计量经济学-汪家义课件 第3章 第4节 回归模型的函数形式

经济计量学汪家义第四节回归模型的函数形式在前面所用的回归分析中，大部分模型被解释变量与解释变量的关系均为线性关系，但是在经济系统中,有时候我们可能要用到许多变量间非线性关系的回归模型。有一类非线性回归模型，其形式是非线性的，但可以通过适当的函数变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。4．多项式模型在此，我们主要讨论如下四种形式的非线性回归模型。1．双对数线性模型

2．半对数模型3．双曲线模型一、双对数线性模型在进行某商品的市场需求分析时，我们知道价格是影响需求量的重要因素，我们设定如下模型：式中，Yi

＝需求量，Xi＝价格。称为幂函数模型（1）幂函数图形对幂函数模型两边取对数可得：

1.线性化方法：令，则幂函数模型可表达为：该模型中LnYi

对是线性关系，LnYi对LnXi

也是线性关系。该模型可称为对数—对数线性模型，简称为对数线性模型。令线性化后的模型为：我们可以使用普通最小二乘法对该模型进行估计。思考：模型可否线性化？对于如下的双对数模型：由于：2.斜率系数的意义：所以，在对数线性模型中，斜率系数度量了Y对X的弹性，也就是当解释变量X变化1%时，Y

变化的百分比。若模型中X

代表价格，Y

代表需求量，则预期价格弹性<0。因此，就代表当价格X上涨或下调1%时，需求量下降或上涨的百分比。由于在线性回归模型中，是一个常数，因此，对数线性模型假定Y与X之间的弹性系数在整个研究范围内保持不变，所以称为不变弹性模型。多元对数线性模型回归模型为：分别为Y对X2，X3，…，Xk的弹性。1．对数线性模型的优点在回归分析中使用对数线性模型的优点和规则（1）对数线性模型中斜率系数度量了一个变量（Y）对另一个变量（X）的弹性（相对变化率）。（2）斜率系数与变量X，Y的测量单位无关。

（3）当Y>0时，使用对数形式LnY

比使用水平值Y作为被解释变量的模型更接近经典线性模型。（4）取对数后会缩小变量的取值范围。使得估计值对被解释变量或解释变量的异常值不会很敏感。这是因为：大于零的变量，其条件分布常常是有异方差性或偏态性；取对数后，虽然不能消除这两方面的问题，但可大大弱化这两方面的问题。对于何时取对数并不存在一个固定模式，但有一些经验法则。（1）对于大于0的数量变量，通常均可以考虑取对数。例如，需求量、价格、工资等。（2）以年度量的变量，如受教育年数、工龄、年龄等则通常以其原有形式出现。此时若取对数，其经济意义不强。2．对数线性模型的经验法则（3）以比例或百分比度量的变量，如失业率、通货膨胀率、犯罪率等变量即可使用原形式也可使用对数形式。但两种使用方法中参数的意义不同。（4）使用对数时，变量不能取0或负值。【例3.7】中国柯布—道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数是描述经济系统投入与产出关系的著名模型，简称C-D生产函数。C-D生产函数的经济计量模型为：其中：Y＝产出，L＝劳动投入，K＝资本投入，u＝随机干扰项，e＝自然对数底。上式为非线性模型，取对数后可得上式是一个对参数而言的线性模型。LnY

对变量L,K

为非线性，但对它们的对数LnL，LnK

为线性，这是一个对数—对数线性模型。在C-D生产函数中1．参数α

是产出对劳动投入的弹性，表示在资本投入保持不变的条件下,劳动投入变化1%时的平均产出变化百分比。2．参数β

是产出对资本投入的弹性，表示在劳动投入保持不变的条件下资本投入变化1%时的平均产出变化百分比。如α+β<1，则为规模报酬递减，即2倍的投入带来少于2倍的产出。3．总和（α

+β）显示经济系统规模报酬状态。表示劳动投入和资本投入都增加1%时，产出变化百分比。如α

+β＝1为规模报酬不变，2倍的投入带来2倍的产出，3倍的投入带来3倍的产出。如α

+β>1，则为规模报酬递增，即2倍的投入将带来多于2倍的产出。年份实际GDP（Y）（亿元）就业人数（L）（万人）投资额（K）（亿元）19851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220038964.409753.2710884.6512114.6212611.3213090.5514294.8816324.7518528.5920863.1923053.8325267.0027490.4929634.7531738.8234277.9236848.7639907.2143618.58498735128252783543345532964749654916615266808674556806568950698207063771394720857302573740744322543.22983.43450.13571.63045.92950.43338.04182.25244.46311.97002.27707.28305.49301.39794.810842.512125.614118.817612.2表3.71985~2003年中国实际GDP、就业人数和投资额

Se＝(1.4060)(0.1477)(0.0322)

t＝(-5.7507)(7.7545)(18.9880)

P＝(0.0000)(0.0000) (0.0000)

R2＝0.9934＝0.9925

DW＝1.33303F＝1197.679n＝19式中，Yt＝实际GDP，Lt＝就业人数，Kt＝实际投资额。α

+β

＝1.1450+0.6111＝1.7561>1，说明中国在1985~2003年期间的经济系统处于规模报酬递增阶段。

α=1.145

，表明产出对劳动投入的弹性为1.145，即在资本投入保持不变的条件下,劳动投入每增加1%时，产出平均增加1.145%。中国C-D生产函数的判定系数R2＝0.9934，说明产出的对数变异的99.34%可由劳动投入和资本投入的对数来解释。β

=0.6.111，表明产出对资本投入的弹性为0.6111，即在劳动投入保持不变的条件下,资本投入每增加1%时，产出平均增加0.6111%。二、半对数模型（一）对数到线性模型在经济系统中，人们常常用GDP、失业、进出口、投资、人口等指标的增长率来描述经济系统的发展状态，该类模型以时间t

作为解释变量（称为增长模型）。对数—线性模型为我们研究这类问题提供了方便，该类对数—线性模型为：式中，Yt

＝要研究的经济现象，t＝时间变量。这里，若Yt

表示年度GDP，则表示的是GDP的年增长率。若Yt

表示年投资额，则表示的是投资的年增长率。（1）对数到线性模型的一般概念：在回归模型中，被解释变量为对数形式，解释变量为线性形式，称为对数到线性的半对数模型。（2）对数到线性模型的一般形式：又称指数模型（3）对数到线性模型斜率系数的含义斜率系数表示解释变量X的绝对量改变一个单位时，被解释变量Y的平均相对改变量。（4）对数到线性模型表示的曲线注意到：所以，Y对X的弹性为。（5）Y对X的弹性于是

Ln(GDP)＝9.009+0.0899t

Se＝(0.0179)(0.0016)

t＝(502.1731)(57.1157)P＝(0.0000)(0.0000)R2＝0.9948F＝3262.204n=19、【例3.8】利用表3.7中实际GDP数据，取时间变量t＝1,2,…,19，得到中国1985~2003年的经济增长模型为此中国经济增长模型说明中国在1985~2003年期间，实际GDP每年增长8.99%。EViews

输出结果为（1）线性到对数模型的概念：在回归模型中，被解释变量为线性形式，解释变量为对数形式，称为对数到线性的半对数模型。（二）线性到对数模型（2）线性到对数模型的一般形式：（3）线性到对数模型斜率系数的含义当＝0.01＝1%时，，即当解释变量X增加1%时，被解释变量Y增加的绝对量为

。（4）线性到对数模型表示的曲线注意到：所以，Y对X的弹性为。（5）Y对X的弹性【例3.9】中国能源消费对GDP的影响（1989~2003年）为了研究能源增长的相对变化对经济总量GDP增长的影响，可使用对数到线性模型（为了说明对数到线性回归模型的应用，此处使用了也许不恰当的一元回归模型）。Y＝国内生产总值（亿元），X＝能源消费总量（万吨标准煤）。年份实际GDP（亿元）能源消费量（万吨标准煤）19891990199119921993199419951996199719981999200020012002200312611.3213090.5514294.8816324.7518528.5920863.1923053.8325267.0027490.4929634.7531738.8234277.9236848.7639907.2143618.589693498703103783109170115993122737131176138948137798132214130119130297134914148222167800表3..9中国能源消费与GDPSe＝(86405.97)(7760.78)t＝(-7.7970)(8.0966)P＝(0.0000)(0.0000)R2＝0.8345F＝65.5551n＝15使用普通最小二乘法，可得回归模型：模型中，斜率系数是高度显著的，＝59597.34说明在1989~2003年期间，能源消费量每增加1%，国内生产总值平均增长595.9734亿元。三、倒数模型当解释变量以倒数形式出现时的模型称为倒数模型或双曲线模型。模型形式为：式中，Y

对X是非线性，但对参数而言是线性的，Y

对也是线性的。此模型的特点为当X值趋向于无穷大时，趋向于0，Y趋向于。β10Yβ2>0β1

>01X双曲线模型主要有以下三种形式：图①可用来描述平均总成本曲线，单位固定成本随着产量X的的增加而下降。0β1Yβ2>0β1

<0X0X2图②是宏观经济学中著名的菲利普斯曲线（Phillipscurve）。用来描述工资变化率Y随失业率X的变化情况。3β10Yβ2<0Xβ1>0图③是恩格尔支出曲线。用来描述购买某一商品的支出Y与收入X之间的关系。四、多项式模型多项式模型在研究成本和生产函数的经济计量分析中有较大的应用价值。边际成本曲线和平均总成本曲线均为U形曲线，我们必须用二次曲线去描述它。称为二次函数或二次多项式。对于更加复杂的总产量曲线和总成本曲线，可使用三次多项式去描述。称为三次函数或三次多项式。表3.5给出了某产品的产量X和总成本Y数据。产量(X)总成本(Y)（元）12345678910193226240244257260274297350420表3.5产量与总成本【例3.10】总成本函数

使用表3.5中的数据绘制散点图。如图3.2所示scatxyEviews命令：由图3.2可以看出，总成本与总产出之间的关系为一条拉长的S

曲线，因此需要用三次多项式来描述它。这里，Y＝总成本，X＝产量。利用表3.5中的数