2019届大数学全国用讲义第十一章统计与统计案例 11.1 随机抽样 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§11。1随机抽样最新考纲考情考向分析1。理解随机抽样的必要性和重要性．2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样的方法。在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题。1．简单随机抽样(1)（2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．(3）应用范围：总体个体数较少．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．（1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f（N，n）(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f（N，n)；(3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；（4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k），再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去,直到获取整个样本．3．分层抽样（1）定义：一般地,在抽样时，将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．（2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(√)（2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关．(×）（3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．（×)（4）系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．(√）(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平．(×）(6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（×)题组二教材改编2．[P100A组T1］在“世界读书日"前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（)A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200。3．［P100A组T2]某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33,34，33 B．25，56,19C．20,40,30 D．30，50,20答案B解析因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25，56,19.4．［P59T2]某班共有52人,现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（）A．10B．11C．12D．16答案D解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D。题组三易错自纠5．从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10,15，20，25 B．3，13,23,33，43C．1，2，3，4,5 D．2,4，6,16,32答案B解析间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23，33，43.6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件．答案1800解析分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件.题型一简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人,从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是(）A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率答案A解析利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号,…,46号便可，B错误;这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误.2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A。08B．07C．02D．01答案D解析由题意知前5个个体的编号为08，02,14,07，01.3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1，3)，则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为（）A。eq\f（1，4） B.eq\f（1，3）C。eq\f(5,14) D。eq\f(10,27）答案C解析由题意知eq\f(9，n－1）＝eq\f（1，3），得n＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq\f（10，28)＝eq\f(5，14)，故选C。思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀．一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．（2）题型二系统抽样典例(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3B．4C．5D．6答案B解析由题意知，将1～35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139，151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.（2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（)A．11B．12C．13D．14答案B解析由eq\f(840,42）＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481，720]的人数为eq\f(720－480，20)＝eq\f(240，20）＝12.引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．（填“能”或“不能”）答案不能解析若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2。5，n不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变,若在编号为[481,720］中抽取8人，则样本容量为________．答案28解析因为在编号[481，720]中共有720－480＝240人，又在[481，720］中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为eq\f（840,30)＝28。思维升华(1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．（2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．（3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定,其他编号便随之确定．跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001，002，…,600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003。这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的人数依次为（)A．26，16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9答案B解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生，第k（k∈N*)组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103，4）,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得eq\f(103,4）<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8。题型三分层抽样命题点1求总体或样本容量典例（1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（)A．9B．10C．12D．13答案D解析∵eq\f（3，60）＝eq\f(n,120＋80＋60）,∴n＝13。(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（）A．54B．90C．45D．126答案B解析依题意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18,解得n＝90,即样本容量为90。命题点2求某层入样的个体数典例（1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人,则该样本中的老年教师的人数为(）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B．100C．180D．300答案C解析由题意得抽样比为eq\f（320，1600）＝eq\f（1，5），∴该样本中的老年教师的人数为900×eq\f(1,5)＝180.(2）(2017·重庆一诊)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人，则北乡遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人答案B解析由题意可知，这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×eq\f（8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108，故选B.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．（2)（3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练(1)（2017·南昌一模）某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于()A．860 B．720C．1020 D．1040答案D解析分层抽样是按比例抽样的，所以81×eq\f（1200，1000＋1200＋n)＝30，解得n＝1040。（2）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．答案200，20解析该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200,其中抽取的高中生近视人数为2000×2％×50%＝20。五审图表找规律典例（12分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示：人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200共计16032048010402000（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人?(3)若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？抽取40人调查身体状况↓(观察图表中的人数分类统计情况）样本人群应受年龄影响↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)要以老、中、青分层，用分层抽样↓要开一个25人的座谈会↓（讨论单位发展与薪金调整)样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定）要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样↓要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解↓（可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当）将单位人员看作一个整体↓(从表中数据看总人数为2000）人员较多，可采用系统抽样规范解答解(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，［1分］抽取比例为eq\f（40,2000）＝eq\f(1，50）。［2分]故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．[4分](2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，[5分］抽取比例为eq\f(25,2000）＝eq\f（1，80）,[6分]故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．[8分］（3）用系统抽样,对全部2000人随机编号，号码从0001~2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．［12分]1．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2〈p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析由随机抽样的知识知，三种抽样中,每个个体被抽到的概率都相等,故选D。2．打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是（）A．系统抽样 B．分层抽样C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法答案A解析符合系统抽样的特点,故选A.3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到"的可能性分别是（)A。eq\f（1，10),eq\f(1，10） B。eq\f(3，10），eq\f（1,5）C.eq\f（1,5）,eq\f（3，10) D.eq\f(3,10），eq\f(3，10)答案A解析在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为eq\f(1,10），故选A。4．(2018·晋城月考)将参加英语口语测试的1000名学生编号为000，001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…,019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为（)A．700B．669C．695D．676答案C解析由题意可知，第一组随机抽取的编号为015,分段间隔数k＝eq\f(N，n）＝eq\f（1000，50)＝20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×20＝695.5．某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3600双皮靴,在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b,c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的产品数为（)A．800 B．1000C．1200 D．1500答案C解析因为a，b,c成等差数列,所以2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的eq\f（1，3)，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的eq\f（1，3）,所以二车间生产的产品数为3600×eq\f(1，3)＝1200。故选C.6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2，…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中,编号落入区间［1，450］的人做问卷A，编号落入区间［451，750］的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为()A．7B．9C．10D．15答案C解析由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为eq\f（960，32)＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939。落入区间［451,750］的有459，489，…,729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列,设有n项,显然有729＝459＋(n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

7．(2018·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿"节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为()A．90 B．180C．270 D．360答案B解析设老年人有x人，从中抽取y人，则1600＋3x＝4300，得x＝900，即老年人有900人，则eq\f（900,1600)＝eq\f（y,320），得y＝180。故选B。8．(2017·雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号,求得间隔数k＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号,如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是()A．177 B．157C．417 D．367答案B解析根据系统抽样的特点可知,抽取出的编号成首项为17,公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋（8－1)×20＝157。9．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18解析∵eq\f(样本容量,总体个数）＝eq\f（60,200＋400＋300＋100)＝eq\f（3,50），∴应从丙种型号的产品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．10．（2017·潍坊模拟)某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq\f（2，5)。为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．答案36解析根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×eq\f（3，5）＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq\f(3，2＋3＋5)＝36.11．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5，6～10，…，196~200,若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人．答案3720解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则eq\f（40，200)＝eq\f（x，100），解得x＝20.12．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．答案60解析根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为eq\f(4，4＋5＋5＋6）×300＝60。13．（2017·宁夏中卫二模)某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试（后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（）A．3B．1C．4D．2答案A解析根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为eq\f（32，8）＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14．某校共有学生2