结构力学-稳定计算课件

结构力学（2）第16章结构的稳定计算结构设计应满足三方面的要求

1、强度

2、刚度

3、稳定性(受压结构，失稳时结构计算已经不是在原结构上，而是在变形后的结构形状上，此谓几何非线性)薄细构件高强度构件容易失稳，需要稳定性验算。基本概念

1、失稳（instability）：当荷载超过某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯曲变形，或与受力方向垂直的变形现象2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。16-1稳定问题概述线性非线性原状态干扰状态取消干扰后的状态由于取消干扰后结构可以恢复原状,所以原状态为稳定状态原状态干扰状态由于取消干扰后结构无法恢复原状,所以原状态为不稳定状态取消干扰后的状态临界状态两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法:考虑大的变形及变形对几何形状的影响小挠度分析法:只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影响，用近似公式计算位移1.完善体系分支点失稳2.非完善体系极值点失稳3.跃越失稳16.2两类稳定问题计算结构失稳的两种基本形式

1、第一类失稳（完善体系分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。Δl/2P>Pcrl(b)弯曲平衡状态P2POP1D（c）荷载—位移曲线（P—Δ

曲线）ΔPcrD'CABP(a)直线平衡状态l分支点新平衡临界荷载临界状态小挠度理论大挠度理论1.平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。2.平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的状态为稳定平衡状态。否则体系处于不稳定平衡状态。弹性静稳定平衡的条件完善体系体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对应，则平衡状态为稳定衡平状态。否则体系处于不稳定平衡状态。非完善体系ΔMA=kθθABPcrxxyyEIPcrBxkΔlyxyΔEIMA=kθθAPcrxyyRBEIyθPcrBxkΔΔAEI无限自由度体系单自由度体系稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态所需要的独立几何参数（一般指的是位移,并垂直于力的方向）的数目小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异大挠度理论小挠度理论大挠度理论小挠度理论单自由度完善体系的分支点失稳yθFpBxkΔΔAEI无穷大弹簧的反力

临界荷载：代入：1.按大挠度理论分支后两条平衡路径：

1.

θ=0，Fp为任意值(不稳定)

2.

θ>0，Fp=klcosθ(不稳定)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。结论：红兰两条路径均不稳定2.按小挠度理论考虑在小变形情况下，取sinθ=θ、cosθ=1，弹簧的反力临界荷载（分支点）yθFpBxkΔΔAEI无穷大单自由度完善体系的分支点失稳上式可写为分支后两条平衡路径：

1.

θ=0，Fp为任意值(不稳定)

2.

θ>0，Fp=kl(随遇平衡)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大，所以位移增大的路径是不稳定的。结论：红兰两条路径均不稳定单自由度非完善体系的极值点失稳弹簧的反力

极值（临界）荷载：所以：求极值3.按大挠度理论yθFpBxFRB=kΔΔAEI无穷大ε4.按小挠度理论临界（极值）荷载：单自由度非完善体系的极值点失稳yθFpBxkΔΔAEI无穷大εε=0.02ε=0.01临界（极值）荷载：临界荷载(极值点)和初位移e无关4.按小挠度理论单自由度非完善体系的极值点失稳接近临界荷载时，位移不断增大而承载力几乎不增大，所以位移增大的过程是不稳定的ΔMAB=kθABFpxlyθ平衡方程单自由度完善体系的稳定问题5.按大挠度理论代入得分支点

Fpcr=k/l平衡方程单自由度非完善体系的稳定问题6.按大挠度理论代入得ΔMAB=kθABFpxlyθe

θε=0.05ε=0.01承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不存在临界荷载的理论值。总结完善体系失稳——分支点失稳非完善体系失稳——极值点失稳分支点失稳形式的特征为：存在不同平衡路径的交叉，交叉点处出现平衡的两重性。极值点失稳形式的特征为：只存在一个平衡路径，但在平衡路径上存在极值。大挠度理论可得精确解，小挠度理论能得到分支点的解，但路径不正确。

对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。1、静力法计算思路假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程，进而求解临界荷载。计算步骤（1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。（2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方程)。（3）求解稳定方程的临界荷载。（4）求解稳定方程的特征向量,绘失稳形式图(bucklingmode)。16.3

有限自由度体系的稳定—静力法讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载单自由度体系静力法求临界荷载例平衡方程：临界荷载代入得ΔSABθACFplyθ结点B投影平衡方程结点C投影平衡方程例题16-1双自由度体系静力法求临界荷载隔离体解法2：（解法1详见P218）设B,C点的竖向位移为y1，y2

例题16-1双自由度体系静力法求临界荷载解法3：设B，C点的竖向位移为y1，y2

.A，B，C，D

支座竖向反力为取隔离体，得A，B支座反力由以上得平衡方程：平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)解得：位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解静力法存在多种解法，灵活多变，有利于处理简单计算。但静力法缺乏规律性，很难建立具有明确物理意义的方程，因此不适用于处理复杂问题的程序化计算。Ep=Ve+Vp:

总势能

totalpotential

energy

Ve

:应变能

strainenergy

Vp:荷载势能=

-外力作功externalwork总势能是位移(或与位移有关的基本未知量)的2次函数，总势能驻值的条件为：总势能对所有的位移求导的结果为0。若有n各位移基本未知量ai,则总势能驻值原理(stationaryprincipleoftotalpotentialenergy)体系静稳定平衡条件：

1.总势能为驻值(静力平衡)

2.驻值为极小值（稳定）16.3

有限自由度体系的稳定—能量法体系应变能：荷载势能：体系总势能：

1.总势能为驻值(静力平衡)稳定体系的静平衡问题(单自由度)满足总势能驻值原理的两个条件,所以位移为静力平衡位移

2.驻值为极小值（稳定）满足第一条件,则体系处于静力平衡状态（1）稳定平衡状态：满足第一条件,又满足第二条件位移变化则总势能增加,所以体系稳定.（2）不稳定平衡状态：满足第一条件，不满足第二条件。位移增加总势能反而减少,所以体系不稳定（3）中性平衡状态(临界状态)：满足第一条件,又满足第二条件。但位移变化而总势能不变(恒为0),所以体系处于临界状态总势能驻值原理（P217）体系静稳定平衡条件：

1.基本未知位移为0时，总势能为驻值(0)

2.驻值为极小值静力平衡有三种状态荷载势能：弹簧应变能：B点竖向位移能量法计算临界荷载(单自由度体系)总势能：ΔMAB=kθABFpxlyθ临界荷载当q=0，总势能Ep为驻值，满足第一条件,平衡当q=0，，驻值为极小值，满足第二条件,稳定平衡当q=0，，驻值为极大值，不满足第二条件,不稳定平衡当q=0，，Ep=0,临界稳定平衡例题16-1双自由度体系能量法求临界荷载（P218）体系应变能：荷载势能：解：设B,C点的竖向位移为y1，y2

线性代数学基础复习-齐次2次式的矩阵表达式例题16-1（P218）体系总势能：总势能驻值条件平衡方程矩阵表达式[K]:压弯刚度矩阵[S]:几何刚度矩阵{y}:位移向量齐次2次式表示法（P105）{y}不等于{0}的条件：稳定方程（特征方程）即例题16-1双自由度体系能量法解得两个特征值：平衡方程：其中最小特征值为临界荷载将代入平衡方程[P220式(g)]得无穷多个解：代入总势能方程[P220式(a)]得：（P219图16-14a）将代入平衡方程[P220式(g)]得无穷多个解：代入总势能方程[P220式(a)]得：（P219图16-14b）当荷载达到特征值时，位移有无穷多个解，只要位移满足特征向量比值，即便位移无穷大，总势能恒为0。y1=-y2EPFp<100:稳定平衡状态(总势能正定)Fp=100:临界状态(总势能半正定)Fp>100:不稳定平衡状态(总势能不定)总势能与位移的关系曲线当荷载小于特征值100时，总势能驻值为极小值，位移增大总势能也增大，体系处于稳定平衡状态。当荷载大于特征值100时，总势能驻值为极大值，位移增大总势能反而减小，体系处于不稳定平衡状态。当荷载等于特征值100时，位移增大而总势能不变（恒为0），体系处于临界状态。Fp<100，正定(全凹)Fp=100，半正定(临界全凹)100<Fp<300不定(半凹凸)Fp=300，半负定(临界全凸)Fp

>300，负定(全凸)求单自由度体系临界荷载(1)求应变能Ve(2)求荷载势能Vp(3)令总势能Ep

=Ve

+Vp=0求临界荷载能量法计算临界荷载求多自由度体系临界荷载(1)求应变能Ve，压弯刚度矩阵[K](2)求荷载势能Vp

，几何刚度矩阵[S](3)列平衡方程，代入特征方程求特征值，最小特征值为临界荷载(4)将临界荷载带入平衡方程求特征向量，确定失稳变形形式(bucklingmode)。特征方程平衡方程(1)应变能：(2)荷载势能：(3)体系总势能：临界荷载习题.单自由度体系能量法求临界荷载解：设角位移q应变能：习题-双自由度体系能量法(1)压弯刚度矩阵：解：如右图所示，设横向位移为D1，D2荷载势能：(2)几何刚度矩阵：总势能：势能驻值条件：平衡方程：(3)稳定方程：(或特征方程)代入解得特征值（最小特征值是临界荷载）Bucklingmode(4)特征向量能量法求三自由度体系临界荷载应变能：(1)压弯刚度矩阵：解：设B,C,D点的竖向位移为D1，D2

,

D3荷载势能：(2)几何刚度矩阵：总势能：势能驻值条件：平衡方程：(3)稳定方程：(或特征方程)代入后，用Jakobi法解得特征值（最小特征值是临界荷载）Bucklingmode:(4)特征向量：能量法求七自由度体系临界荷载应变能：解：设B,C,D，E，F，G，H点的竖向位移为D1，D2

,

D3,

D4,

D5,

D6,

D7荷载势能：总势能：平衡方程：特征矩阵对角化

1、解题思路先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，最后由特征方程求出临界荷载。

2、步骤（1）取隔离体建立静力平衡方程(2阶微分方程)。（2）求解微分方程,得挠曲线方程通解（3）将边界条件代入挠曲线方程得基本未知量方程确定稳定方程(特征方程)。（4）求解稳定方程中的临界荷载(特征值)。（5）求解基本未知量方程中的特征向量，确定挠曲线方程,

绘失稳形式图(bucklingmode)。16.4无限自由度体系的稳定—静力法例题:试求图示结构的临界荷载(P221图16-15)FpcryxFpM(x)FpcryFRx解:

(1)

取隔离体建立平衡方程(