地图数学基础

地图数学基础第1页/共110页§1地球体1.1地球的自然表面地表是一个高低起伏、极其复杂的表面。

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。第2页/共110页1.2地球的物理表面--大地水准面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面（geoids）。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。第3页/共110页1.3地球的数学表面—旋转椭球面（1）概念：旋转椭球体：是一个与大地体近似的、由长短半径组成的椭圆沿其短轴旋转而成的椭球体。这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为

地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量和制图的基准面。第4页/共110页椭球体要素:

长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab对

a，b，α的具体测定是近代大地测量的一项重要工作。椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率椭球的扁率第5页/共110页克拉索夫斯基椭球体（1940）1975年国际椭球体WGS-84椭球体6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1／298.30.0066934216229660.0067385254146836378140.000000000（m）6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1／298.2570.0066943849995880.0067395018194736378137.0000000000(m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.2572235630.00669437990130.00673949674227几种常见的椭球体参数值第6页/共110页（2）参考椭球体及地球椭球体定位

对地球形状a，b，f

测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——

参考椭球体，这项工作就是椭球体定位：确定参考椭球体，进而获得大地测量基准面和大地起算数据的工作。

基准面：利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近椭球体与基准面之间的关系？

如前苏联的Pulkovo1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体

pp0参考椭球面第7页/共110页

中国1953年前采用海福特（Hayford）椭球体；

1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。第8页/共110页

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。§2地球坐标系与大地定位2.1地理坐标

——

用地理经纬度表示地面点位的球面坐标。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度第9页/共110页①天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。北极星任意时角法中天法2.1地理坐标天文经度：过观测点子午面与本初子午面间的两面角。天文纬度：赤纬，观测点铅垂线与赤道平面间的夹角。第10页/共110页②大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l

、大地纬度

。

2.1地理坐标大地经度l

：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度

：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。地表面相邻两点经度之差称为经差，某两点纬度之差称为纬差。第11页/共110页子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径法截面：过椭球体表面上一点作一法线，过法线的平面所作的截面称为法截面，法截面和地面的交线形成的弧段称为法截弧。主法截面：互为正交的法截面称为主法截面子午圈截面：通过该点的法线且又同时通过椭球体极轴的法截面称为子午圈法截面。卯酉圈截面：通过该点法线并垂直于子午圈截面的法截面，称为卯酉圈截面。第12页/共110页卯酉圈曲率半径以字母N表示：平均曲率半径R纬圈的半径ra为椭球体的长半径；e为第一偏心率，当椭球体选定后，a、e均为常数，φ为纬度。子午圈曲率半径M:《制图用表》第13页/共110页③地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l

，地心纬度是指参考椭球面上观测点和椭球质心或中心连线与赤道面之间的夹角y

。2.1地理坐标第14页/共110页2.2大地坐标系与地心坐标系大地坐标系：以参考椭球面为参考面，以法线为参考线，用大地经纬度表示地面点在参考椭球面上位置的空间坐标系

地面点位置用大地经度l

、大地纬度和大地高H表示。地心坐标系:以地球的质心作为坐标原点的坐标系称之为地心坐标系WGS-84世界大地坐标系WGS-84是CTS,坐标系的原点是地球的质心，Z轴指向BIH1984.0CTP方向，X轴指向BIH1984.0零子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系第15页/共110页2.3投影平面坐标系（1）平面直角坐标系

当测量或制图范围较小时，可以把该区域的球面视为水平面，将地面点直接沿铅垂线方向投影到水平面上，以相互垂直的纵横轴建立平面直角坐标系。（2）平面极坐标系以向径ρ和极角θ构成的点位二维平面坐标系。第16页/共110页2.4高程参照系与高程基准1.高程参照系（1）概念高程参照系是测绘和计算地面点高程大小的参照系统。高程基准面：就是地面点高程的统一起算面。通常采用大地水准面作为高程基准面。高程：地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。（2）高程参照系的建立建立一个统一的高程基准面，然后建立起高程控制网，并确定一个高程起算点。2.1956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。3.1985国家高程基准：根据青岛验潮站1952～1979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日开始启用。第17页/共110页2.5大地测量系统一.中国的大地坐标系54北京坐标系

80西安坐标系第18页/共110页1954年北京坐标系

1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京，而在前苏联的普尔科沃。相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。

1954年北京坐标系的缺限:①

椭球参数有较大误差。

②

参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在东部地区大地水准面差距最大达+68m。③几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一我国在处理重力数据时采用赫尔默特1900～1909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦④定向不明确。第19页/共110页

1980年国家大地坐标系

特点

①采用1975年国际大地测量与地球物理联合会

IUGG第16届大会上推荐的5个椭球基本参数。·长半径a=6378140m,

·地球的扁率为1/298.257

·地心引力常数GM=3.986005×1014m3/s2,

·重力场二阶带球谐系数J2=1.08263×10-8

·自转角速度ω=7.292115×10-5rad/s②定向明确。椭球短轴平行于地球质心指向地极原点

的方向

③多点定位

④大地原点地处我国中部，位于西安市以北60km处的泾阳县永乐镇，简称西安原点。

⑤

大地高程基准采用1956年黄海高程系

第20页/共110页有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。

完整参数：

……AngularUnit:Degree(0.017453292519943299)

PrimeMeridian:Greenwich(0.000000000000000000)

Datum:D_Beijing_1954

Spheroid:Krasovsky_1940

SemimajorAxis:6378245.000000000000000000

SemiminorAxis:6356863.018773047300000000

InverseFlattening:298.300000000000010000第21页/共110页二、大地控制网平面控制网

:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。2.2

中国的大地坐标系统

由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。第22页/共110页高程控制网

:

按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均海水面》上升29毫米。

青岛观象山水准原点2.2

中国的大地坐标系统第23页/共110页三、全球定位系统-GPS

授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。第24页/共110页1.GPS系统由三个独立的部分组成空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。第25页/共110页

地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。第26页/共110页

用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。第27页/共110页2.GPS系统定位原理数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。

通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的第28页/共110页§3地图投影

要点：地图投影的概念及变形，不同投影的分类与特点，世界、区域和中国常用投影，投影的选择和判别，我国地形图投影第29页/共110页

一、地图投影的概念

1.内涵

解决的问题：地球球面与平面之间的矛盾（球面到平面转换、变形大小）

内涵：如何解决地球球面到地图平面的科学转换而又使变形最小的科学问题第30页/共110页地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。2.地图投影的定义地图投影定义：研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题第31页/共110页二地图投影的变形（一）地图投影变形的概念

1.投影变形产生原因——地球的形状2、由地球球面向平面投影时引起的经纬网几何特征的变化，称为投影变形。第32页/共110页（二）研究变形的方法

研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。第33页/共110页比较球面经纬网经过投影之后，其几何特征受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、角度（形状）、面积。第34页/共110页1.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。（三）变形的表示

第35页/共110页为经线长度比；为纬线长度比第36页/共110页微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得第37页/共110页主方向（底索定律）：”无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标；在主方向上，具有极大和极小长度比经纬线方向就是主方向？第38页/共110页通过变形椭圆形状显示变形特征结论：变形椭圆长、短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。也就是说，如果一点上主方向的长度比（极值长度比）已经确定，则变形椭圆的大小和形状即可确定。第39页/共110页2.等变形线

常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。

等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状第40页/共110页3.投影变形的性质和大小（1）长度比和长度变形

dsds’

投影面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：μ=ds’/ds长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。

长度比是指某点某方向上微小线段之比。(微分椭圆)第41页/共110页研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。在主方向上，具有极大和极小长度比。长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m

；纬线方向n据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b特殊方向长度变形就是长度比（μ）与1之差，用vμ表示长度变形则：vμ

=μ-1=0不变;>0变大;<0变小第42页/共110页

（2）.面积比与面积变形

投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。therelationbetweenpanda,b,m,n?以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例，以P表示面积比，则:P=dF’/dF=abπ/π12=ab

上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：P=mn

若经纬线方向不是主方向时，则面积比:P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。Vp=p-1

=0不变;>0变大;<0变小第43页/共110页

（3）角度变形

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

第44页/共110页2.数学解析法1.几何透视法

所谓解析法就是不借助于几何投影光源,按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。三地图投影的基本方法x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)第45页/共110页投影计算举例——以等角正轴圆锥投影为例经差l与投影面上d成正比：d=c·l

（c为圆锥系数，0<c<1）。纬线

投影为同心圆弧，其半径r是纬度的函数，r

=f（）。数学解析法X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind

d

=c·l圆锥投影的一般公式为第46页/共110页X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind

d

=c·l第47页/共110页等角投影条件：ω=0，m=n，构成经移项、积分、整理得：A'D'nAD==第48页/共110页作业：推导等角切圆锥投影公式第49页/共110页四地图投影的分类（一）按变形性质分类（二）按构成方法分类

第50页/共110页投影构成方法几何投影非几何投影方位投影圆柱投影圆锥投影伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影第51页/共110页等角投影按变形性质分类等积投影任意投影（一）按变形性质分类第52页/共110页1.等角投影（正形投影）

定义：投影面上任意两条方向线所夹角度与球面上对应的两条方向线所夹角度相等。等角投影的条件是：w=0sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0a=b，m=n

面积变形大p=ab

多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。

第53页/共110页等积投影的条件是：Vp=p―１＝０p=1因为p=ab所以a=1/b或b=1/a用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。2.等积投影

将投影面上任意图形面积与球面上相应图形面积相等的投影，称为等积投影。第54页/共110页3.任意投影既不能满足等角条件，又不能满足等积条件，同时存在长度变形、面积变形和角度变形的投影。特点：面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。等距投影：任意投影特例，指其中那些在特定方向无长度变形的投影。其条件是，a=1或b＝1。制图区较大，教学挂图、参考图和通用世界地图等第55页/共110页

等角投影等积投影等距投影任意投影①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。②任意投影不能保持等积、等角特性。③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。等积投影、等角投影、等距投影：第56页/共110页方位投影圆柱投影圆锥投影正轴横轴斜轴切投影割投影源于透视几何学原理，以几何特征为依据，将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。（二）按地图投影的构成方法分类1.几何投影:第57页/共110页方位投影变形特点：从投影中心向各方向的方位角与实地相等；等变形线是以投影中心为圆心的同心圆正轴：横轴：赤道投影斜轴：第58页/共110页经纬线形状：经线间夹角：与经差成正比变形：纬度的函数，变形线，切或割线无变形单、双标准纬线：第59页/共110页正轴：变形是纬度的函数横轴：斜轴：第60页/共110页2、非几何投影（解析投影、条件）不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系，把球面转换为平面的投影。按经纬网形状：伪投影、多圆锥投影第61页/共110页（1）伪投影所谓伪投影一般是指在正轴简单投影的基础上，保持纬线的形状不变，而经线改变为对称曲线，以满足某种投影条件的投影。正轴方位伪方位：任意正轴圆锥伪圆锥正轴圆柱伪圆柱第62页/共110页正轴方位伪方位：任意正轴圆锥伪圆锥：无等角正轴圆柱伪圆柱：无等角。投影方案：经线形状第63页/共110页（2）多圆锥投影狭义的多圆锥投影是指用多个不同锥顶角的圆锥与地球相切，并获得若干以各标准纬线为中心的投影带，然后将这些投影带沿着某一经线连接起来。由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧。广义的多圆锥投影即指纬线为同轴圆弧的投影。多圆锥投影的构成第64页/共110页第65页/共110页五地图投影的命名例:横轴等积方位投影正轴等角割圆锥投影正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）第66页/共110页（一）世界地图常用投影（二）区域地图常用投影

（三）中国地图常用投影

六常用地图投影第67页/共110页1、正轴等角圆柱投影（墨卡托投影）设计思想:令一个与地轴方向一致的圆柱面相切或割于地球，然后将椭球体面上的经纬网按等角条件投影于圆柱面上，再将圆柱面沿某一经线切开展平。

特征：经纬线投影成互相垂直的平行线段；经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大；无角度变形；切投影：赤道为没有变形的线，随纬度增高，角度和面积变形增大；割投影：割线没变形，两条标准纬线之间变形为负值，离标准纬线越远变形越大，赤道负向变形最大；两条标准纬线以外呈正变形，离标准纬线越远变形越大，极点无限大。（一）世界地图常用投影第68页/共110页等角航线：地球表面上与经线交角都相同的曲线，或者说是地球上两点间的一条等方位线。用途：航海和航空最大的特点：等角航线为直线。第69页/共110页该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要设计的一种近似等角性质的投影。·SOM投影是使圆柱与球面相切于星下线（星下点的连线）而成的。由于地球的自转，以及卫星沿轨道运动，因此该投影不仅是地面点坐标的函数，也是时间的函数。随着时间的变化，圆柱与地球两轴的关系也在发生变化卫星地面轨迹是无变形线2、空间斜轴墨卡托(SOM)投影（SpaceObliqueMocator）第70页/共110页（1）桑逊投影经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于1650年所创。纬线为间隔相等的平行线，经线为对称于中央经线的正弦曲线。在每一条纬线上经线间隔相等。赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。3、伪圆柱投影第71页/共110页（2）摩尔魏特投影经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于1805年设计而得名。纬线为间隔不等的平行线，在中央经线上从赤道向南、北纬线间隔逐渐缩小；中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负90度的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半。同一纬线上的经线间隔相等。没有面积变形。长度和角度都有变形这种投影常用在地图集和地理课本的封面上，英国1962年出版的飞利浦世界地图集中的世界地图采用这种投影。第72页/共110页分瓣方法如下：在南北纬40°44′11.8“

以内，采用桑逊投影以外采用摩尔魏特投影。这样可减少变形

在国外出版的世界地图集中的世界地图经常采用这种投影，如美，日两国国出版的世界地图集中的世界地图。

（2）桑逊+摩尔魏特—古德投影第73页/共110页5.多圆锥投影（1）普通多圆锥投影属于任意投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，其余经线长度比均大于1，离开中央经线越远变形越大。中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。这个投影适于做南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影做美国海岸附近地区的地图。另一个用途就是绘制地球仪用的图形。第74页/共110页（2）等差分纬线多圆锥投影

这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种任意性质、不等分纬线的多圆锥投影。特点:赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，两经线间的间隔，随离中央经线距离的增大等差递减极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。

第75页/共110页（二）区域地图常用投影1.方位投影特点：由投影中心向各方向的方位角与实地相等，等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。适合的区域：圆形正轴横轴斜轴第76页/共110页1）正轴等角方位投影①没有角度变形，但Pvμ由投影中心向外逐渐增大②mn>1

割投影美通用极球面投影、我1：100万高纬地区投影

2）正轴等距方位投影波斯特

m=1,方位与实地一致两极地区联合国国徽（1）正轴方位投影第77页/共110页（2）横轴方位投影1）横轴等距方位投影

变形都有，适中，在中央经线上，纬线间隔相等；在赤道上，自投影中心向西，向东，经线间隔逐渐扩大。东西半球2）横轴等积方位投影

面积不变，在中央经线上纬线间隔是逐渐缩小的；在赤道上，自投影中心向西，向东，经线间隔也是逐渐缩小的。离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大东西半球第78页/共110页（3）斜轴方位投影1）斜轴等距方位投影

变形都有，适中，中央经线上纬线间隔相等。航行半径图、地震影响范围图、交通等时线图等。

2）斜轴等积方位投影

在中央经线上纬线间隔逐渐减小面积不变，离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大水陆半球图、亚洲地图、欧亚地图、北美洲地图、拉丁美洲地图、大洋洲及全球航空图等。《中华人民共和国全图》

第79页/共110页（1）总体特征①距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，等变形线与纬线平行。变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；

③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线向内、向外增大，在两条标准纬线之间n<1,在两条标准纬线之外n>1.中纬度地区沿纬线方向东西延伸区域的地图

2.圆锥投影（正轴）第80页/共110页（2）割圆锥投影变形特征

1）等角：

m=n,从两条标准纬线向外，纬线间距逐渐增大。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离缩小我国新编百万分之一、全国1：400万、1：600万挂图及全国性的普通地图和专题地图等。

2）等积：在两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐缩小的全国性的自然地图中的分布图、类型图、区划图、社会经济地图中的行政区划图、人口密度图、土地利用图等。

3）等距：两条标准纬线内面积变形向负方向增大，两条标准纬线之外，面积变形向正方向增加。角度变形离标准线越远变形越大。最明显的特点：纬线间隔相等。编制各种教学用图，前苏联的苏联全图。切圆锥投影？第81页/共110页

等积伪圆锥投影。纬线为同心圆弧，其长度比等于1，中央经线为直线，其长度比等于1，其他经线为对称于中央经线的曲线。在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等，中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。3.

伪圆锥投影－－彭纳投影

彭纳投影主要用于编制中纬小比例尺的区域图。

《世界地图集》中的亚洲政区图，英国《泰晤士世界地图集》中的澳大利亚与西南太平洋地图第82页/共110页（三）中国地图常用投影连续完整表示南海诸岛的中国全图常用斜轴方位投影仅反应陆上疆域的常选择割圆锥投影。（南海插图-割圆锥或正轴圆柱）根据编制不同内容的中国地图选择不同变形性质的投影类型斜轴等积-中国全图、亚洲图或半球图斜轴等角割方位-中国全图斜轴等距方位-中国政区图、交通图以及各种教学用图正轴等角割圆锥-全国及各省区或大区的地势图、气象与气候图及其他要求方向正确的地图正轴等积割圆锥-行政区划图及其他要求面积无变形的地图正轴等距割圆锥-教学第83页/共110页六地图投影的命名例:横轴等积方位投影正轴等角割圆锥投影正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）第84页/共110页

七、我国地形图投影第85页/共110页

（一）高斯-克吕格投影（横轴等角切椭圆柱投影）

1、基本思想（概念）以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

第86页/共110页2.特点分带中央经线与赤道投影成相互正交的直线,直角坐标系的坐标轴无角度变形中央经线上无长度变形，其余经线长度比均大于1在同一条纬线上，长度变形随距中央经线距离的增大而增大在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大变形最大的点?但最大长度、面积变形分别仅为+0.14％和+0.27％（6°带），第87页/共110页

经差

6°或3°分带，长度变形

<0.14%3.分带中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格投影：6°分带:1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。中央经线与带号的关系：

L。=（6n-3)°L。=（6n-3)°-360°3°分带;1∶1万。中央经线与带号的关系：

L。=3n°

第88页/共110页yA=245863.7myB

=-168474.8myA通

=20745863.7myB通=20331525.2m（1）投影平面直角坐标系4、投影平面直角坐标系与坐标网第89页/共110页(2)方里网

由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。又称直角坐标网。作用：大比例尺地图上，方便展绘点位和读图上地理坐标

表示：1：1万—1：25万地图上绘出方里网

比例尺密度1:1万1:2.5万1:5万1:10万1:25万图上距离（cm)

1042

24实地距离(km)111210第90页/共110页(3)经纬线网经线和纬线构成的坐标网，又称地理坐标网。

作用：控制和确定地表各点和整体地形的实地位置；用于分析和计算投影变形；确定比例尺、量算不可缺少

表示：1：5千—1：25万以图廓形式表示，内外图廓间分度带中绘出1′短线

1：50万—1：100万图面直接绘出

第91页/共110页（4）邻带方里网：

规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。第92页/共110页（二）中国新编百万分一地形图投影

新编国际百万分一地图采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带长度变形最大值:±0.03%面积变形最大值:±0.06%第93页/共110页八、地图投影的选择1.制图区域的地理位置、形状和范围（1）制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。

极地——

赤道附近——

中纬地区——第94页/共110页

（2）制图区域形状直接制约地图投影的选择。中纬度地区:

沿纬线方向延伸的长形（宽）区域——

沿经线方向南北延伸的长形区域——

圆形区域——

低纬赤道附近:

沿东西方向长条形区域——

圆形区域——单（双）标准纬线正轴圆锥投影多圆锥投影

斜轴方位投影正轴圆柱投影

横轴方位投影

第95页/共110页（3）制图区域的范围大小也影响地图投影的选择范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。第96页/共110页（1）墨卡托投影（MercatorProjection）（2）空间斜轴墨卡托投影（SpaceObliqueMercatorProjection（3）桑逊投影（SansonProjection）（4）