高数第十章曲线积分与曲面积分

/第十章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）1、定义SKIPIF1<0，SKIPIF1<02、物理意义线密度为SKIPIF1<0的曲线SKIPIF1<0质量为SKIPIF1<0线密度为SKIPIF1<0的曲线SKIPIF1<0质量为SKIPIF1<03、几何意义曲线SKIPIF1<0的弧长SKIPIF1<0SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的弧长SKIPIF1<04、若SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（常数），则SKIPIF1<05、计算（上限大于下限）（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0二、对坐标的曲线积分1、定义SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<03、两类曲线积分之间的联系SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0为有向曲线弧SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0处的切线向量的方向角。SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为有向曲线弧SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0处切向量的方向角。三、格林公式及其应用1、格林公式SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的取正向的整个边界曲线2、平面上曲线积分与路径无关的条件（SKIPIF1<0为单连通区域）定理设SKIPIF1<0是单连通闭区域，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(i)沿SKIPIF1<0内任一按段光滑封闭曲线SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；(ii)对SKIPIF1<0内任一光滑曲线SKIPIF1<0，曲线积分SKIPIF1<0与路径无关，只与SKIPIF1<0的起点和终点有关；(iii)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内某一函数SKIPIF1<0的全微分，即在SKIPIF1<0内有SKIPIF1<0；(iv)在SKIPIF1<0内处处成立SKIPIF1<0注若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的全微分SKIPIF1<0：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0四、对面积的曲面积分1、定义SKIPIF1<0SKIPIF1<02、物理意义：SKIPIF1<0表示面密度为SKIPIF1<0的光滑曲面SKIPIF1<0的质量。3、几何意义曲面SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<04、若SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（常数），则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<05、计算（一投、二代、三换元）（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0。五、对坐标的曲面积分1、定义SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、物理意义流量SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<03、计算（一投、二代、三定号）（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（上侧取正，下侧取负）（2）SKIPIF1<0:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（前侧取正，后侧取负）（3）SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（右侧取正，左侧取负）4、两类曲面积分之间的联系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为有向曲面Σ上点SKIPIF1<0处的法向量的方向余弦六、高斯公式1、高斯公式SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的整个边界曲面的外侧，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0处的法向量的方向角。2、通量向量场SKIPIF1<0，沿场中有向曲面ΣSKIPIF1<0称为向量场SKIPIF1<0向正侧穿过曲面Σ的通量3、散度设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0七、斯托克斯公式1、Stokes公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中有向曲线SKIPIF1<0是有向曲面SKIPIF1<0的整个边界，且满足右手系法则2、环流量向量场SKIPIF1<0沿场SKIPIF1<0中某一封闭的有向曲线SKIPIF1<0上的曲线积分SKIPIF1<0称为向量场SKIPIF1<0沿曲线SKIPIF1<0按所取方向的环流量。SKIPIF1<03、旋度向量SKIPIF1<0为向量场SKIPIF1<0的旋度SKIPIF1<0。旋度SKIPIF1<0SKIPIF1<0典型例题1.曲线积分1计算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为圆周SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。解：(方法一)根据公式将曲线积分化为定积分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于在曲线SKIPIF1<0上SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0为曲线段SKIPIF1<0的长,所以SKIPIF1<02计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为圆周SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。分析由于曲线SKIPIF1<0分段光滑，所以先将SKIPIF1<0分为若干光滑曲线段之和，再利用曲线积分的可加性计算曲线积分。解：SKIPIF1<0图10-2SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图10-2SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03计算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为折线段SKIPIF1<0,这里SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。分析求本曲线积分的关键是求直线SKIPIF1<0的参数方程.空间过点SKIPIF1<0的直线的对称式方程SKIPIF1<0令该比式等于SKIPIF1<0,可得到直线的参数方程。图10－3解：SKIPIF1<0图10－3线段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<04计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为折线段SKIPIF1<0所围成区域的整个边界。解：(方法一)如图10-4SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-4SKIPIF1<0的方程为:SKIPIF1<0图10-4SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(方法二)由于曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称,而SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的奇函数,故SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称,而SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的奇函数,故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。注意一般地,若曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称,则有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的部分。若曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称,则有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的部分。5计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为圆周SKIPIF1<0SKIPIF1<0。解：(方法一)如图10-5（a）,SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0图10-5(a)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-5(a)SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-5(b)图10-5(b)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(方法二)如图10－5（b）SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，由直角坐标与极坐标的关系,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0。注意①在方法一中,参数SKIPIF1<0表示圆心角,而在方法二中,参数SKIPIF1<0表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同。②若曲线在极坐标系下的方程为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,可直接引用此式。③该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算。6计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0。分析计算这个曲线积分的关键,是正确的写出SKIPIF1<0的参数方程。一般地,如果SKIPIF1<0的方程形式为SKIPIF1<0时,先求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的投影柱面SKIPIF1<0,即利用两个曲面方程消去SKIPIF1<0,再求出平面曲线SKIPIF1<0的参数方程SKIPIF1<0,并将其代入其中一个曲面方程解出SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0的参数方程。解：(方法一)由于SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上过球SKIPIF1<0的中心的大圆．两个曲面方程联立消去SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0①在①式中,令SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③将②,③代入平面SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于积分曲线方程中的变量SKIPIF1<0具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意利用变量之间的轮换对称性技巧来解对弧长的曲线积分,往往有事半功倍之效。7计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是摆线SKIPIF1<0上对应SKIPIF1<0从0到SKIPIF1<0的一段弧。解：根据公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0对应于SKIPIF1<0的点到SKIPIF1<0的点。解：如图10-6，SKIPIF1<0图10-6SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-6(方法一)取SKIPIF1<0为参数,SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。(法二)取SKIPIF1<0为参数,SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0始点对应的参数值为1,终点对应的参数值为0。由于SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<09SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是用平面SKIPIF1<0截球面SKIPIF1<0SKIPIF1<0所得的截痕,从SKIPIF1<0轴的正向看去,沿逆时针方向。解：将SKIPIF1<0代入球面方程SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,并将其代入SKIPIF1<0得,SKIPIF1<0。SKIPIF1<0的参数方程为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0始点对应的参数值为0,终点对应的参数值为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<010利用格林公式计算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为圆周SKIPIF1<0,沿逆时针方向。解：SKIPIF1<0由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0常见错解设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0错误原因在曲线积分中SKIPIF1<0的方程可以直接代入曲线积分中,但在二重积分中SKIPIF1<0所以把SKIPIF1<0的方程代入二重积分的被积函数中是错误的。注意①利用格林公式计算对坐标的曲线积分时,SKIPIF1<0不要颠倒了。②计算沿闭曲线对坐标的曲线积分时,常利用格林公式简化计算。图10-711计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为上半圆周SKIPIF1<0,沿顺时针方向。图10-7解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0如图10-7,由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意①利用格林公式计算沿非封闭曲线的积分时，常用坐标轴上或平行于坐标轴的直线段作为辅助线。图10-8图10-812计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,沿逆时针方向。解：如图10-8适当选取SKIPIF1<0,作圆周SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0包含在SKIPIF1<0的内部,并取SKIPIF1<0的方向为顺时针.则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所包围的区域SKIPIF1<0内有连续的一阶偏导数,且SKIPIF1<0构成SKIPIF1<0的正边界.由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常见错解SKIPIF1<0错误原因SKIPIF1<0及一阶偏导数在SKIPIF1<0点没有定义,故不能直接使用格林公式。注意在本例中，若把SKIPIF1<0换为不过原点的任意分段光滑且无重点的闭曲线，应该分为原点在SKIPIF1<0所包围的区域内和原点不在这个区域内两种情况进行讨论。对前一种情况，曲线积分利用此例的方法就可以求出。图10-913证明曲线积分SKIPIF1<0在整个坐标面SKIPIF1<0上与路径无关,并计算积分值。图10-9解：(方法一)SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在整个坐标面SKIPIF1<0上有连续的一阶偏导数,所以曲线积分与路径无关。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于被积表达式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以曲线积分与路径无关.设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0。14设SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0。解：(方法一)设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由SKIPIF1<0,把SKIPIF1<0看作不变的,对SKIPIF1<0积分得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。注意①利用方法一求函数SKIPIF1<0时，选择的起点不同求出的SKIPIF1<0可能相差一个常数。②此例还可以用例13中方法二来求。曲面积分例1计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0在第一卦限的部分。图10-11解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影区域SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0.由于图10-11SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。例2计算SKIPIF1<0SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为锥面SKIPIF1<0被圆柱面SKIPIF1<0所截得的有限部分。解：(方法一)如图10-12,SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影区域SKIPIF1<0为:SKIPIF1<0。因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-12所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0图10-12在极坐标系下SKIPIF1<0为:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(注意奇函数在对称区间上的积分等于0)(方法二)由于SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0面对称,且被积函数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的奇函数,故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0注意在计算对面积的曲面积分中,经常用对称性来化简运算.但应用这一性质时,不仅要考虑积分曲面的对称性,同时要考虑被积函数的对称性。例3计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是界于平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0之间的圆柱面SKIPIF1<0。解：将SKIPIF1<0投影到坐标面SKIPIF1<0上,其投影区域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常见错解因为SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影为圆周,其面积为0,于是SKIPIF1<0错误原因此例中,说“圆柱面SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影为圆周,其面积为0”是对的,但据此确定曲面积分为0是错误的。由于SKIPIF1<0的方程不能写成SKIPIF1<0的形式，所以应将曲面投影到其它两个坐标面上。注意计算对面积的曲面积分时,把积分曲面投影到哪个坐标面上,要根据积分曲面方程的表达式来确定。一般地,把SKIPIF1<0投影到坐标面SKIPIF1<0上,则SKIPIF1<0的方程应写为SKIPIF1<0的形式；把SKIPIF1<0投影到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0坐标面上,SKIPIF1<0的方程应写为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式。图10-13例4计算积分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0含在柱面SKIPIF1<0内部分的上侧。图10-13解：如图10-13,SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影区域为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常见错解SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的面积。错误原因这里把对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分混淆了,SKIPIF1<0是正确的,而在对坐标的曲面积分中,微元SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影与SKIPIF1<0不同,其正负由SKIPIF1<0的侧来确定。图10-14例5计算曲面积分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是抛物柱面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所截下的那部分的后侧曲面。图10-14解：如图10-4,因为柱面SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影是一条曲线,由定义知SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在坐标面SKIPIF1<0上的投影区域记为SKIPIF1<0。由于SKIPIF1<0取后侧,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意将对坐标的曲面积分投影到坐标面上时,不要忽视了SKIPIF1<0侧。图10-15例6计算曲面积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。图10-15解：(方法一)将分片光滑曲面SKIPIF1<0化为若干片光滑曲面之和,即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。则在SKIPIF1<0上积分为0,而由轮换对称性SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。(方法二)设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0在整个平面上有连续的一阶偏导数,由SKIPIF1<0所包围的空间区域记为SKIPIF1<0,根据高斯公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意如果认为SKIPIF1<0,则是错误的,因为在三重积分中SKIPIF1<0。例7计算曲面积分SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是连续函数,SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0在第四卦限部分的上侧。图10-16分析在被积函数中含有未知函数SKIPIF1<0,而根据已知条件不图10-16能求出SKIPIF1<0,因此不能直接利用公式计算积分.虽然已知被积函数连续,但没有偏导数存在的条件,不能用高斯公式计算积分.在此题中,SKIPIF1<0上任意一点的法向量的方向余弦是常数,化为对面积的曲面积分可以消去SKIPIF1<0。解：由于SKIPIF1<0取上侧,故SKIPIF1<0上任意一点的法向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的夹角为锐角,其方向余弦为SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例8SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为有向曲面SKIPIF1<0,其法向量与SKIPIF1<0轴正向的夹角为锐角。分析直接利用公式计算这个积分,需要将SKIPIF1<0分别投影到SKIPIF1<0两个坐标面上,计算两个二重积分,比较麻烦。虽然SKIPIF1<0不是闭曲面,不能直接用高斯公式,但可以通过添加辅助面化为沿封闭曲面的积分。图10-17解：设SKIPIF1<0取下侧,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所包围的空间区域SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影为SKIPIF1<0。图10-17SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例9SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0闭曲面SKIPIF1<0包含原点且分片光滑,取其外侧。解：设SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0所围成的空间区域,在SKIPIF1<0内以原点为中心,作球面SKIPIF1<0,取其外侧。SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成的闭区域记为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内具有一阶连续的偏导数,由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据高斯公式,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于在球面SKIPIF1<0上的任意点SKIPIF1<0的外法线向量的方向余弦为:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常见错解设SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0所围成的空间区域,根据高斯公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0错误原因因为SKIPIF1<0及一阶偏导数在SKIPIF1<0处无定义,不满足高斯公式的条件,所以直接应用高斯公式计算这个积分是错误的。注意①由轮换对称性,积分SKIPIF1<0，然后直接用公式计算该积分也较简单。②积分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为曲面SKIPIF1<0上在点SKIPIF1<0处的外法线向量,SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的向径,是本题的另一种表达形式,这个积分也称为高斯积分。例10计算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为下半球面SKIPIF1<0的上侧,a为大于零的常数。 分析本题可以根据公式分块计算,也可以添加辅助平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0构成封闭曲面，然后利用高斯公式计算。但应注意,被积函数在（0,0）点没有定义,所以应先根据曲面积分的性质处理,再添加辅助平面SKIPIF1<0。解：(方法一)将SKIPIF1<0代入被积函数,SKIPIF1<0SKIPIF1<0分块计算.分别设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0面上的投影,即SKIPIF1<0:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以,SKIPIF1<0。(方法二)设SKIPIF1<0,取其上侧,由高斯公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所包围的区域,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的平面区域SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例11计算曲面积分SKIPIF1<0，其中Σ为锥面SKIPIF1<0介于平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<