第12章-结构动力计算

一、动力计算的特点和内容1、动力计算的特点

“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。

与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。第一节概述退出2、动力计算的目的和内容

结构动力计算的目的在于确定结构在荷载作用下产生的最大内力与最大位移，为设计提供可靠的依据。此外还需求出结构在动力荷载作用下产生的最大速度和加速度，用以判别所设计的结构是否超过规范中的允许值，因为过大的速度和加速度对人工健康、工艺过程和建筑物不利。

结构在动力荷载作用下的计算，要涉及内外两个方面的因素，即结构本身的动力特性和干扰力的变化规律。所谓结构的动力特性是指结构的自振频率、振型和阻尼，其中阻尼的大小取决于结构的物理性质，它是由试验测定的，而结构的自振频率和振型的计算就构成结构动力计算中一个很重要的组成部分。

至于干扰力的变化规律可事先设定或由统计得到。

结构的动力计算将分为两大类，即自由振动(结构自身的动力特性)和强迫振动(结构受到激励后的动力反应)。退出3、动力计算的研究方法理论分析实验研究数学模型结构的质量是连续分布结构的质量离散化无限自由度体系多自由度体系材料性能的测定结构动力相似模型结构固有振动测定振动环境试验联机实验退出二、动力荷载分类(1)简谐荷载按正弦函数或余弦函数变化的周期荷载，称为简谐荷载。P(t)t(2)一般周期荷载它是指除简谐荷载以外的其它型式的周期荷载。tP(t)

图12-1

图12-2退出(3)冲击荷载

这类荷载的特点是在很短的时间内，荷载值急剧增大或急别减小。例如，锻锤对基础的撞击作用以及爆炸型荷载部属于这类荷载。因为在冲击荷载作用下．结构很快就达到它的最大反应值，由阻尼所吸收的能量较小，所以阻尼对这类荷载的动力反应的影响是比较小的。PtP(t)ttrPtrP

图12-3退出

它们不仅随时间作复杂变化，而且在基本条件不变的情况下，由于偶然因素的影响，两次荷载不会重现同一波形，因而不可能将荷载与时间的函数关系作出精确的数学描述。如地震荷载、风荷载、海浪作用等。(4)随机荷载

图12-4退出三、体系振动的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参变数的数目称为该体系的振动自由度。

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系

图12-5退出水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)4个自由度m1m2m32个自由度

图12-6退出y(x,t)x无限自由度体系2、广义座标法如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示

用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中

——是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。

ak(t)——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。xyxa1，a2，……..any(x,t)

图12-7

图12-8四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）…………..运动方程m设其中FP(t)＝FI(t)…………..平衡方程FI

(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反。改写成虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程）都要用到抽象的虚位移概念

图12-9退出

一、运动微分方程的建立1、刚度法m...yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移：k11.ydmmW弹性力：惯性力：(a)上式可以简化为：或上式即为以位移为未知量的平衡方程式，由于引用了刚度系数，称刚度法。(b)刚度系数

图12-10第二节单自由度体系的自由振动2、柔度法..m静平衡位置研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。..静平衡位置1根据比例关系可得到质点的位移为可进一步写成(c)由于，故式(b)与式(c)等效。上式平衡方程式，由于引用了柔度系数，称柔度法。柔度系数

图12-11退出二、自由振动微分方程的解它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数B，C由初始条件确定。单自由度体系的自由振动微分方程可改写为其中设在初始时刻t=0时：(d)(f)(e)则由式(e)可求出退出于是，式（e）可以写成

由式可知，动位移是由初位移y0

引起的余弦运动和由初速度v0

引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动，令

(g)式(g)

改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定(h)(i)退出y0tTTTyt0yt0A-A

图12-12退出三、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周期－工程频率－园频率－计算频率和周期的几种形式

图12-13退出[例12-1]图示三种不同支承情况的单跨梁，EI＝常数，在梁中点有一集中质量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。[解]先按前面章节的方法算出此三种情况下的静力位移分别为然后分别求得三种情况的自振频率为据此可求得

图12-14退出[例12-2]

试求图示刚架的自振频率。略去柱的质量。IIEI1=mhk11

[解]先求刚架的刚度系数k11。为此，作出刚架横梁发生水平单位位移时的弯矩图，根据横梁的平衡条件可求得于是刚架的自振频率为

图12-15退出T当

k11

较大或者

m

较小时，周期

T

取较低值。Displacement(m)四、自由振动反应讨论time(sec)

图12-16退出TDisplacement(m)当

k11

较小或者

m

较大时，周期

T

取较大值。

图12-17退出

图12-18退出建筑物自振周期随着高度增加而增加，下表给出的是周期估计(按照美国规范

IBC-2000

中的经验公式推算)建筑高度(m)砼抗抗弯框架砼剪力墙180.640.43601.581.06120--1.8240--3.0420--4.6

图12-19退出桥梁储水罐T=3-4secT=6-15sec

图12-20

图12-21退出桥梁自振周期T=0.5secT=1secT=2secT=5secT=10sec

图12-22退出五、简谐自由振动的特性由式可得，加速度为：

在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：

既然在运动的任一瞬时质点都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。惯性力为：退出[例12-3]

计算图示体系的自振频率。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2[解]：单自由度体系，以表示位移参数的幅值,各质点上所受的力为：建立力矩平衡方程化简后得

图12-23退出mk11(a)(b)

所谓爱迫振动，是指体系在干扰力作用下所产生的振动。下图(a)所示为单自由度体系的振动模型，由图(b)所示隔离体，可列出它的运动微分方程为或写成(a)

图12-24第三节单自由度体系的受迫振动退出一、一般动力荷载作用下的结构反应计算

单自由度体系不考虑阻尼时的运动方程如式(a)所示。它的一般解为相应齐次方程的一般解及任一特解之和。前者由本章第二节所述自由振动可知为而特解

则可利用拉格朗日变动常数法来求。设特解为则有令则(b)退出而将、代人方程(a)可得(c)解(b)、(c)两式得积分得退出于是特解可表示为故可得方程(a)的一般解为设在初始时刻t=0时：(e)则由式(d)可求出(d)故可得方程(a)的一般解可进一步表达为(f)退出二、简谐荷载作用下的结构反应计算设简谐荷载的表达式为其中，θ为简谐荷载的园频率，FP为荷载的最大值(称为干扰力的幅值)。将式(g)代人式(f)

得(g)自由振动伴生自由振动

纯受迫振动由于在实际振动过程中存在阻尼力，自由振动及伴生自由振动将很快地衰减，我们将振动刚开始时的这两种振动都同时存在的阶段称为过渡阶段，而将伴随自由振动衰减后只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段。(h)退出以下只讨论纯受迫振动的情况。此时有由于故(i)其中yst

为将干扰力幅值

FP

视为静力荷载作用于体系时所引起的位移。于是有其中位移放大系数动位移幅值退出

为了进一步说明单自由度体系在简谐荷载下的动力特性，现在来分析动力系数的变化情况式中，

=/称为频率比。(1)当θ＜ω，β＜1时，μ＞1

这表明动力位移的方向与干扰力Fp(t)的方向相同，而且动力位移恒大于干扰力幅值所产生的静力位移。当θ

＜＜ω时，μ≈1(2)当θ＞ω，β＞1时，μ＜0这表明动力位移的方向与干扰力Fp(t)的方向相反。当θ

＞＞ω时，μ→0退出(3)当θ=ω，β=1时，μ=∞

这表明当干扰力的频率与自振频率重合时，动位移和动内力都将无限增加，这种现象称之为共振。由于共振时将产生较大的位移和内力，在设计中应尽量加以避免。对于干扰力作用于质量上的单自由度体系来说，它所承受的惯性力和干扰力可以合并为一个外力，因而位移和内力是按同一比例变化的，故位移动力系数与内力动力系数完全相同，可以不作区分，并统称为动力系数。在工程设计中，采用动力系数去计算动力反应只限于此种情况。对于多自由度体系，不仅位移动力系数与内力动力系数不相同，而且不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，故无法采用统一的动力系数去计算动力响应。值得指出退出

[例12-4]图示一简支梁，其上安装有一台质量为m=20kg的发动机，转动时的离心力FP＝1960N。设梁为22b号工字型钢(I＝3570cm2)，E＝205.8×103

MPa，[σ]＝120MPa，试验算当发动机转数为400～500r／min时梁的强度。[解]先求梁的自振频率

图12-25退出当转速为时，

再求干扰力的频率：增大梁的截面尺寸当转速为时，由以上数值可知，梁的自振频率接近干扰力的频率，故应加以避免。设选用25a号工字钢(I＝5023．54cm4)，其自振频率为梁的自振频率更加接近干扰力的频率，所以并不是截面大就越安全。反而使工作条件更加恶化。退出减小梁的截面尺寸以20b号工字钢(I＝2500cm4，W＝250cm3)试算，此时算得对于此例，采用较小截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效果。退出三、冲击荷载作用下的结构反应计算(1)突加荷载

如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，则在突加荷载下的受迫振动可按下式计算：突加荷载引起的最大动力位移为(2)爆炸荷载退出

如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，则在爆炸荷载下的受迫振动可按下式计算：当t≤t0时当t≥t0时(a)当t0＜0.35T，μ＜

1。(b)当t0＞10T，μ→2。(c)当t0→∞

，爆炸荷载变成了突加荷载

。退出一、工程结构中的阻尼及其力学模型阻尼内部材料结构内部接触区域外部滞后作用(粘滞,摩擦,屈服)子结构间的相对变形与运动(轴承，节点)外接触(非结构部件，幅射至土中的能量)等效粘滞阻尼一般较小第四节考虑阻尼时单自由度体系的振动退出实际系统应用等效粘滞阻尼模拟阻尼系数=c

振动的衰减和能量的耗散都通过阻尼力来考虑，由于对阻尼力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比：*滞变阻尼理论其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。外力抗力(a)(b)1c(c)(a)

图12-26退出(a)(b)(c)动力荷载函数(b)

图12-27退出二、单自由度体系的自由振动并且特征方程特征值一般解令(c)阻尼比

退出（1）弱阻尼情形

(<1)令由初始条件确定C1和C2；设得则方程(c)的一般解为退出其中讨论：（a）衰减周期运动振幅周期yt0AnAn+1（b）阻尼对振幅的影响

图12-28退出振幅对数递减量由于:退出00.20.40.60.81.002468101214近似结果阻尼比

振幅对数递减量振幅对数递减量与阻尼比的关系精确结果

图12-29退出(2)临界阻尼情形(

=1)于是

r1,2=-（重根）微分方程的解由初始条件确定C1和C2设得y(t)t0临界阻尼ccr因阻尼比系数原特征根

图12-30退出（3）强阻尼情形

(＞1)此时，r1

和r2为两个负的实根，方程(c)的解为该情况下与临界阻尼情形相似，它也无振动发生。退出

强阻尼情形(＞1)t弱阻尼情形(<1)

图12-31退出临界阻尼情形(

=1)

图12-32退出三、单自由度体系受迫振动的一般解答一般荷载作用下，考虑阻尼时单自由度体系的运动方程为可转化为(d)它的一般解为相应齐次方程的一般解及任一特解之和。前者由上述自由振动可知为而特解

则可利用拉格朗日变动常数法来求。设特解为(e)退出则有令(f)于是可得退出将、代人方程(d)可得(g)解(f)、(g)两式得积分得于是特解可表示为(h)退出设在初始时刻t=0时：则由式(i)可求出(i)故可得方程(d)的一般解可进一步表达为(j)故可得考虑阻尼时单自由度体系受迫振动的一般解答，即方程(d)的一般解为退出四、单自由度体系在简谐荷载作用下的计算及讨论设简谐荷载的表达式为将上式代入式(j)，积分后可得开始处于静止状态后来承受简谐荷载的结构位移反应为式中(k)(l)退出

在式(k)中，振动由两部分组成，一部分振动的频率与干扰力的频率θ一致，而另一部分的频率则与体系的自振频率ω一致。由于阻尼的作用，频率为那一部分振动(称伴生自由振动)将很快衰减而消失掉，最后只剩下频率为θ的那一部分振动(称为纯受迫振动)。0.51.01.52.00-2-1012纯受迫振动y(t)/yst简谐荷载作用下单自由度结构的反应()总反应

图12-33退出下面着重讨论在平稳阶段纯受迫振动的—些性质或(m)(n)即即式中(o)退出

动力系数取决于、/（频率比），各种下-曲线如下图所示。可见对影响十分显著，增大将使减小，也即使反应减小。

z=5%z=10%z=20%z=50%DRF(=μ)z=70%

图12-34退出

(4)的最大值有阻尼时的最大值并不在=1处，而在处。由于阻尼很小，可近似认为在=1处。从上图可以看出(1)当θ

＜＜ω时，μ≈1

这表明当体系振动很慢时，可近似地将简谐荷载作为静力荷载FP来计算。(2)当θ

＞＞ω时，μ→0这表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。(3)0.751.25的范围称共振区在1时1/2，当无阻尼共振时趋于无穷，可见阻尼对共振影响显著，必须考虑。退出一、运动方程的建立(1)列位移方程-----柔度法写成矩阵形式柔度矩阵质量矩阵

图12-35第五节两个自由度体系的自由振动(2)列动力平衡方程-----刚度法写成矩阵形式刚度矩阵注意

图12-36二、频率和振型设体系的运动为简谐振动，则质点m1、m2的位移可以表示为

（a）式中，A1、A2分别是质点m1、m2

的位移幅值，为体系的自振频率。(1)柔度法令频率方程

退出将频率方程展开得

解得于是可以求得频率得两个值为

(b)(c)退出第一振型或基本振型

第二振型

两个振型可分别表示为退出两个主振型之间存在的正交关系

即

图12-37退出(2)刚度法解上述方程即可得到结构的频率。结构的第一振型由下列代数方程确定如令，则可得同理可得第二振型，不再赘述。退出三、运动方程的一般解

上述体系按其主振型所作的简谐振动，是在特定的初始条件下才能出现的一种运动形式，在数学上称为微分方程组的特解。由此可知，两自由度体系自由振动方程有两个特解，它们的线性组合将给出方程的一般解。就是说，在一般的情况下，两个自由度体系的主要振动可以看作是两个频率及其主振型的组合振动。

，

由上述可知，在一般情况下，体系的自由振动是由具有不同频率的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐运动。

退出四、示例[例12-5]试列出图示体系的运动方程并确定其频率和振型。

图12-38退出【解】

（1）列运动方程

对图示体系，先利用图乘法求出柔度系数如下，于是可得运动方程如下（2）频率方程和频率

＝0，

（3）求主振型第一振型第二振型

图12-39退出或写成

图示的两个自由度体系，其上受有同频率的简谐荷载和的作用，其运动方程可按位移方程列出如下(1)运动方程的建立(a)

图12-40第六节两个自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动退出(2)运动方程的求解

式（a）是一个非齐次的线性微分方程组，它的一般解由两部分组成