节课学生通过观察、比较、实验、操作等具体活动，获得充分的空间大小的感性认识，再引导学生在感性认识的基础上，抽