椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识1•椭圆的定义：把平面内与两个定点F「F2的距离之和等于常数(大于f,f2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c).2.椭圆的标准方程：22ab22ab22ab22abmx2+ny2=1(m>0n>0)不必考焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0n>0)不必考3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线的解:段PP,求线段PP中点M的轨迹•关点法)设点Mx,y),点Rxo,yo),贝yx=xo, y=匹得xo=x,yo=2y.2xo2+yo2=4, 得x2+(2y)2=4,即-y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆422224.范围.x<a,y<b,•••|x|<a,|y|<b.椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点只须令x=0,得y=±b,点Bi(0,—b)、R(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0,得x=±a,点A(—a,0)、A(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点： A(—a,0)、A(a,0)、B(0,—b)、B(0,b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.线段AA、BB分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长.y|BH|=|BF2|=|BH|=|BF2|=a.在Rt△OBF2中，|OF|2=|BaF2|2—|0团2,AZb即c2=a2—b2.x7.椭圆的几何性质:椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,yb2(ab0)2的有关性质中横坐标标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,yb2(ab0)2的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出冷a2b21(ab0)的有关性质。总结如下:和召Hi¥厂J/1.Pj AJ4j对关Tr轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K点Ai(—Un0) ahiO)fihCOi—AttO-B—aJ»A* a}(CXr-CI)a几点说明:(1)长轴：线段AA，长为2a；短轴：线段B1B2，长为2b；焦点在长轴上。(2)对于离心率e,因为a>c>0(2)对于离心率e,因为a>c>0,所以0<e<1,离心率反映了椭圆的扁平程度。由于,所以e越趋近于1,b越趋近于0,椭圆越扁平；e越趋近于0,b越趋近于ab越趋近于a，椭圆越圆。(3)观察下图，|0B2|b,|OF2|c,所以IB2F2Ia，所以椭圆的离心率e=cos/OFR31318.直线与椭圆:直线I:AxByC0(A、B不同时为0)2 2xy椭圆C:二 2 1(ab0)ab通过方程组的解的个数来判断那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组,

通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下:AxByC022xy“消去y得到关于x的一兀二次方程，化简后形式如下i2 .2 1ab2mxnxp0(m0),n24mp当 0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；当 0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点(相切) ；当 0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为 A(xi,yi),B(X2,y2)，那么线段AB的长度(即弦长)为|AB|■.(XiX2)2(yiy2)2，设直线的斜率为k，可得：|AB|..(^X2)2[k(xiX2)]2、1k2|xiX2|，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。椭圆典型例题例i已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0,2)求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2，根据关系a2b2c2可求出m的值.解：方程变形为2解：方程变形为2丄I.因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3.2m又c又c2，所以2m622,m5适合.故m5.例2例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3,0,a3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,求出参数a和b(或a2和b2)的值，即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在X解:当焦点在X轴上时，设其方程为22x y2 ,2a b由椭圆过点P3,0，知弓21.又aa2b22X 21.y922iab0.3b，代入得b2i,a2 9，故椭圆的方程为当焦点在y轴上时，设其方程为9 0 2 2由椭圆过点P3,0，知笃 2 1•又a3b，联立解得a2 81,b2 9，故椭圆的方程为ab2y812x1•9例3ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：(1)由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解.(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解：(1)以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设 G点坐标为x,y，由GCGB20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因 a10,c8，有故其方程为x21002y36(2)设Ax,y2，则—1002y36由题意有x3'代入①，得A的轨迹方程为y 900 3243，其轨迹是椭圆(除去x轴上两点).，过p点作焦例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 ，过p点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1竽解：设两焦点为F1、F2，且PF1竽,PF2口.从椭圆定义知32aPF1PF2 2(5.即从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1中,sinPF|F2PF2可求出 PF1F可求出 PF1F2—,2cPF1cos—6625，从而b263103•••所求椭圆方程为2 2x3y5 1010例5已知椭圆方程b21ab0，长轴端点为A,,A2，焦点为Fi,F2,P是椭圆上一点， a1pa2 ,f1pf2分析：求面积要结合余弦定理及定义求角•求：F1•••所求椭圆方程为2 2x3y5 1010例5已知椭圆方程b21ab0，长轴端点为A,,A2，焦点为Fi,F2,P是椭圆上一点， a1pa2 ,f1pf2分析：求面积要结合余弦定理及定义求角•求：F1PF2的面积(用a、b、 表示).的两邻边，从而利用S丄absinC求面积.2解:如图，设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:F1PF2F1F2 |PF1IPF1|PF22a1-|PF1|PF2sinPF22PF」•PF22cos4c.①②，则②2—①得212b2sin21cosPF1PF2b2tan22b21cos轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点，即定点A3,0和定圆圆心B3,0距离之和恰好等于定圆半径，即PAPBPM||PBBM8••点P的轨迹是以A,B为两焦点， 22半长轴为4,半短轴长为b.4232■,7的椭圆的方程：- —1.16 7说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2例7已知椭圆—y2121求过点P丄，丄且被P平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOpkoQ求线段PQ中点M的轨迹方程.解：设弦两端点分别为M论，y1,NX2,y，线段MN的中点Rx,y，贝V2X12y22,①①-②得X1X2X1 X2 2y1 y2y1 y?2X22yf2,②由题意知X1X2，则上式两端同除以X1 x2，有X1X22x,③X1X22y1 y2 0,*y22y,④X-I x2分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.0•⑤将③④代入得X2y—准X1x21(1)将x2，y2代入⑤，得y1y2x1 x21丄，故所求直线方程为:22x4y3 0.⑥将⑥代入椭圆方程x22y2 2得6y26y3614640符合题意，2x4y30为所求.(2)将X-I x22代入⑤得所求轨迹方程为:x4y0.(椭圆内部分)(3)将X1 X2y1代入⑤得所求轨迹方程为:22y22x2