高级宏观经济学-第四版-中文-罗默课后题答案

′′2.1

第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学第版_中文罗默课后题答案第2章无限期模型与代交叠模型考虑N个厂商，个厂商有规模报酬变的生函数=𝑭(𝑨𝑳),YF

或者采用紧形式𝒀=𝑨𝑳𝒇()假设

(·)>𝟎,𝒇′′

(·)<。设所有厂商能以工资雇劳动以成本r租赁资本并且所有厂的A都相同。（）考虑厂商生产单位产的成本小化问题。明使成最小化的k值唯一定并独立于Y，由此证明所厂商都择相同的k。（b）虑某单厂商，若其有相同产函，并且劳动和资本投入是上述N个厂商的和，证其产也等于N个厂商成最小化总产出。证明求是厂商选择资本和有效劳动以最小化成本𝐴𝐿+𝑟，同时厂商受到生产函数𝑌=(的约束。这是一个典型的最优化问题。min𝐴𝐿+𝑟𝐾s.t.𝑌=𝐴𝐿()构造拉格朗日函数：(𝐴𝐿,)=𝑤𝐴𝐿+𝑟𝐾+[𝑌−𝐴𝐿()]求一阶导数：𝜕𝐹𝜕𝐾

=𝑟−[𝐴𝐿𝑓

′

(𝐴𝐿𝐴𝐿=0𝜕𝐹𝜕𝐴𝐿

=𝑤−[(𝐴𝐿−𝐴𝐿𝑓′𝐴𝐿𝐴𝐿))]=0得到：𝑟=[𝐴𝐿𝑓

′

(𝐴𝐿⁄𝐴)]=𝜆𝑓

′

()𝑤=𝜆[(𝐴𝐿)−𝐴𝐿𝑓

′

(𝐴𝐿𝐴𝐿)

2

)]=𝜆[()−𝑘𝑓

′

()]𝑟′)=𝑤()′)上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，-1-

̅𝐶1𝜃21222𝐶21121̅𝐶1𝜃21222𝐶211211这便是成本最小化条件。（b为每个厂商拥有同样的k和N个成本最小厂商的总产量为：∑∑()=𝐴()∑=𝐴()𝑖𝑖𝑖𝑖=1𝑖=1𝑖=1

为N个厂商总的雇佣人数厂商拥有同样的并且选择相同数量的，k的决定独立于的选择。因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产𝑌=𝐴()产量。这恰好是个厂商成本最小化的总产量。2.2

相对风规避系数不的效用数的替代弹。想某个只活两期，其效用数由方程2.43给定令𝑷和分别表示费品这两期的价，W表示此人终生入的价值，此其预约束是：𝑪+𝑷𝑪=𝑾（）已知𝑷和𝑷和W则此人效用大化的和是多少？（b）期消费间的替代弹为−

𝑷

)⁄(𝑪

𝑪

𝝏(𝑪

𝑪

)⁄𝝏(𝑷

𝑷

，−𝝏𝒍𝑪𝑪

𝝏𝒍𝒏

𝑷

。明，若用函数为（2.43），是则与𝑪之间的替代弹为⁄𝜽答）这是一个效用最大化的优化问题。𝑚𝑎𝑥=

1𝜃1𝜃

+

1𝐶1+𝜌𝜃

（1）𝑠.𝐶+𝑃𝐶=𝑊

（2）求解约束条件：

=⁄−𝐶𝑃𝑃2112

（3）将方程（3）代入（1）中，可得：𝑈=

1𝜃1𝜃

+

1𝐶1+𝜌𝜃

−𝜃

（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程4）两边对求一阶条件可得：𝜕𝑈⁄𝜕=𝜃1

+

11+𝜌

𝜃−𝑃212

)=0解得：

=(1)𝜃(𝑃)1𝜃212

（5）将方程（5）代入（3有：-2-

222121221222==222121221222==00𝐶=⁄−(𝜌𝜃𝑃𝑃)𝜃𝐶𝑃𝑃2解得：𝐶

=

⁄𝜃

(𝜃)𝜃

（6）将方程（6）代入（5）中，则有：𝐶

=

𝜃⁄𝜃⁄𝜃(𝜃⁄𝜃

（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：𝐶𝐶=(𝜌)

𝜃

(𝑃𝑃2

)

𝜃

（8）对方程（8）两边取对数可得：𝑙𝑛(𝐶)=(1⁄)𝑛(+𝜌+(1𝜃)𝑛(𝑃)则消费的跨期替代弹性为：

（9）−

(𝐶𝐶)𝑃𝜕𝑙(𝐶𝐶)122(𝑃)𝐶𝐶𝜕𝑙(𝑃)𝜃22因此，𝜃越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。2.3（a）假设先知道某一时𝒕，政府没收个家庭时所拥有财富的一。那么，消是否会时刻𝒕发生突变化？什么？（如会的话请说明刻前后消费之间的关（b）设事先道，在某一刻，政府没收每家庭当时所有的部分财富其数量等于时所有庭财富平均平的一。那么，消是否会时刻发生突变化？什么？(如会，请明时刻前后费之间关系。)答）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时eq\o\ac(△,)𝑡，从(+。0

−到考虑家庭在(−)期减少每单位有效劳动的消费为

。然后他在(+)投资并消费一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这0一财富变化对一生的效用没有影响。这一变化有一效用成本

′

(𝑐)，在𝑡+会有一收益𝑒前

𝑟𝑔]

eq\o\ac(△,𝑡)

，财富的回报率为𝑟(𝑡)，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为(1)′(𝑐)𝑒后

𝑟𝑔]

eq\o\ac(△,𝑡)

。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满-3-

∞∞∞𝑙𝑛𝑡)𝑚𝑎𝑥=𝑒∫𝜌𝑡∞∞∞𝐿(𝑡)𝑡)第二章无限期模∞∞∞𝑙𝑛𝑡)𝑚𝑎𝑥=𝑒∫𝜌𝑡∞∞∞𝐿(𝑡)𝑡)足下列条件：𝑢

′

()=前

12

′()后

𝑡𝑛

eq\o\ac(△,𝑡)

在≠时，有下式：1′()=′()前2后因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收为了最优化他一生的效用家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。2.4

设方程2.1）的瞬效用函(为𝒏(𝑪。考虑家在（2.6的约束下大化方程（2.1）的问题请把每时刻的C表示为初财富加劳动收入现、(𝒕以及用函数各参的函数答：𝑈=∫𝑒𝑡=0

𝜌𝑡

𝑢(𝑡))

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡

2.1∫𝑒𝑡=0

𝑡)

(𝑡)

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡≤

)𝐻

+∫𝑒𝑡=0

𝑡)

(𝑡)

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡

2.6本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。∞𝑡)𝑡=0

𝑑𝑡

（1）𝑠.𝑡.𝑒𝑡=0

𝑡)

)

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡=

)𝐻

+∫𝑒𝑡=0

𝑡)

𝐴(𝑡)

𝐿(𝑡)𝐻

（2令𝑊=

)𝐻

+∫𝑒𝑡=0

𝑡)

𝐴()(𝑡)𝑑𝑡𝐻建立拉格朗日方程：∞=∫𝑒𝑡=0

𝜌𝑡

()∞𝑙𝑛(𝑡)𝑑𝑡+𝜆[𝑊∫𝑡))𝑡=0

𝐿(𝑡)

𝑑𝑡]求一阶条件：𝜕𝐿𝐿(𝑡)𝑡)=𝜌𝑡(𝑡𝜆𝑡)𝜕𝑡)𝐻𝐻抵消项得：𝐻-4-

=0

∞∞1∞∞()𝑠.𝑡.𝑒𝑟𝑡第二章无限期模型与∞∞1∞∞()𝑠.𝑡.𝑒𝑟𝑡𝑒

𝜌𝑡

(𝑡1=𝜆𝑅𝑡

（3）可以推出：(𝑡=𝑒

𝜌𝑡

1

𝑒

𝑡

（4）将其代入预算约束方程，得：∫𝑒

𝑡)

𝑒

𝜌𝑡

1𝑡

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡=𝑊

（5）将(𝑡)=𝑒

𝑛𝑡

(代入上式，得：1

𝐿(0)𝐻

∫𝑒

𝜌𝑛𝑡

𝑑𝑡=𝑊

（6）只要𝜌𝑛>0，则积分项收敛，为𝜌𝑛)

，则：𝜆

=

𝐿(0)

(𝜌𝑛

（7）将方程（7）代入（4(𝑡=𝑒

𝑅(𝑡)𝜌𝑡

𝐿(0)

(𝜌𝑛

（8）因此，初始消费为：(0)=

𝐿(0)

(𝜌𝑛

（9）个人的初始财富为

𝐿(0)

明消费是初始财富的一个不变的比例。(𝜌𝑛为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率𝜌而言，𝜌大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。2.5

设想某庭的效用函由（2.1（式给定。假设实利率不，令W示家庭初始财富加终生劳收入的现值[(2.6)的右端]。知、和效用函中的各参数求C的用最大路径。𝑈=∫𝑒

𝜌𝑡

𝑢((𝑡)

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡

2.1𝑢((𝑡=

𝑡

1𝜃

2.2𝜃答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：𝑚𝑎𝑥=∫𝜌𝑡𝑢((𝑡))

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡

（1）∞𝐿(𝐻-5-

𝑑𝑡=𝑊

（2）

𝑡第二章无限期模型与世代交叠模型𝑡W表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。建立拉格朗日方程如下：∞𝐿=∫𝑒

𝜌𝑡

(𝑡1𝜃𝐿(𝑡)1𝜃𝐻

∞𝑑𝑡+𝜆𝑊∫𝑟𝑡(𝑡)

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡求一阶条件，可得：𝜕𝐿𝐿(𝑡)𝐿𝑡=𝜌𝑡(𝑡𝜃𝜆𝑟𝑡𝑡)𝐻𝐻抵消𝐿(𝑡)/，得：

=0𝑒

𝜌𝑡

(𝑡

𝜃

=𝜆𝑒

𝑟𝑡

（3）两边对时间t求导，可得：𝑒

𝜌𝑡

𝜃(𝑡)

𝜃1

(𝑡𝜌𝜌𝑡

(𝑡

𝜃

+𝑟𝑒

𝑟𝑡

=得到下面的方程：𝜃

𝑡𝑡

𝑒

𝜌𝑡

(𝑡)

𝜃

𝜌𝜌𝑡(𝑡)𝜃+𝑟𝑒𝑟𝑡=0

（4）将方程（3）代入（4得：𝜃

(𝑡(𝑡

𝜆𝑒

𝑟𝑡

𝜌𝑟𝑡

+𝑟𝑒

𝑟𝑡

=0抵消𝜆𝑒

𝑟𝑡

然后求消费的增长率，可得：𝑡𝑡𝑟𝜌=𝑡𝜃

（5）由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果𝑟>𝜌，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如𝑟<𝜌，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果𝑟>，则𝜃决定了消费增长的幅度。𝜃值越低，也就是替代弹性越高，𝜃越高，即消费增长的越快。重写方程（5：𝑙𝑛𝐶𝑡)𝑡

=

𝑟𝜌𝜃

（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间=0时间=t，可得：𝑙𝑛(𝑡𝑙𝑛(0)=

𝑟𝜌𝜃

𝜏|

𝑡𝜏=0上式可以简化为：𝑙𝑛(𝑡)⁄(0)=𝑟𝜌)/𝜃𝑡-6-

（7）

∞∞[[′第二章无限期模型与世代交叠模型∞∞[[′对方程（7）两边取指数，可得：(⁄()=

(𝑟𝜃

，整理得：(=(0)

(𝑟𝜃

（8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（得：∞∫𝑟(0)𝑒

(𝑟𝜃

𝐿(𝑡)𝐻

𝑑𝑡=𝑊将𝐿𝑡=𝑒

𝑛

𝐿0)代入上式，可得：𝜌𝑟𝜃𝑟𝑛𝜃∫𝑒

𝑑𝑡=𝑊

（9）只要[𝜌𝑟𝜃(𝑟𝑛𝜃>从而保证积分收敛则求解方（可得：∫𝑒

𝜌𝑟𝜃𝑟𝑛𝜃

𝑑𝑡=

𝜃𝜌𝑟𝜃𝑟𝑛

（10将方程（10代入（9）中，求解(：(0)=

𝜌𝑟𝜃

(𝑟𝑛)]

（11将方程（11代入（8解(𝑡：(𝑡)=𝑒

(𝑟𝜃

𝜌𝑟𝜃

(𝑟𝑛

（12上式便是C的效用最大化径。2.6

生产力长减速与储。设想个正处于平增长路上的拉姆塞卡斯—普曼期模型假设久性下降（）𝒌=𝟎曲线会如何变化（果有影）？（b）=𝟎曲线会如何变化如果有响）？（c当g下降，如何变化（d）一个式表示g边际变对平衡增长径上储率的影响。否判断此达式的正负（e设生产数是布—道拉斯函数(𝒌=𝒌，请用、g、θ重新表（）中的结提示：用等式𝒇答）关于资本的欧拉方程为：

(

)=𝝆𝜽𝒈(=𝑓(()((𝑛𝑔()

（1）该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，-7-

第二章无限期模型与世代交叠模型是该模型的核心它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组从而决定了该模型的最终解。图拉姆塞模型在平衡增长路径上𝑘=0由此可以推出𝑐=()(𝑛+𝑔)。在该方程中，永久性地下降时，会导致消c上升以保持方程的均衡。因而在图形上𝑘=0线向上移动。同时，保持k不变，永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资𝑛+𝑔)下降的幅度更大，因而在更高的k平上，𝑘=向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：𝑡)𝑡)

=

′𝑡𝜌𝜃𝜃

（2）该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组从而决定了该模型的最终解。在平衡增长路径上，要求=0，即

′)=𝜌+𝜃，在永久性地下降时，为保持𝑐=0

′)必须下降由于′()<因而′下降必然导致k上升。因此，𝑐=0必须上升，在图形上表现为=0向右动，如图所示。（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径

处。与此相反每单位有效劳动的消费则会随着g久性地下降而迅速变化为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径单位有效劳动的消费必将发生变化。-8-

∗∗′∗′∗∗′∗𝛼′𝛼∗∗′∗′∗∗′∗𝛼′𝛼′′𝛼𝛼𝛼不过此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边因而无法确定每单位有效劳动的消费是上升还是下降存在一种特殊情况即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费甚至可能保持不变。因此，和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：[()

−𝑐

]⁄(𝑘

)因为k保持不变，即=0，位于一条均衡的增长路径上，则由方程1可知：()

−𝑐

=(𝑛+𝑔

由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：𝑠=[(𝑛+𝑔)𝑘

]𝑓(

)

（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：𝜕𝑠()[(𝑛+𝑔𝜕𝜕𝑔+]−(𝑛+𝑔′)𝜕𝜕𝑔=𝜕𝑔[𝑓()]2可以再简化为：

=

2

∗

∗∗

（4）由于𝑘𝑓

()=𝜌+𝜃𝑔该于：′′)(𝑔=，从而求出为：𝑘

𝑔=⁄𝑓

′′

(

)<0

（5）将方程（5）代入（4）中，可得：

=

′′

∗∗′′∗

（6）在方程（6）中，分(

)]

′′()负，分子中第一项为正，而第二项为负因而无法确定正与负因此无法判断在平衡增长路径上永久性地下降会使s上升还是下降。e）将柯布—道格拉斯生产函数𝛼(𝛼−)代入方程（6中，可得：𝛼

()=𝑘𝑓

()=𝛼𝑓

()=𝜕𝑠(+𝑔[𝛼−𝛼𝛼]𝜃+𝛼𝛼(𝛼)𝑘=𝜕𝑔𝛼(𝛼)-9-

𝛼

𝛼𝛼𝛼第二章无限期模型与世代交叠模型𝛼𝛼𝛼简化为：𝜕𝑠(𝑛+𝑔𝛼(𝛼)−(1𝛼)𝛼𝛼𝛼=𝜕𝑔−(𝛼)(𝛼)(𝛼)⁄𝛼从上式可以推出：𝜕𝑠𝜕𝑔最终有下面的结果：

=−𝛼

(𝑛+𝑔𝜃−(+𝜃𝑔)(𝜌+𝜃𝑔)2𝜕𝑠𝜕𝑔

(𝑛−𝜌(𝜌−𝑛)=−𝛼=𝛼(𝜌+𝜃𝑔)2(𝜌+𝜃𝑔)2.7

说明下变化如何影图2.5中=𝟎线和𝒌=𝟎线并在基础上明其如影响平衡增路径上值值。（）上升（b）产函数下移动。（c折旧率本章假设的变为某一正。图2-2鞍路径答）关于c与的欧拉方程为：𝑡)𝑡)

=

𝑓

′𝑡

（1）(𝑡)=𝑓((𝑡))−𝑐𝑡)−(𝑛+𝑔(𝑡

（2）的上升即消费的跨期替代弹1/下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代同时表明随着消费的上升消费的边际产品下降得很快这种情况使家庭更偏好于即期消费。由于没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受的上升的--

𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤=𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤第二章无𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤=𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径𝑐=0，从𝑓

′

()=𝜌−𝜃，由于的上升，因而𝑓

′

(必须上升，又因为𝑓

′′

()<0所以为使𝑐=0，必须下降。此时𝑐=0向左移动，消费移动到新的鞍点路径A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点𝐸，此𝑐和低于原先的值。如图所示。图2-3上的影响（b于生产函数的向下移动而(和𝑓

′

(都变小了图2-4所示。图2-4生函数向下移动根据资本的欧拉方程：()=𝑓(()−(−(𝑛+𝑔(在平衡增长路径上=0，因而有=(𝑛𝑔。由于(变小，因此=0这条曲线会向下移动，如图2-5所示。根据消费的欧拉方程：

))

′

，在平衡增长路径上𝑐=，从而′)=𝜌+𝜃𝑔由于′)变小，为保持=，必须使下降，从而使′)持不变因此=0左移动如图所示经济最终将收敛到新的均衡点𝐸点，此刻𝑐和𝑘低于原先的值。--

第二章无限期模型与世代交叠模型图生产函数向下移动的影响（c）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：()=𝑓(())−(𝑡)−(𝑛+𝑔+)𝑡)

（3）由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。图持投资线向左移动这便要求增加储蓄或者投资而降低消费于持平投资变大因此𝑘=0会向下移动，如图所示。图折旧率由0为正数的影响--

𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤′[𝑘−𝑘]+[𝑐𝑐𝜕𝜕𝜕𝑐𝜕𝑐𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤′[𝑘−𝑘]+[𝑐𝑐𝜕𝜕𝜕𝑐𝜕𝑐𝜕𝜕资本的回报也下降为：

′

()−，从而消费的欧拉方程变为：𝑡)𝑡)

=

′

𝑡𝛿−𝜌−𝜃𝑔𝜃

（4）在平衡增长路径上，𝑐=0要求

′

()=𝛿+𝜌+𝜃。与折旧率由0变为正数之前相比较

′

()必须变大必须变小必须变小要求𝑐=0曲线向左移动，如示。经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻𝑐和𝑘低于原先的值。2.8

请在折率为正的情下推导似于（）的表达式答：教材中方程（2.39）中折旧率为0情形为：𝜇=1

14−𝛼{−(𝛽+2𝜃𝛼

(𝜌+𝜃)[𝜌+𝜃𝑔−(𝑛+𝑔)])}当考虑到折旧率>的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：𝑡)𝑡)

=

𝑡))𝜌𝜃𝑔𝜃

（1）(𝑡=𝑓((𝑡)−𝑐𝑡−(𝑛𝑔)𝑡)

（2）对方程（1）和（2）分别在=𝑐和𝑘=𝑘处进行一阶泰勒展开，可得：𝑐=

𝜕𝑐𝜕𝑐𝜕𝜕𝑐

]

（3）𝑘=[𝑘−𝑘𝜕

]+[𝑐𝑐𝜕𝑐

]

（4）定义𝑐=𝑐𝑐和𝑘

=𝑘−𝑘

为𝑐和𝑘为常数以𝑐=𝑐且=𝑘

）和（4）重写为：𝑐=𝑘+𝑐𝜕𝜕𝑐

（5）𝑘

=𝑘+𝑐𝜕𝑘𝜕𝑐

（6）对方程（1）和（2）计算偏导数：𝜕𝑐𝜕

=𝑏𝑝

′′𝑐𝜃

∗

（7）𝜕𝑐𝜕𝑐

𝑏𝑝

=

′

∗

𝜌𝜃𝑔𝜃

（8）𝜕𝜕

𝑏𝑝

=𝑓

′

(𝑘

)−(𝑛𝑔+)

（9）--

𝑐∗∗𝛼第二章无限期模型与世代交叠模型𝑐∗∗𝛼𝜕𝜕𝑐

=−1𝑏𝑔𝑝

（10将方程（7）和（8）代入（5方程（）和（10）代入（6得：𝑐=

𝑓

′′

𝑘𝜃

∗

𝑐

∗

𝑘

（11𝑘=[

𝑓

′𝑘

)−(𝑛+𝑔+)]𝑘−𝑐=[(+𝜌+)−(𝑛+𝑔)]𝑘𝑐=𝛽𝑘−𝑐

（12方程12）的第二步用到𝑓𝜌−𝑛−(1𝜃𝑔。

′𝑘

)=(𝛿+𝜌+𝜃)第三步用到了定𝛽=对方程（11除以𝑐以求𝑐的长率，对方程（）除以𝑘以求𝑘的增长率：𝑐𝑐

=

′′𝑘𝜃𝑐

（13𝑘𝑘

=𝛽−

𝑐𝑘

（14可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样就是说折旧率的存在对增长率没有影响因此济在向平衡增长路径移动时的𝑐和的不变增长率μ教材中的结果应该一致。令𝜇=方程（）可以推出：𝑐̃′′∗𝑐=𝑘𝜃由方（1513（14相等可得𝜇=𝛽−

𝑓

′′

𝑘𝑐𝜃

（15求解可得：𝜇=

𝛽±[2−𝑓′(𝑘)𝑐𝜃2如果为正，则经济会偏离稳定点，所以必为负：𝜇=

𝛽−[𝛽

2

−4𝑓′(𝑘2

)𝑐

𝜃]

2现在考虑柯布—道格拉斯生产函数𝑓𝑘=𝑘，分别求其一阶导和二阶导：𝑓

′𝑘

)=𝛼𝑘𝛼

=𝑟

+𝛿

（16𝑓

′(𝑘

)=𝛼𝑘𝛼

=𝛼(𝛼)𝑘𝛼

（17将方程（16两边同时平方：(𝑟

+)

2

=𝛼

𝑘2𝛼−2

，将其代入（）式：--

(1𝛼∗第二章无限期模型与世代交叠模型(1𝛼∗𝑓

′′

(𝑘

)=

(+)(−)(−1)+)=𝛼𝛼()定义平衡增长路径上的储蓄率为，则平衡增长路径上的消费为：𝑐

=(−𝑠

)(

)

（18将方程（17和（）代入（𝜇=

𝛽−√2−4

2𝜃2

())化简为：𝜇=

√

2

2𝜃𝛼2

∗

（19在平衡增长路径上，=0味着𝑟

=𝜌+𝜃，即：𝑟

+𝛿=𝜌+𝜃+𝛿

（20另外，实际投资等于持平投资：

(

)=(+𝑔+)𝑘

，可以推出：𝑠

=

∗

=

)𝛼

（21上步用到了𝑟

+𝛿=𝛼𝑘

，由（21可以推出：1−𝑠

=

∗

（22将方程（20和（）代入到（）中，可得：𝜇=

√

2

(𝛼)𝜃𝛼

𝜃𝜃2上式与教材中（2.39极其相似它表明了消费与资本的调整速（将=3𝜌=𝑛=2%𝑔=𝜃=1𝛿=代入上式得到𝜇=−8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。2.9

拉姆塞型的解析解[来于史密(Smith,2006)。]考生产函柯布道格拉函数的拉姆模型，()=𝒌(𝒕)资本份相等

的情形假设相对风规避系与（）平衡增长路径的值（即）为多少？（b）衡增长径上的c（即）为多少？（c令(𝒕)示资本出比𝒌(𝒕)𝒚(𝒕)𝒙(𝒕)示消费本比(𝒕)⁄𝒌(𝒕)请--

第二章无限期模型与世代交叠模型用、模型参表示和(𝒕𝒙(𝒕)。（d）且猜测x鞍点路径上常数，根据一猜想（）给定初始值(𝟎)，求z路径。（ii）给定始值(𝟎),求的路。济沿鞍路径向平衡长路径敛的速度否是常数？（e上述猜的解否满足c的运动方(2.24)与2.25)答）已知𝑦(=𝑘(𝑡)

𝛼

（1）从正文可知，在=0，存在𝑓

′

()=𝜌+。利用方程（1）计算得到=(

𝛼

)

11𝛼

（2）（b与(a)题类似根据正文可知在=0存在𝑐利用方程（1计算得到：

=()(𝑛+𝑔。𝑐

=(

𝛼

)

𝛼1𝛼

(𝑛+𝑔)(

𝛼

)

11𝛼

（3）（c）设=𝑘(𝑦(和𝑡)=𝑐(⁄𝑘(𝑡)得到：

。将方程（1代入定义𝑘=𝑧

1𝛼𝑘

1𝛼

=𝑧

（4）将方程（4）代入()定义，得到：𝑐𝑘

𝛼

=𝑥𝑧

（5）使用方程（4虑𝑧(𝑡=𝑘(𝑦(的时间导数，得到：𝑧=(1𝛼)

𝛼

𝑘

（6）从正文的方程（2.25）知道，=𝑘

𝛼

𝑐(𝑛+𝑔𝑘

，方程（）可表示成：𝑧=(1𝛼)𝑘

𝛼

[𝑘

𝛼

𝑐(𝑛+𝑔]

（7）为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：𝑧=(1𝛼)[1𝑥𝑧(𝑛+𝑔𝑧

（8）现在，对数化x𝑡)=𝑐(⁄𝑘(𝑡)

，考虑其时间导数，得到:

=

（9）根据正文的方程（2.24）和方程（2.25式可表示成：--

𝑝𝑐̇1𝑐2𝑝𝑐𝑐12第二章无限期模型与世代交叠模型𝑝𝑐̇1𝑐2𝑝𝑐𝑐12𝑥

=

𝛼𝑘

𝛼1

𝜌𝜃𝑔

+

𝑘

𝛼

𝑐+𝑛+𝑔𝑘

（10𝑥

𝜃

𝑘将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用𝛼=𝜃得到：（d

𝑥̇=𝑥𝑛𝜌𝛼𝑥）根据x为常量的假设，方程（）可表示成

（11𝑧=(1𝛼)[1(𝑛𝑔𝑥

)

（12为确定z变化路径考虑方（方线性非齐次常微分方程。该方程的解包括通解𝑧和𝑧

。简单地设𝜆=(1𝛼)(𝑛+𝑔𝑥

)为求通解考虑相应的齐次方程𝑧+𝜆𝑧=0𝐴是积分常数求解的微分方程得到通解:𝑧

=𝐴𝑒1

𝑡

（13为求特解，考虑非齐次方𝑧+𝜆𝑧=1𝛼，𝐴是积分常数，利用积分因子得到特解：𝑧

=(1𝛼⁄𝜆+𝐴𝑒2

𝑡

（14因此，方程（12）的解表示成𝑧=𝑧

+𝑧=(1𝛼⁄𝜆+(𝐴+𝐴𝑝12

)𝑒

𝑡

（15，得到：利用初始条件，0替换𝐴+𝐴𝑧=(1𝛼)⁄𝜆+(0)(1𝛼)⁄)𝑒

𝑡

（16为简化(1𝛼⁄𝜆，使用方程（）和（）消去𝑥，利用方程（4得到：𝑧=𝑧

+𝑒

𝑡

(𝑧0)𝑧

)

（17(ii)可将方程（）代入方程（解y的路径。由于已经得到路径，将𝑧的路径代入方程（到：𝑦=[𝑧

+𝑡

(𝑧0)𝑧

)

𝛼1𝛼

（18使用k表示z的程（4式可表示成：𝑦=[𝑘1𝛼+𝑡(𝑘01𝛼

𝑘1𝛼

)]

𝛼1𝛼

（19现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。方程）两端同减方程（2确定的平衡增长路径=𝑘𝛼=(

𝛼

)

𝛼1𝛼

，再取对数求导：𝜃--

𝛼1𝛼̇𝛼𝛼1𝛼𝛼̇̇第二章无限期模型与世代交叠模𝛼1𝛼̇𝛼𝛼1𝛼𝛼̇̇𝑙𝑛(𝑦−𝑦

)=𝑙𝑛[1𝛼−(

𝛼𝜌𝜃𝑔

𝛼)]

（20考虑上式的时间导数，得到：𝜕𝜕𝑡

∗

=

𝛼𝛼−11−𝛼1−𝛼1𝜌𝜃𝑔

𝛼

（21上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。（知道正文的方方𝑐=(𝛼

−𝜌−𝜃⁄𝜃)和𝑘=𝑘

𝛼

−𝑐−(𝑛是否成立使用（2.24方求解/𝑥成立的充要条件是方程2.24）和方程2.25）成立。已经方程2.25）成立，以前使用该方程求解方程（11）可得：

。因此=0的充必要条件是𝑐=。假设=0，根据𝑥

=⁄𝛼−

（22根（）题和b）题，在平衡增长路径上等于(𝜌𝛼)𝑔(𝑛，方程（22可表示成：𝑥

=⁄𝛼−

（23上式等同于方程（程（）和方程（）得以成立。2.10拉姆塞卡斯库普曼模型中资本税。考处于平衡增路径上拉姆塞卡斯-库普曼经济。假设某一时（我们称作0时，府采取了一对投所得税率征的策因此家庭面临的实利率变为𝒓()=(𝟏−𝝉)′

(())假设政将税收收入一次性移支付的形返还给庭。最后，假税收政策是料之外。（）该税收政策如影响=𝟎和𝒌=线（b）济在0时会对该收政策出何种反应0时之后的态学又是如何？（c和在新旧两种衡增长径上值有何同？（）[题于巴罗、曼昆萨拉伊马丁Barro,Mankiv,Sala-i-Martin,1995]假设存许多本题相的国家，各工人们偏好相同，但各国的投资收入率可以同。假设各都处于平衡增长路。--

第二章无限期模型与世代交叠模型(i)证明平增长路上的储蓄率𝒚

−⁄𝒚关于τ是递的。(ii)低高𝒌高储蓄率家的居是否动机向储蓄率国家资？为什么（e(c)小题中的答是否说明补投资（让τ）并通过次性税为补贴筹的政策可以高福利为什么？（f）如政府并不返税收收，是将其用于府购买）小（b）小题中答案会如何化？答）由于资本的税后报酬变为：(=(−𝜏)

′

((，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：))

=

′))𝜌𝜃𝑔𝜃

（1）在平衡增长路径上𝑐=0要求(𝜏)

′

(()=𝜌+𝜃，即税后报酬率为𝜌+𝜃。为保持𝑐=0，

′

((𝑡)必须上升，又因为𝑓

′′

()，所资本存量必须下降。因此，𝑐=0这条曲线将会左移，如图所示。图2-8对资增税的影响家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：(=𝑓(()−𝑐)−(𝑛+𝑔(𝑡)

（2）由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭以家庭投资决策不受影响，因而𝑘=0轨迹不变。（b）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的平衡增长路径上的处。--

𝑛𝑒𝑤∗第二章无限期模型与世代交叠模型𝑛𝑒𝑤∗在0刻与每单位有效劳动的资本相反每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。由于政府的这种税收征集储蓄和资本积累的回报会比以前低家庭会转而减少储蓄，增加消费，在上表现为c向上移动到A点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡𝐸。（c）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的平衡增长路径上的ck的值将变小。（i）由上述的分析可以看出，税τ越高，在平衡增长路径上𝑘越小，而且𝑐=0曲线向左移动得越多，因而有𝑘

𝜕𝜏<0。在平衡增长路径上蓄率可以表示为()

−

(

=时，由(𝑡)=𝑓((−(𝑡−(𝑛+)(𝑡以推出𝑓(

)−𝑐

=(𝑛+𝑔)

，由此可以将储蓄率表示为：𝑠=[(𝑛𝑔)

]𝑓(

)

（3）对方程（3）两边求关于税率的导数：𝜕s(𝑛+𝑔𝜕𝜕𝜏)−𝑛𝑔𝑘=𝜕𝜏()2

𝑓

′

(

)(𝜕𝑘

𝜕)可以简化为：𝜕s(𝑛+𝑔)(𝑛𝑔′)(𝑛𝑔𝜕′)=−=[1−]𝜕𝜏()𝜕𝜏()()𝜕𝜏()𝜕𝜏()由于资本的收入份额为

∗′∗

=𝛼

(

)，以及<0可以改写上式为：

=

𝑛+∗

[1−𝛼

(𝑘

)]<0

（4）以上便证明了平衡增长路径上的储蓄率𝑦

−𝑐

)⁄𝑦

关于τ是递减的。（ii）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a）可知，在平衡增长路径𝑐=，可以推出)

′

((𝑡)=𝜌+𝜃𝑔税后的资本回报为+𝜃𝑔定国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。--

𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤第二章无限期模型与世代交叠𝑛𝑒𝑤𝑛𝑒𝑤（）补贴投资不会增加福利。原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了给予了家庭最高可能的终生效用水平。从初始的点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到点，但最终经济会沿着新的平衡增长路径达到更大的消费水平点以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示图2-9所示。图对投资补贴不会增加福利（f）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令(𝑡)每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：(=𝑓(()−(𝑡−(−(𝑛𝑔𝑡)

（5）政府购买被视为是政府的消费而不是投资将不会增加资本存量）可得，𝑘=0线将向下移动。如图2-10所示。由（）可知，由于政府征税𝑐̇=曲线向左移动，移动到𝑘，在新的平衡增长路径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图所示。--

11′第二章无限期模型与世代交叠模型11′图2-10税全部用于政府购买对经济的影响2.11应用相图分预期变化的响。考习题中提到的政，假设府并不在0时布并执行该策而是在0时布将在后某一时刻对投资收入按税率τ征税（）用相图画出之后和k动态学。（b）在时刻的化是连续？什么（c用相图出之前c的动态学。（d）据（b）（）的答案，c应如何变？（e总结上小问题，并c和的路径描绘为时间的数。答（）-（c）在开始征税的时间𝑡之前，描述经济动态变化的方程为：))

=

𝑓

′

)𝜌𝜃𝑔𝜃

（1）𝑘𝑡)=𝑓(𝑘()𝑐𝑡)(+𝑔𝑘𝑡

（2）对于方程（1平衡增长路径上𝑐=0以推出𝑓府返还总量税，资本积累方程不受影响。在𝑡时刻征税之后，c的欧拉方程为：

′𝑘=𝜌+𝜃。由于政))

=

𝜏𝑓𝜌𝜃𝑔𝜃

（3）在平衡增长路径上𝑐=0可以推1𝜏𝑓

′𝑘(=𝜌+𝜃，即税后的回报为𝜌+𝜃此前的资本回报

′𝑘)高于税后的资本回报保持=，𝑓

′𝑘)必须上升从而k必须下降因此𝑡1

时刻=0线必须向左移动。如图所示。--

11111𝑛𝑒𝑤第二章无限期模型与世代交叠模型11111𝑛𝑒𝑤图2-11𝑡时征税使向左移动不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在𝑡时刻征税之后，消费c不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。（）在时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的平衡增长路径。0时刻宣布并施行征税后c立即由原先的均衡点移动到平衡增长路径上的A，如图所示。图2-12征对曲的影响在，由于消费太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平上，因k开始下降刻到时刻系统仍由原先的𝑐=0的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。在𝑡时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的𝑐=0的欧拉方程决定始下降最终移动到新的鞍点。（）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图所示。(1)每单位有效劳动的消费的图(2)每单位有效劳动资本的图示图2-13每位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示--

111111第二章无限期模型与世代交叠模型1111112.12应用相图分暂时性化的影响。虑习题2.11的下两种变形（）在0时刻政府宣将对时其后某一时间的资收入按照率τ税，而后投资收入将免税（b）0，政府布将对时其后一时间的资收入照税率τ征税，之前和之后的投收入将免税答（）第一问是分析预期到的税收将在时刻结束，因而消费在𝑡时刻将不会发生非连续的变化原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在𝑡时刻位于旧的鞍点路径上。在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，𝑡时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：))

=

𝑓

′)𝜌𝜃𝑔𝜃

（1）𝑘𝑡)=𝑓(𝑘()𝑐𝑡)(+𝑔𝑘𝑡

（2）资本积累的动态方程𝑘=0会受到征税的影响但是消费的动态方程𝑐̇=则会受到征税的影响在0刻到𝑡1

时刻资本的税后回报为1)𝑓

′𝑘𝑡)=𝜌+𝜃，为了保证𝑐=0立，𝑓

′𝑘𝑡)必须上升，由于𝑓

′(𝑘<0，所以k必须下降，从而=0c必须左移。0刻，开始征税，𝑘=0持不变，但经济位于原鞍点路径的右边，因而开始下降。此时经济在𝑘=0的下边，因而k开始上升，经济会偏离到E的东南，离开了原来的鞍点路径。如图所示，0刻经济上升到A点k和开始下降，最终经济会降到𝑘=0线的下方，因而k开始上升。这是因为家庭预测到税收将被取消，因而开始增加投资。在时刻，税收被取消，经济将位于动态系统的右边，即B点。在时刻之后，动态方𝑐=再次支配动态系统。此刻经济再次返回原先的鞍点路径，最终返回到原先的稳定点。--

12122122第二章无限期模型与世代交叠模型12122122图2-14鞍路径（b）由于家庭可以事先预测到税收将被执行或取消，因此从家庭会进行跨期消费最优化这一角度出发，家庭会选择在各期之间平滑消费，因此𝑡时刻和𝑡2

时刻，c不会发生不连续的变化。为了使经济返回到平衡增长路径上，在时刻经济必须位于原先的鞍点路径上。在税收被执行的时刻之前和税收被取消的𝑡时刻之后，经济仍由动态系统（1）和）来支配。在税收被宣布的0时刻直到被执行的时刻为止，原先的欧拉方程仍然支配动态系统。在时刻税收被宣布执行，消费开始上升到A点，经济仍然位于=的动态系统上，但是位于𝑘=0的动态系统上方，因此k开始下降。因而开始偏离到𝑐=0的左边，c开始上，经济此刻偏离到动态系统的西北方。在𝑡时刻税收开始执行家庭倾向于减少储蓄因而k始下降导致=0左移经济到达B此刻经济位于𝑘=0的动态系统的上方和=0的动态系统右边因而k继续下降而c开始下降最终经济会下降到𝑘=0的动态系统下方，因k开始上升。为实现家庭的跨期最优，必须选择资本的初始值以使经济在𝑡时刻税收取消时位于旧的鞍点路径上的点。𝑡时刻之后，经济仍由动态方程𝑐̇=0支配，从而经济最终会返回到旧的稳定点E上。如图2-15所示。--

′01第二章无限期模型与世代交叠模型′01图2-15鞍的路径2.13本章在分析姆塞—斯—库普曼型中政政策时假定政府购并不影私人消费的用。与相反的情况政府购和私人消费完全替品。具而言，假设用函数2.12变为：∞𝑈=𝐵∫𝑒

𝛽𝑡

[(𝑡+(𝑡1𝜃

1𝜃

𝑑𝑡如果经最初处于平衡增长径，并且家偏好由U给定，府购买暂时增会对消费路、资本径和利率路有何影？答：将政府购买纳入到动态系统中，则资本积累方程为：(𝑡)=𝑓((𝑡))(𝑡(𝑡)(+𝑔𝑘(𝑡

（1）其中，(𝑡表时刻每单位有效劳动的政府购买。因为假定政府购买会完全替代掉私人消费(𝑡)变化将会一对一的抵消掉c的变化。在初期，定义(𝑡=𝐺，家庭的消费增长率变为：𝑡)𝑡)

=

𝑡)𝜌𝜃𝜃

（2）对于处在平衡增长路径上的消费来讲，动态方程𝑐=要𝑓

′(𝑡=𝜌+𝜃。短期政府购买的变化只会产生水平效应，即只影响c的变化，而不会影响增长率的变化，也就是不会移𝑐=曲线。假定经济处于平衡增长路径上的E点，在𝑡时刻(𝑡从𝐺上升到𝐺，家庭预测到加税只是暂时的，在𝑡时刻之后𝐺

会返回到𝐺(𝑡的上升会（式中=0的动态系统向下移动，移动的数量恰好为(

𝐺

)。政府购买的增加直接地减少了家庭消费。--

1𝐿0𝑛𝑒𝑤𝐿10𝐿1𝐿0𝐿1𝐿第1𝐿0𝑛𝑒𝑤𝐿10𝐿1𝐿0𝐿1𝐿与拉姆塞—卡斯—库普曼模型中政府政策的分析假设政府购买并不影响私人消费的效用的情况相反，政府购买与私人消费是完全替代的，假定会要求𝑡时刻c必须立即向上跳动(−𝐺

以抵消政府购买的减少，从而返回到原先的平衡增长路径上。如图2-16所示，经济必须在𝑡时刻向下跳动到𝐸点，下降的数量(𝐺−𝐺)。经济在这一点上一停留到

时刻。此后，经济向上跳动(𝐺−𝐺𝐿

以返回到旧的平衡增长路径上的E点图2-16拉塞—卡斯—库普曼模型下面分析两种非均衡的情况。第一种：在时刻，下降的数量小于−𝐺

。此种情况下，经济将位于新的𝑘=的上方，k便会减少从而位于𝑐=的左方，便会上升，则经济会向动态系统的西北方向移动。那么，在时刻，c即使向上移动(𝐺−𝐺不会返回到原先的路径上，这是第一种非均衡的情况。

，经济也第二种：在时刻，下降的数量大于−𝐺

。此种情况下，经济将位于新的𝑘=的下方，k便会上升从而位于𝑐=的右方，便会下降，则经济会向动态系统的东南方向移动。那么，在时刻，c即使向上移动(𝐺−𝐺不会返回到原先的路径上，这是第二种非均衡的情况。

，经济也总之)暂时性变化不会对资本存量和实际利率产生影响着(的暂时性上升，会下降同样的数量。在(𝑡返回到初始水平时，c会返回到原先的平衡增长路径上。2.14设戴蒙德模中的效函数为对数数，生函数为柯布道格拉函数。说明下列变会如何响𝒌(𝒌--

函数。

𝑡1𝑡𝑘𝑡1𝑡𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡第二章无限期模型与世代交叠模型𝑡1𝑡𝑘𝑡1𝑡𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡（）上。（b）产函数下移动（即()形式为𝒌，而下降（c上升𝜶。答a）在对数效用函数与柯布—道格拉斯生产函数的假定下𝑘与𝑘的关系为：𝑡1

=

1𝑛𝑔𝜌

(1−)𝑡

（1）n上升会导致函数向下移动，如图所示。图2-17n的升对的响因为每单位有效劳动的要素收入为𝑤=(

)−𝑘𝑓𝑡

′

(𝑡

)它不依赖于劳动的增长率n因此t期同样数量的每单位有效劳动的资本和每单位有效劳动的收入会产生同样数量的储蓄，也就会导致在t+1期产生同样数量的资本。但是，由于劳动的增加，每单位个人的资本数量减少了，低于原先的。（b）修改生产函数为()=𝐵𝑘，因此，𝑘的函数修改为：𝑘=𝑡1

11(1𝑛1𝑔)2𝜌

(1−)𝑘

的下降会导致𝑘𝑡1

的函数向下移动。在t期，每单位有效劳动的资本能生产的每单位有效劳动的产量会下降。因𝑤=(

)−𝑘𝑓𝑡

′

(𝑡

)劳动收入中用于储蓄的比例与无关，因此会导致在期数量更少的资本。（c）对方程（1两边关于求导如下：𝜕𝜕

=

11𝑛𝑔𝜌

[−𝑘

𝑡

(1−)𝑘

𝑡

]

（2）为决定

𝜕𝜕

，定义()=𝑘，两边取对数如下：𝑛()=𝛼𝑙𝑛，对该式两边关于求导，可得：--

𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡1′第二章无限期模型与世𝑡𝑡1𝑡𝑡𝑡1𝑡𝑡1′𝜕𝑙𝑛𝑓(𝛼)/𝛼=𝑙𝑛𝑘

𝑡

（3）由于下式：

=

=

1

（4）将方程（3）代入（4）中，可得：

=𝑓()𝑛𝑘

𝑡

（5）方程（5）可以重写为：

𝛼

=𝑘/𝑙𝑛𝑘𝑡

𝑡

（6）将方程（6）代入（2）中，可得：𝜕𝑘𝑡1𝜕𝛼

=−

11(1𝑛1𝑔2𝜌

[−𝑘

𝑡

(1−)𝑙𝑛𝑘𝑡

𝑡

]再简化为：

=

11

𝑘𝑡

[(1−)𝑙𝑛𝑘−]𝑡

（7）当()𝑙𝑛𝑘

𝑡

−1>或𝑙𝑛𝑘>(−)时，上升意味着𝑡𝑡1

函数应该向上移动相反当𝑙𝑘<(或者𝑙𝑛𝑘=(−时上升意味着

的函数应该向下移动终在𝑙𝑛𝑘=(1−的右边的和旧的𝑘

函数相交。2.15索洛模型的散时间式设𝒀=𝑭(,𝑨𝑳

其中(·规模报酬变，并且其凑形式满足田条件同时假设=(𝟏𝒈

，𝑳=(𝟏𝒏)

，以及𝑲

=𝑲

𝒔𝒀−𝜹𝑲

。（）请把表示为的函数（b）图把表示为的函数。该经是否有衡增长路径如果的初始值平衡增长路的值不，该经济是会向平增长路径收？（c请把平增长径上单有效劳动的均消费示为的函，当最大化衡增长路径单位有劳动的平均费时，本的边际产𝒇少？（d）设生产数是柯布—格拉斯数。（）请把𝒌表示为的函数。（ii）衡增长径上的k即𝒌是什么？

()多（iii）按本章中程2.64（）的思路，𝒌=𝒌--

附近线化（）

𝐾𝑡1𝑡1==𝑘(𝑘𝑘1𝑔1𝑡𝑡1𝑡1𝑡𝜕𝑘𝑡2𝜕2𝑡′′𝑡1𝑡𝑡𝐾𝑡1𝑡1==𝑘(𝑘𝑘1𝑔1𝑡𝑡1𝑡1𝑡𝜕𝑘𝑡2𝜕2𝑡′′𝑡1𝑡𝑡1𝑡𝑡1𝑡𝑡1𝑡小题中表达式，并求出k𝒌

收敛的度。答二期的资本存量等于第一期的资本存量加上当期的投资并且减去当期的折旧，即：将上式两端除以𝐿

=𝐾𝑡1𝑡，如下：

𝑠𝑌−𝛿𝐾𝑡𝑡

（1）𝐾𝑡1𝐴𝐿𝑡1𝑡1

=

𝐾𝑠𝑌−𝛿𝐾𝐾𝑠𝑌−𝛿𝐾𝑘(1−)𝑠(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐴𝐿(1𝑔1𝑛𝐴𝐿(1𝑔1𝑛)𝑡1𝑡1𝑡𝑡

)上式简化为：𝑡1

=

1𝑡𝑡

)

（2）方程（2）为的函数𝑘的表达式。（）下面检验该函数是否满足收敛的条件。分别求关于的一阶和二阶导数，即：𝑡1𝜕

=

1

𝑓1

′

(𝑘𝑡

)>0,和𝑡1𝜕

=𝑡<011检验稻田条件：𝜕lim=∞k𝜕𝑘𝜕𝑘lim=k𝜕𝑘

(1−)(1𝑔1𝑛

<该函数的斜率小于1则它必然与45线相交由上可见该函数定义良好且与45线只相交一次。如图2-18所示。图2-18k在衡增长路径上值注意，𝑘=0并不是一个稳定点，任何大于0的资本存量都会收敛于𝑘

。例如某一点小于于大于𝑘此值会不断地变大终收敛于点。相反设某一点大于𝑘由于𝑘小于𝑘因此值会不断地变小最终收敛于𝑘点。在𝑘点，存在一条平衡增长路径。--

𝑡1𝑡𝑘=[][]𝑡1𝑡第二章无限𝑡1𝑡𝑘=[][]𝑡1𝑡（c）在平衡增长路径上，𝑘

=𝑘=𝑘𝑡

，将其代入到方程2）中，可得：=[

(1−)𝑠][(1𝑔)(𝑛)(1𝑔1𝑛)

](

)上式可简化为：1𝑛𝑔𝑛𝑔−1𝛿𝑠[]=[(1𝑔1𝑛(1𝑔)(𝑛

](

)再次简化为：𝑘

(𝑛𝑔𝑛𝑔)=𝑠(

)

（3）由方程（3）求储蓄率，可得：𝑠=(𝑛𝑔𝑛𝑔)

(

)

（4）在平衡增长路径上每单位有效劳动的消费为：𝑐

=(1−𝑠𝑓𝑘

)

（5）将方程（4）代入（5）中，可得：𝑐

=[1−

(𝑛𝑔𝑛𝑔)()(𝑛𝑔𝑛𝑔𝛿]()=[()()

)

](𝑘

)上式再次化简为：𝑐

=()−(𝑔𝑛𝑔)

（6）为求得在平衡增长路径上每单位有效劳动资本的边际产品，将方程6）关于k导如下：∂∂

=𝑓

′

(

)(𝑔𝑛𝑔)

=0则黄金律资本存量由下式隐性决定：𝑓

′

(

)=(𝑛𝑔𝑛𝑔)

（7）（d）将柯布—道格拉斯生产函数f(

)=𝑘𝑡

𝛼

代入方程（2：𝑡1

𝑡𝑡

𝛼

（8）在平衡增长路径上，有=𝑘=𝑘

，将该式代入方程（8得：𝑘

(1−)𝑠=[][(1𝑔𝑛(1𝑔1𝑛

]

𝛼上式可以简化为：(1𝑔)(𝑛−(1)𝑠[]=[(1𝑔1𝑛(1𝑔)(𝑛--

]

𝛼

1𝑡𝑡+𝑡𝑡𝑡𝑘]𝑘𝑡𝑡]]，即：1𝑡𝑡+𝑡𝑡𝑡𝑘]𝑘𝑡𝑡]]，即：由此推出：𝑘最后得到：

𝛼

第二章无限期模型与世代交叠模型=𝑠𝑛+𝑔+𝑛𝑔+)=[𝑠+𝑔+𝑛𝑔+1𝛼对方程（8）两边求导，可得：

（9）𝑡+1

∗

=

𝛼𝑠1+1+1+1+

𝑘

𝛼1

（10将方程（10代入（9：𝑑𝑘𝑑𝑘𝑡

∗

=

(1)𝛼(𝑛++𝑛𝑔+)+[(1+1𝑛(1+𝑔1+𝑛)𝑠

]由于(𝑛+𝑔+𝑛𝑔+)=(1𝑔)(𝑛)(1以可以将上式简化为：𝑑𝑘𝑑𝑘𝑡

𝑡

∗

=

(1)𝛼[(1+𝑔1+𝑛(1)](1+1𝑛进一步简化为：𝑡+1

∗

=𝛼

𝛼1+1+

（11对方程（8）在=𝑘处一阶泰勒展开，可得：

=+[𝛼

1𝛼1+1+

𝑘

]

（12方程（12可以简化为：𝑘

𝑘

=[𝛼

(1)(𝛼(1+𝑔1+𝑛

][𝑘𝑡

𝑘

]从方程（12可以推出：𝑘

𝑘

=[𝛼

11𝛼1+1+

𝑡

[𝑘𝑡

𝑘

]

（13因此，经济向平衡增长路径移动1[𝛼+

1𝛼1+1+(1𝛼)(𝑛+𝑔+𝑛𝑔+)(1+𝑔1𝑛下面进行校准：𝛼，n=1%g=2%及=3%，则收敛速度，它比连续时间的索洛模型要慢。2.16戴蒙德模型的折旧索洛模型的观基础假设戴蒙德型中资折旧率，从

=′

(𝒌

)𝜹。（）模型中的上述化会如影响方程（。--

𝑡𝑡1𝑡𝑡𝐶1𝜃1𝜃2,𝑡1𝑡1𝑡1𝑡1𝑡1𝐾𝑡𝐾𝑡1𝑡1𝑡𝑡𝑡𝑘𝑡1𝑘𝑡𝑡1第二章𝑡𝑡1𝑡𝑡𝐶1𝜃1𝜃2,𝑡1𝑡1𝑡1𝑡1𝑡1𝐾𝑡𝐾𝑡1𝑡1𝑡𝑡𝑡𝑘𝑡1𝑘𝑡𝑡1（b）对数效、柯布—道拉斯生函数以及𝜹=𝟏的特殊情形，请把𝒌表示为的函数并此结果与习（索洛模离散形式在=𝟏时的类表达式进行较。答）𝑘的函数𝑘

为：𝑘=𝑡1

1(1𝑔𝑛

𝑠𝑓

′

(𝑡1

)[𝑓𝑘𝑡

)−𝑘𝑓𝑡

′

(𝑘𝑡

)]家庭的最优化行为不受折旧的影响，𝑟=𝑓

′

(𝑡

)。家庭的最优化行为为：𝑚𝑎𝑥𝑈

=𝑡𝜃

1𝐶𝜌1𝜃

（1）𝑠.𝑡.𝐶

1,𝑡

1𝑡1

=𝐴𝑤2,𝑡1𝑡𝑡

（2）不存在折旧的储蓄率为：s(

)=−)𝐴𝑤1,𝑡𝑡𝑡

，该式简化为：𝑠𝑟

)=

11𝜌𝜃

1

𝑡1

𝜃)𝜃

（3）方蓄率依赖于利率时发生了变化𝑓

′

(𝑡1

)。由于𝑡期的资本积累为𝑡期年轻人的储蓄，因此有：𝑆𝑡

是𝑡期单个年轻人的储蓄，由于𝑆

=𝑆𝐿𝑡1𝑡𝑡=s()𝑤𝑡1𝑡𝑡

（4），代入方程（4得：=𝐿(𝑟)𝐴𝑤𝑡1𝑡𝑡1𝑡𝑡为得到𝑡期的有效劳动的形式，两边除以𝐿

，即：

（5）𝑡1𝑡1𝑡1

=

𝑡1𝑡1

𝑠(𝑟)𝑡1𝑡

（6）由𝐴

𝐴𝑡1

=1𝑔，𝐿𝑡

⁄𝐿𝑡1

=⁄(1𝑛)和

𝑡1𝑡1𝑡1

=𝑘𝑡1

，将其代入方程（6得：𝑡1

=

11𝑛

𝑠(𝑡1

)𝑡

（7）品即

=𝑓

′

(𝑡1

)−𝛿𝑤=(𝑡𝑡

)𝑘′代入方程（得：𝑡𝑡𝑡1

=

11

𝑠′𝑘𝑡1

)−)[()−𝑘′)]𝑡𝑡𝑡

（8）在没有折旧的情况下，的函数𝑘为：𝑘=𝑡1

1(1𝑔1𝑛

𝑠(𝑓′)[𝑓()𝑘′𝑘)]𝑡1𝑡𝑡𝑡--

𝑡𝑡1𝑡1𝑡1𝑡𝛼𝑡𝑡𝑘𝛼𝑘(𝑘𝑘𝑔𝑛1𝑔1𝑛𝛼𝑘第𝑡𝑡1𝑡1𝑡1𝑡𝛼𝑡𝑡𝑘𝛼𝑘(𝑘𝑘𝑔𝑛1𝑔1𝑛𝛼𝑘添加折旧的确会影响与𝑘的关系

是变大还是变小取决于储蓄如何随利率的变化而变化。（b）在对数效用函数的情况下，储蓄率并不依赖于利率，储蓄率的表达式如下：𝑠

)=𝜌

（9）根据柯布—道格拉斯生产数𝑦

𝛼

=𝑘𝑡

𝛼

，实际工资为=𝑘−𝑘𝛼𝑡𝑡

𝛼

=(1−𝛼)𝑘𝑡

𝛼

，将上式与方程（9）代入方程（得：𝑡1

=

1𝑔1𝑛

(1−𝛼)𝑘]𝑡

（10习题2.14的（a）部分的=时索洛模型的离散时间表达式为：𝑡1

=

𝑡𝑡

)

（11本模型中储蓄率为总储蓄除以总产出，而习题2.14的储蓄率为劳动收入中用于储蓄的部分定义经济的总储蓄为𝑠储蓄。

𝑠

等于年轻人的正储蓄加上老年人的负年轻人的正储蓄为

1

(1−𝛼)𝑘𝑡

𝛼

，由于折旧率为100%，因此不存在老年人的负储蓄。因此，总储蓄为：𝑠=

1

(1−𝛼)𝑘𝑡𝑘𝑡

𝛼

=

1(𝜌

(1−𝛼)从而方程（10可以重写为：𝑡1

=

1𝑔1𝑛

𝑠

𝑡

𝛼

=

1𝑔1𝑛

𝑓(𝑡

)

（12在方程（）中，令储蓄率为1）可以简化为（者是一样的。因此，索洛模型的确具有微观基础，尽管折旧率为是不现实的。2.17戴蒙德模型的社会障。考虑为零，柯—道格斯生产函数及对数用情形下的蒙德模。（）到期即付式社保障。设政府对每年轻人税T，并将此收收入用于贴老年人，此每个年人得到𝟏𝒏。（）这种变化会如影响方（2.60）？--

1,𝑡𝐶𝐶𝑡𝑡−2,𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝐶=𝐴𝑤−𝑡+12,𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝐶1+𝜌𝑟𝑡𝑡+1𝑡1,𝑡𝐶𝐶𝑡𝑡−2,𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝐶=𝐴𝑤−𝑡+12,𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝐶1+𝜌𝑟𝑡𝑡+1𝑡𝑡𝑡（ii）种变化如何影响平增长路上的值？（iii）若济最初于动态有效平衡增路径上，的边际化会如何影响当前未来各代的利？若初的平衡增路径是态无效的，案有何同？（b）额社会障。假设政对每个轻人征税T，将此收用于购买资本，此生于时刻个人将会在老时得𝟏+𝒓

)𝑻。（）这种变化会如影响方（2.60）？（ii）种变化如何影响平增长路上的值？答i）效用函数为：𝑙𝑛𝐶

+

11+𝜌

𝑙𝑛𝐶2,

（1）在对每个年轻人征收数量的社会保障税之后，个人面临的预算约束为：1,𝑡

+=𝐴𝑤−𝑇𝑡𝑡

（2）2,

=(1+𝑟)+(1+𝑛)𝑇𝑡

（3）（）式为第一期的预算约束，其𝑆代表第一期的个人储蓄。从个人的角度看，社会保障的回报率(1+𝑛这不同于私人储蓄率的回报(1𝑟由方程（3可以解出：

)𝑆

=

1+1+1+

𝑇

（4）将方程（4）代入（2𝐶+1,𝑡

𝐶2,1+

(1𝑛=𝐴𝑤−𝑇+𝑇1+𝑟重新安排可以得到跨期的个人预算约束：1,𝑡

+

1+1+

𝑇

（5），在将消为(1+)⁄()将其代入（5）中：1,𝑡

=()[−𝑡+12+𝜌1+

（6）将方程（6）代入（2）中：1+𝜌(𝑟−𝑛𝑆=𝐴𝑤−()[𝑤−𝑇]−𝑇2+𝜌𝑟--

𝑡+1𝑡𝑡𝐴𝑤−𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡𝑘𝑤−𝑡𝑡𝑡𝑘𝑡𝑡𝑡+1𝑡==𝑡𝑡+1𝑡𝑡𝐴𝑤−𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡+1𝑡𝑘𝑤−𝑡𝑡𝑡𝑘𝑡𝑡𝑡+1𝑡==𝑡+1𝑡+1𝐺=1−上式可简化为：

第二章无限期模型与世代交叠模型1+𝜌1+𝜌𝑟−𝑛𝐴𝑤−1−2+𝜌2+𝜌1+𝑟𝑡+1

𝑇𝑆

=

𝑇

（7）如果=𝑟，则储蓄会由于社会保障税而一对一的下降；如果𝑛>𝑟，储蓄会下降更快，相反，储蓄则会下降的较慢。定义𝑍=

，并将其代入（得：𝑆

=

𝐴𝑤−𝑍𝑇𝑡𝑡

（8）由于𝑡期的资本存量等于𝑡期储蓄，因此有：𝐾=𝑆𝐿

（9）将方程（9）转化为每单位有效劳动的形式，并使用方程（得：𝑡+1

=

(10)对于柯布—道格拉斯生产函数，实际工资为：𝑤

=1−𝛼𝑘𝑡

（11将方程（11代入（生新的关系，即：𝑡+1

=

1𝛼𝑘𝑡

−𝑡

(12)（ii为判断社会保障的引入对平衡增路径上的值的影响必须判定的正负号。如果𝑍为正数，则社会保障税的引入会降低𝑘曲线并且降低值。下面计算𝑍：𝑍=𝑡

2+𝜌1+𝑟−1+𝜌𝑟−𝑛𝑡+1𝑡+12𝜌1𝑟𝑡+111+𝜌1𝑟−1+𝜌𝑟−𝑛𝑡+1𝑡+12𝜌1𝑟𝑡+1上式可简化为：𝑍=𝑡

1𝑟+1𝜌1+𝑟−𝑟−𝑛𝑡+1𝑡+1𝑡+12𝜌1+𝑟𝑡+11𝑟+1+𝜌1𝑛>02𝜌1+𝑟𝑡+1因此，𝑘曲线向下移动，也降低了。（iii）如果经是初始动态有效的，的边际增长会提高老年人的福利，但是它将使𝑘低于黄金律所要求的资本水平而使未来一代人的福利恶化，--

𝐶𝑡𝐶𝑡1𝐶𝑡𝐾𝑡第二章无限期模型与世代交叠模型𝐶𝑡𝐶𝑡1𝐶𝑡𝐾𝑡降低他们的消费水平。但是，如果经济初始是动态无效的，𝑘

>𝑘

，则的边际增加会提高老年人的福利同时还会提高未来一代人的福利水平从而是福利改进的。此时社会保障税的引入会降低过度的资本积累，从而消除动态无效率。（b）方程（第二期的预算约束变为：2,𝑡1

=(1𝑟)𝑡1𝑡

(1𝑟𝑡1

)𝑇

（13从个人角度讲，社会保障的回报率等于储蓄的回报率。由方程）推出储蓄，即：𝑆

=𝐶2,𝑡1

⁄(1𝑟𝑡1

)−𝑇

(14)将方程（14代入（2第一期的预算约束可得：𝐶

1,𝑡

𝐶2,𝑡11𝑟𝑡1

=𝐴𝑤−𝑇𝑇𝑡上式进一步简化为：1,𝑡

2,𝑡1

=𝐴𝑤𝑡

（15家庭的最优化行为产生了通常的欧拉方程，即：𝐶=[1𝜌1𝑟)𝐶2,𝑡1𝑡11,𝑡将上式代入方程（）中，可得：1,𝑡

=[(1𝜌)⁄(2𝜌𝐴𝑤𝑡

（16为得到每个人的储蓄，将方程（）代入（）中，可得：𝑆=𝐴𝑤−[(1𝜌⁄(2𝜌)]𝐴𝑤−𝑇𝑡𝑡𝑡上式进一步简化为：𝑆

=[2𝜌)]𝐴𝑤−𝑇𝑡

（17社会保障的引入引起储蓄的一对一的减少。𝑡期的资本存量等于个人在𝑡期的储蓄加上政府投资，即：𝑡1

=𝑆𝐿𝑡𝑡

𝑇𝐿

𝑡

（18将方程（18转化为每单位有效劳动的形式，并利用方程（17得：𝑘=𝑡1上式进一步简化为：

1𝑇1𝑇[𝑤−]1𝑛𝜌𝐴1𝑛𝐴𝑘=𝑡1

111𝑛2𝜌--

𝑤𝑡

𝑘第二章无限期模型与世代𝑘利用方程（11）来替代上式中的工资，即𝑡1

=

1𝑛𝜌

(1)𝑡

（19因此，全额融资的社会保障税的引入对后续各期的资本没有影响。（ii）因为全额融资的社会保障的引入对各期资本之间的关系没有影响，因此在平衡增长路径上各期资本是一样的各期的总资本与总储蓄是一样的政府的作用仅仅是使年轻人储蓄因为社会保障回报率与储蓄利率是一致的因此来说个人对说谁来为他们储蓄是无差异的人将一对一的抵消政府为他们所做的任何储蓄。2.18基本的世代叠模型本题来源于缪尔森阿莱，1947。戴蒙德型类似，假在t期生的个人只存活两，并且=(𝒏)

。为了简起见令用函数为不现的对效用函数=𝒍𝒏(𝑪)𝒍𝒏(𝑪)。在经济生产方面，模型也戴蒙德模型为简单经济中只有种产品，既可以于消费，也用于储存；每个期出生的人都有A位该产品储存每位产品使经济主体下一期到x(x>0)单位品。最后。设在最初的0期，除个拥有A单产品的轻人之外，有[𝟏⁄(𝟏𝒏)]𝑳

个只生在第期的年人，每个年人拥Z单位的品其效用就在起始期的费。（a）明该济的分化均衡。（提示给定上世代交叠的构，某代的成是否会与另代的成进行交易？（b）设经济的禀赋中用储蓄的额𝒇是不随间变化常数，在这样的路上请把人均消费（消费指所有轻人与有老年人的费总和表示为的数形式。果𝒙<满足0≤≤1最大化均消费值是多少？分均衡在这种况下是是帕累托有的？如不是，社会划者怎才能提福利？答首先，该模型不存在任何一代的成员将会同另一代的成员交易的可能性原因是即使年轻人愿意交换但他们的交易对象只能是老人而老人则因为下一期已去世而不可能同年轻人进行交换。个人的效用函数为：--

𝑡𝐶𝐶𝑡𝐶1,𝑡𝜕𝐶=𝑥𝐶1,𝑡𝐶𝐶𝑡𝑡𝑡𝑡第二章无限期模型与𝑡𝐶𝐶𝑡𝐶1,𝑡𝜕𝐶=𝑥𝐶1,𝑡𝐶𝐶𝑡𝑡𝑡𝑡𝑈

=𝑙𝑛𝐶

1,𝑡

+𝑙𝑛𝐶

2,

（1）预算约束为：1,𝑡

+=𝐴𝑡

（2）2,

=𝑥𝐹

（3）其中𝐹是个人在第一期的储蓄。将方程（3）代入（2个人的跨期预算约束：1,𝑡

+𝐶𝑥=𝐴2,

（4）用拉格朗日方法联立方（1以求解个人终生效用的最大化下：𝐿=𝑙𝑛𝐶

1,𝑡

+𝑙𝑛𝐶

2,

+𝜆𝐴−𝐶+𝐶1,𝑡

𝑥求一阶条件：𝜕𝜕

=𝐶−𝜆=0⇒⁄=𝜆1,𝑡1,𝑡

（5）𝜕2,𝑡+1

=⁄−𝜆𝑥=0⇒𝐶=𝜆⁄𝑥2,2,

（6）将方程（5）代入（6得：2,𝑡将方程（7）代入跨期预算约束式（）中，可得：简化为：

（7）+=𝐴，上式可1,𝑡1,𝑡

=𝐴2

（8）求第二期的消费，将方程（8）代入（7）中，可得：2,

=𝑥𝐴⁄2

（9）当年轻人将他的财富一半储蓄时，下一期他可以消费𝐴⁄2。由于是对数效用函数，因此，个人将其禀赋储蓄的比例并不依赖于储蓄的回报率。（b）在t刻的总消费为：𝐶=𝐶𝐿+=𝐶𝐿𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡其中，是年轻人的数量𝐿是老年人的数量。每个年轻人消费他的禀赋的一部分1𝑓𝐴，每个老年人消费他的禀赋的总回报𝑓𝑥𝐴。由式

=1−𝑓𝐴𝐿+𝑓𝑥𝐴𝐿𝑡

𝑡

，对其两边除𝐴𝐿以转化为每单位有效劳动的形式，即：𝐶𝑡

𝐴𝐿=𝑓+𝑓[𝑥/1+𝑛𝑡因此，每单位有效劳动的消费为一加权和。因为<，所以，当权数--

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡+1𝑡+1𝑡𝑡𝑡为1，每单位有效劳动的消费为一加权和达到最大化。因此，分散化均衡（即权数1/2）不是帕累托有效的。因为跨代交易是不可能的因此个人储蓄为年老时提供消费即使储蓄的回报率非常低他们也必须这样做但是在一个集权经济中社会计划者则可以从年轻人手中取走一单位物品而给每个老年(1𝑛物品。由于𝑥<1+，所以得到了一个更高的回报率因此社会计划者可以从年轻人