基于线性有限元法FEM的二维静态

1.1

基于线性有限法（FEM）的二维静边值问题的求分析用分离变量法求解析解分析:因板在z方向为无限长,故槽中的电位分布与z无关,由于槽内各点上电荷密度p=0,槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件。0(1),y)|0(2)xy)0(3)xx,y)|0(4)x,y)|(5)x将(1)式分离变量得到通解:x)x)(Cy)xcosx)(sinhkD)0nnnn（6）或：x)x)(y)000

(xxCsinhkyDcosk)nnnnn（7）这是一个二维场域问题,为求出矩形导体槽内电位分布的解析解,我们可以用分离变量法来计算,根据数学物理方法,可以推导出导体槽内电位函数的解析解,将(2)~(5)带入(6)并利用傅立叶展开确定系数求出电位函数:

U

N

1nsin(y)naanb)a

（8）1.2用有限元法解决二维静电场分布问题有限单元法的基本思想是:将给定区域剖分为一此在结点处互相连接的单元,然后在各单元上做近似,使“能量”似地表示为有限个节点参数的函数,从而将变分问题归结为多元函数求极值化为求解代数方程组的问题[行分片插值将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散

网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。在有限元分析中,将所研究的区域S划分成有限的n个三角形网格单元,如图4所示。对应m个节点错误！未找引用源。为单元错误！找到用源。的面积。图1对任意三角形单元错误未找到引用。任意一点的电位可以认为是由该三角形的三个节点分别设为误！未到引用。上的电位u随该点坐标x、y变化而线性变化。有限元的思:可将求解电磁场的微分方程问题化为泛函求极值得变分积分问题,然后通过数学离散方法得到一组代数方程解这组代数方程,可得到近似解。有限元的思:可将求解电磁场的微分方程问题化为泛函求极值得变分-积分问题,后通过数学离散方法得到一组代数方,解这组代数方程,可得到近似解。2.1离变量法cleara=0;[X,Y]=meshgrid(0:0.2:10,0:0.2:10);%meshgrid为生成平面上的小矩形定点坐标值的矩阵。forn=1%计算电位函数b=4*100/pi;a=b*sinh(n*pi*Y/10)*sin(n*pi*X/10)/n*sinh(n*pi*8/10);a=a+a;enda=a;figure%打开绘图框contour(a,10);%画等电位线图,(画a的等高线20条)title('分离变量法求解电位');3.2限元法

clear;lx=10;ly=8;dx=0.5;dy=0.5;square=dx*dy/2;nx=lx/dx;ny=ly/dy;%nx,ny为x方向、y方向有限元个数node_number=(nx+1)*(ny+1);%节点个数x=zeros(1,node_number);y=zeros(1,node_number);fornxi=1:(nx+1)fornyi=1:(ny+1)x((nxi-1)*(ny+1)+nyi)=(nxi-1)*dx;%坐标y((nxi-1)*(ny+1)+nyi)=(nyi-1)*dy;%坐标endendelement_number=2*nx*ny;e=zeros(element_number,3);fornxj=1:nxfornyj=1:nye(2*((nxj-1)*ny+nyj)-1,1)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj-1;e(2*((nxj-1)*ny+nyj),1)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj-1;e(2*((nxj-1)*ny+nyj)-1,2)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj+ny;e(2*((nxj-1)*ny+nyj),2)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj+ny+1;e(2*((nxj-1)*ny+nyj)-1,3)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj+ny+1;e(2*((nxj-1)*ny+nyj),3)=nyj+(nxj-1)*ny+nxj;endendK=zeros(node_number,node_number);%初始化矩阵form=1:element_numbermi=1;mj=2;mk=3;i=e(m,mi);j=e(m,mj);k=e(m,mk);Kii=((y(j)-y(k))^2+(x(j)-x(k))^2)/(4*square);K(i,i)=K(i,i)+Kii;Kjj=((y(i)-y(k))^2+(x(i)-x(k))^2)/(4*square);K(j,j)=K(j,j)+Kjj;Kkk=((y(i)-y(j))^2+(x(i)-x(j))^2)/(4*square);K(k,k)=K(k,k)+Kkk;Kij=((y(j)-y(k))*(y(k)-y(i))+(x(j)-x(k))*(x(k)-x(i)))/(4*square);K(i,j)=K(i,j)+Kij;K(j,i)=K(j,i)+Kij;%据对称性Kjk=((y(k)-y(i))*(y(i)-y(j))+(x(k)-x(i))*(x(i)-x(j)))/(4*square);K(j,k)=K(j,k)+Kjk;K(k,j)=K(k,j)+Kjk;Kki=((y(i)-y(j))*(y(j)-y(k))+(x(i)-x(j))*(x(j)-x(k)))/(4*square);

K(k,i)=K(k,i)+Kki;K(i,k)=K(i,k)+Kki;endclcV1=100;nd_1=1:ny+1;%左侧nd_2=ny+2:(ny+1):lx/dx*ny+1;%下侧nd_3=ny+2+ny:(ny+1):lx/dx*ny+ny+1;%上侧nd_4=lx/dx*(ny+1)+1:lx/dx*(ny+1)+ny+1;%侧nd=[nd_1nd_2nd_4];N1=length(nd);N2=length(nd_3);b=zeros(node_number,1);%[K]{u}={b},b初始化fori=1:N2forj=1:node_numberifj~=nd_3(i)b(j)=b(j)-K(j,nd_3(i))*V1;endendendfori=1:N1b(nd(i))=0;endfori=1:N2b(nd_3(i))=V1;endfori=1:N1K(nd(i),nd(i))=1;forj=1:node_numberifj~=nd(i)K(nd(i),j)=0;K(j,nd(i))=0;endendendfori=1:N2K(nd_3(i),nd_3(i))=1;forj=1:node_number

ifj~=nd_3(i)K(nd_3(i),j)=0;K(j,nd_3(i))=0;endendendur1_up=K\b;%求解方程saveU1_leftur1_upcloseallur_updown=ur1_up';uur=reshape(ur_updown,ny+1,nx+1);%电位排成平面形xx=0:dx:lx;yy=0:dy:ly;[XY]=meshgrid(xx,yy);%形成栅格figuremesh(X,Y,uur);%画三维曲面图title('槽内电位分布三维曲面图');figurecontour(X,Y,uur,20)%画等电位线图title('等位线与电场线');holdon[GxGy]=gradient(uur,dx,dy);%计算梯度quiver(X,Y,-Gx,-Gy,1,'r');%画出电场axis([01008])仿真结果

分离变法求解电位50454035302520151055101520253035404550图2分变量法