趋势曲线模型预测法课件

第三章趋势外推模型预测法第一节直线模型预测法

第二节多项式曲线模型预测法第三节指数曲线模型预测法第四节修正指数曲线模型预测法第五节成长曲线预测模型应用趋势延伸法有两个假设前提：（1）决定过去预测目标发展的因素，在很大程度上仍将决定其未来的发展；（2）预测目标发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。

常见的趋势线直线指数曲线二次曲线三次曲线修正指数曲线龚柏兹曲线如果时间序列有偶数项，则对称编号方式：…，-5，-3，-1，1，3，5，…如果时间序列有奇数项，则对称编号方式：…，-2，-1，0，1，2，…例1某市1978—1986年化纤零售量如表所示，试预测1987年化纤零售量。

某市化纤零售量及其一阶差分

单位：万米解：1、选择预测模型计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果可以看出，一阶差分大体接近。因此，可配合直线预测模型来预测。2、建立直线预测模型根据资料列表计算有关数据。年份197819791980198119821983198419851986零售量265297333370405443474508541一阶差分——3236373538313433所求直线预测模型为：3、预测以代入预测模型，则可预测1987年化纤零售量为：二、折扣最小平方法折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣加权后，使其总和达到最小的方法。其数学表达式为：最近期的误差平方的权数为，最远期的误差平方的权数为。第t期的误差平方的权数为。由于是越来越小的权数，这说明对最近期的误差平方不打折扣，而对远期的误差平方，越远打的折扣越大。所以称为折扣最小平方法。

例2根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料，试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。（α=0.8）

年份t零售量n--t1978126580.167844.46744.4670.16780.1678265.791979229770.209762.2809124.5610.41940.8388300.391980333360.262187.2793261.8370.78632.3589334.991981437050.3277121.249484.9961.31085.2432369.601982540540.4096165.888829.442.04810.24404.201983644330.512226.8161360.893.07218.432438.801984747420.64303.362123.524.4831.36473.411985850810.8406.43251.206.451.2508.0119869541015414869981542.61总计—3636—4.32891958.7413349.9727.684200.8403637.8解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式得：解此方程组得：所求直线预测模型为：将各年的t值代入预测模型，可得各年的追溯预测值

第二节多项式曲线模型预测法多项式曲线预测模型的一般形式为：二次抛物线预测模型为：二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一常数：2、用三点法确定待定系数

由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：

其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即设初、中、近期三点的坐标为又设n为数列总项数，且为奇数，则：正中项

设各项观察值为，五项加权平均时，三个加权平均数为：这三点的横坐标也应取加权平均值，即：五项加权平均时，三点的坐标为：三项加权平均时三点的坐标为：二次抛物线预测模型的参数估计值二次抛物线预测模型为：求得的三点坐标必须满足这模型。因此五项加权平均时有：解方程组得参数估计值为：同理，三项加权平均时，参数估计值为：

年份年次t收购量yt权数w1978154.5154.554.9620.213441979264.12128.264.7430.413451980376.43229.277.4361.073301981492.3192.393.0430.5520519825110.72221.4111.5630.7447719836132.23396.6132.9950.6320319847156.81156.8157.3410.2926819858183.62367.2184.6001.000019869214.03642214.7710.59444总计—————5.51616根据上表资料计算得：代入公式得：

二次抛物线预测模型为：将各年的t值代入预测模型，可得各年的追溯预测值

三次抛物线预测模型为：三次抛物线预测模型的特点是三阶差分为一常数：

例3某省1974~1986年机械手表销售量如下表所示。试预测1987年手表销售量。

年份年次t销售量1974-61036-2161296466561975-51125-125625156251976-41216-6425640961977-3149-27817291978-2154-816641979-1161-1111980016000019811141111198221348166419833119278172919844131664256409619855142512562515625198661536216129646656总计017418204550134342-60360-21608.9201.1664-55275-137511.6920.4789-48192-76813.4962.2380-42126-37814.4980.2480-3060-12014.8630.0188-1616-1614.7581.542600014.34972.723514141413.8030.0388265210413.2850.0812339929712.9613.84565220883212.9970.0000170356175013.5600.193690540324014.8160.03393422981420173.99912.60931解：1、选择预测模型。从表的资料，可以看出机械手表销售量是呈现先上升，后下降，再上升的发展趋势，其图形为一条有两个弯曲的曲线，因此，可配合三次抛物线预测模型来预测。2、建立三次抛物线预测模型。列表计算有关数据。将计算结果代入公式得：解此方程组得：

所求三次抛物线预测模型为：将各年的t值代入预测模型，可得各年的追溯预测值。

3、预测又α=0.05，自由度n—m=9时，查t分布表得：以t=7代入预测模型，可得1987年手表销售量的预测值为：预测区间（简化式）为即有95％的把握预期1987年该省机械手表销售量将在（14.15，19.71）万只之间指数曲线模型预测法指数曲线预测模型为：其特点是环比发展速度为一常数：可化为对数直线模型：其特点是对数的一阶差分为一常数：

根据最小平方法的原理并使Σt=0，推导求得：再求反对数，便得a、b的估计值。例5某市1978~1989年居民储蓄存款余额如表所示，试预测1990年该市居民储蓄存款余额。

某市居民储蓄存款余额最小平方法计算表单位：亿元

年份年次t储蓄额yt环比发展速度(%)tlgyt1978-115.67——0.75358121-8.289385.38901979-97.09125.040.8506581-7.655857.18161980-79.56134.840.9804649-6.863229.57051981-513.07136.721.1162825-5.5814012.75411982-316.75128.161.224019-3.6720316.99661983-121.62129.071.334861-1.3348622.65031984128.34131.081.4524011.452403086140.651.6005494.8016240.22531986554.16135.881.73368258.6684053.60581987774.84138.181.874134913.1189171.43721988994.38126.111.974888117.7739295.2000198911129.94137.682.1137412123.25114126.8673总计——————17.0092157235.66965——解：1、选择预测模型。计算序列的环比发展速度，列于上表中，从计算结果可以看出，环比发展速度大体相近，因此，可配合指数曲线预测模型来预测。2、建立指数曲线预测模型。列表计算有关数据。将计算结果代入公式，可得：求反对数，得：所求指数曲线预测模型为：3、预测。90年居民储蓄存款余额的预测值为：

二、两点法指数曲线的对数形式为：令化为直线预测模型：若n≥10时，在序列首尾两端各取五项加权平均，可得参数估计值若6≤n<10时，则取三项加权平均，同理可求得参数估计值为：

例6根据例5某市居民储蓄存款余额的统计资料。试用三点法建立预测模型，预测1990年该市居民储蓄存款余额。某市居民储蓄存款余额指数曲线预测模型三点法计算表

年份年次t储蓄额权数w1978-115.670.7535810.753585.37911979-97.090.8506521.701307.18171980-79.560.9804632.941389.58821981-513.071.1162844.4651212.80131982-316.751.2240156.1200517.09101983-121.621.33486小计15.9814322.81811984128.341.45240

30.46451985339.861.6005411.6005440.67311986554.161.7336823.4673654.30271987774.841.8741335.6223972.49951988994.381.9748847.8995296.7941198911129.942.11374510.56870129.2298————————小计29.15851——解：1、建立指数曲线预测模型。根据表中的资料计算得：代入公式得：所求预测模型为：2、预测。以t=13代入预测模型，可得1990年该市居民储蓄存款余额的预测值为：修正指数曲线模型预测法预测模型及其特征

修正指数曲线预测模型为：k(a>0)

(a<0)k+ak+a(0<b<1)k+akk+a(a>0)

(a<0)

(b>1)由于修正指数曲线预测模型的一阶差分：是指数函数形式，因此由指数曲线预测模型的特点，可知修正指数曲线预测模型的特征是，一阶差分的环比为一常数。

3.4修正指数曲线拟合法

2、参数的确定方法：（1）分组平均法（三点法），（2）三和法设有3n个观察值（若9个数据n=3），取时间则有：n个n个n个①②③

3.4修正指数曲线拟合法

将三组分组左、右两边分别相加得①

②③③式-②式④式，②式-①式

⑤式④⑤把⑥式代入⑤式⑥例7某市1977~1985年某种家用电器销售量如表所求，试预测1986、1987年该种家用电器销售量。

年份年次t销售量一阶差分一阶差分环比（%）1977197819790124.604.905.14——0.300.24————80.004.60314.89975.13731980198119823455.335.485.600.190.150.1279.1778.9480.005.32775.48015.60231983198419856785.705.785.840.100.080.0683.3380.0075.005.70025.77865.8418解：1、选择预测模型。计算序列一阶差分的环比列于表中，可知一阶差分环比基本上为一常数。因此，可配合修正指数曲线预测模型来预测。2、建立修正指数曲线预测模型。n=3将计算结果代入k、a、b的计算公式，得：

所求修正指数曲线预测模型为：

3、预测。以t=9和t=10分别代入预测模型，可得1986年和1987年该种家用电器销售量的预测值分别为：

表明这种家用电器已处于饱和状态。生长曲线（S曲线）预测法技术和经济的发展过程类似于生物的发展过程，经历发生、发展、成熟三个阶段。每一阶段的发展速度是不一样的。一般地，在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；到成熟阶段，变化速度又趋于缓慢，按照这三个阶段发展规律得到的事物变化发展曲线，通常称为生长曲线或增长曲线，亦称逻辑增长曲线。由于此类曲线常似“S”形，故又称S曲线。现在，S曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育及某些技术、经济特性的发展领域中。024681012-20-15-10-505101520成长曲线预测模型一、龚柏兹曲线预测模型龚柏兹曲线，是美国统计学家和数学家龚柏兹首先提出用作控制人口增长率的一种数学模型。它的预测模型为：对其求一、二阶导数，有并令，可求得曲线拐点的位置为：0<a<1e=2.718282

3.5.1龚珀兹曲线拟合法1、模型形式和特征yt

(0<a<1，0<b<1)yt

0<a<1，b>1

ytk

a>1，0<b<1

ytka>1,b>1特征：纵坐标取对数后的一级增长量的环比系数为常量b。参数估计对数形式：令上式变为：依照修正指数曲线估计参数的方法，可得b，lga和lgk的计算公式：

这里n为总数据的1/3。分别为总数据三等分后的各部分和。

例8

某省1976~1984年小型拖拉机拥有量如表所示。试预测1985年和1986年小型拖拉机拥有量。某省小拖拉机拥有量龚柏兹曲线预测模型计算表

单位：千台

年份年次t拥有量的一阶差分的环比（%）相对误差（%）19761977197801225.85032.80444.4771.41251.51591.6481——0.10340.1322————127.8524.23234.48545.1336.2505.124-1.47519791980198134556.00264.96072.0801.74821.81261.85780.10010.06440.045275.7264.3470.1955.41464.80173.0151.0500.245-1.29719821983198467880.28285.83589.9001.90461.93371.95380.04680.02910.0201103.5362.1869.0779.97185.71990.3780.3870.135-0.532解：将计算结果代入b，lga和lgk的计算公式。可得：求反对数，得：所求龚柏兹曲线预测模型为：3、预测。以t=9和t=10分别代入，得1985年和1986年小型拖拉机拥有量的预测值分别为：

二、罗吉斯缔曲线预测模型罗吉斯缔曲线预测模型为：对其求一、二阶导数，有并令，可求得曲线拐点的位置为

由于罗吉斯缔曲线的倒数是修正指数曲线。因此，依照修正指数曲线估计参数的方法，可得b、a和k的计算公式：

例9某省1969~1987年人口统计数据如表所示，试预测该省1990年人口总数。

年份年次t人口总数一阶差分环比（%）相对误差（%）196919701971197219731974012345470248114948505751755268212720792021197719321898——-48-58-44-45-34————1.210.761.200.764756.34849.84943.75037.85132.15226.6-1.155-0.8060.0870.3800.8290.78619751976197719781979198067891011535554275502559356815780186718431818178817601730-31-24-25-30-28-300.910.711.041.200.931.075321.15415.65501.15604.55698.75792.60.6330.2100.016-0.206-0.312-0.218198119821983198419851986121314151617588459876075616662536346170016701646162215991576-30-30-24-24-23-231.001.000.801.000.951.005886.35979.76072.76165.26257.26348.7-0.0390.1220.0380.013-0.067-0.043